第二章 直线和圆的方程（高效培优单元测试·强化卷）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

第二章 直线和圆的位置关系（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 2．若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为（舍去第四象限的点）， 所以与两点所在直线，与垂直，故. 故选：D. 3．圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 4．已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【详解】 因为，变形得，所以轨迹是以为圆心，以为半径的圆的上半部分，如图所示，则当与点重合时线段长度最大， 可知当与点重合时，,在中根据勾股定理可知. 故选：C. 5．已知圆和，动圆与圆均相切，是的内心，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 由，得，是圆内含于圆，设圆M的半径为r， 由P为的内心，设内切圆的半径为，由， 得，整理得， 当动圆M内切于圆，与圆外切（），则， ，则，，因此a＝17； 当动圆M内切于圆，圆内切于动圆M时，则， ，则，，得a＝19 所以a＝17或19. 故选：C． 6．已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 则，，其中为坐标原点， 可得， 则，可知点的轨迹为以圆心，半径的圆， 设为圆，由题意可知：圆与圆有公共点， 则，即， 解得， 所以实数的最大值为． 故选：A． 7．如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，当圆心与切点所成直线的斜率不存在时，即当点时， 易知以，所以此时点为矩形的对角线的交点，即； 当圆心与切点所成直线的斜率存在时，则，因为， 所以切线的斜率为，又切线过点， 所以切线的方程为，整理得， 又点在圆上，所以，故切线的方程为. 易知，在切线的方程中，令，则， 令，则，所以， 所以直线的斜率，直线的方程为， 直线的斜率，直线的方程为， 联立直线和直线的方程，解得， 所以点，又，所以点所满足的方程为， 因为切线分别交、于点、两点，所以切线不能为，即， 且前述直线的斜率不存在时即也满足上述方程， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 8．设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知为中点， 所以，以为直径的圆过点， 故是以为直径的圆与圆的公共弦， 联立圆圆的方程，可解得， 当时，以为直径的圆的方程，与圆的方程相减，可得直线的方程为， 直线的斜率为，考虑对称性，直线斜率的另外一解为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（   ） A．若直线与圆相切，则 B．若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为 【答案】ABD 【详解】易知圆的圆心的坐标为，半径为1，圆心到直线的距离， 对于A，因为直线与圆相切，所以，解得，A正确； 对于B，当时，圆心到直线的距离， 故圆上到直线的距离为的点恰有3个，B正确； 对于C，圆与圆恰有三条公切线， 则两圆外切，即，解得，C错误； 对于D，如图，    点在位置时，，此时，点在位置时，此时， 所以中间必然有位置使得，故D正确． 故选：ABD 10．已知方程组有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由方程组在复平面上的几何意义可知，问题等价于以为圆心、1为半径的圆与点和所连线段的垂直平分线相切，设，， 则中点为，，所以垂直平分线的斜率为， 则垂直平分线的方程为，整理得， 由点到直线的距离公式有，即， 解得或， 故选：AC． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（    ）．    A． B．点M的轨迹方程为 C．的最小值为 D．圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值 【答案】ABC 【详解】对于A，因为圆心到直线的距离， 又圆上恰有3个点到直线的距离为， 所以，即，故A正确 ； 对于B，由题知，所以在以为直径的圆上， 所以点M的轨迹方程为，故B正确； 对于C，设，则， 在中，， 即， 又 ， 当，即时取等，故C正确； 对于D，设在轴上一点C，使， 所以，整理得， 又点在圆上， 所以，解得， 则，当三点共线时取等， 又，原点到直线的距离， 所以，如图符合题意的点有两个，故D错误；    故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 【答案】4 【详解】由题设，令，，且， 所以，且， 所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4. 故答案为：4. 13．已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 【答案】1 【详解】如图所示：    因为直线与轴，轴分别交于点，， 所以，，所以. 又和的面积相等， 所以，所以可设直线的方程为. 依题意，得点到直线的距离为，即，所以或（舍）， 所以直线的方程为.又点在直线上， 所以，即. 故答案为：1 14．平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】由题意设两个圆的方程为， 依题意可得且． 因为两圆均过点，所以①， 设的倾斜角为，则，． 令，则．将其代入式①整理得． 由韦达定理可得，从而（负值已舍去）， 所以， 故直线的方程为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 16．已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)且 【详解】（1）由题可知圆心， 因为， 所以P在圆外，过圆外一点作圆的切线有2条. ①当k存在时，设切线方程：，即. 则圆心C到的距离d＝， 此时切线： ②当k不存在时，过点的直线方程为， 圆心到直线的距离为2， 所以直线与圆相切， 此时切线方程： 综上：切线的方程为：或 （2）圆心到的距离 ， 当圆上有1个点到的距离为1，则 当圆上有3个点到的距离为1，则， 所以当圆上有2个点到的距离为1，则， 所以，即，， 的取值范围为且 17．已知圆． (1)过直线上点P作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，求点P的坐标；注：两条直线相交所形成的小于等于的正角称为这两条直线的夹角 (2)点，，动点P始终满足，试判断动点P的轨迹与圆的位置关系； 【答案】(1) (2)两圆相离 【详解】（1）解：由点在直线上，可设， 又由圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离为，可得，则直线与圆相离， 因为两条切线的夹角是，所以， 则，即，解得， 所以点的坐标为. （2）解：设，且，， 因为，可得，化简得， 可得圆心距，此时， 所以圆与圆相离. 18．在平面直角坐标系中，对于直线（A，B不同时为0）和点，定义点到直线的“特殊距离”，其中为非零常数. 已知直线，点，圆. (1)当时，求和的值. (2)若点是圆的动点，当时，求的最小值. (3)设直线，若存在点在直线上，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)0 (3) 【详解】（1）对于点，直线， 对于点， （2）设点，当时， ， 其中 当时，取得最小值. . （3）设点， 得， 依题意有，， 由，所以任意实数方程都有解，即的取值范围为. 19．已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）当时，由，得到，当时，由，得到， 又，得到，整理得到， 当时，，满足，所以点的轨迹的方程为. （2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，且， 又， 因为以线段为直径的圆经过坐标原点，则，得到， 所以，即，整理得到， 又原点到直线的距离为，此时直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由， 得到，只有一个交点，不合题意， 综上，直线与圆相切. （ⅱ）因为，由（ⅰ）可得， 又，得到， 所以面积为， 令，则，所以， 当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以面积的最小值为. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的位置关系（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（       ） A． B．2 C． D． 3．圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 4．已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 5．已知圆和，动圆与圆均相切，是的内心，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D． 6．已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． B． C． D． 8．设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（   ） A．若直线与圆相切，则 B．若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为 10．已知方程组有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（    ）．    A． B．点M的轨迹方程为 C．的最小值为 D．圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 13．已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 14．平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 16．已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 17．已知圆． (1)过直线上点P作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，求点P的坐标；注：两条直线相交所形成的小于等于的正角称为这两条直线的夹角 (2)点，，动点P始终满足，试判断动点P的轨迹与圆的位置关系； 18．在平面直角坐标系中，对于直线（A，B不同时为0）和点，定义点到直线的“特殊距离”，其中为非零常数. 已知直线，点，圆. (1)当时，求和的值. (2)若点是圆的动点，当时，求的最小值. (3)设直线，若存在点在直线上，使得，求实数的取值范围. 19．已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$