专题03 圆的方程的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题03 圆的方程 题型一：圆的标准方程 题型二：圆的一般方程 题型三：二元二次曲线与圆的关系 题型四：圆过定点问题 题型一：圆的标准方程 1．已知圆，圆，A，B分别是圆和圆上的动点，则由坐标原点和点A，B构成的三角形的面积的最大值为 . 2．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（    ） A． B． C． D． 4．设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 5．曲线的长度为（    ） A． B． C． D． 6．已知点 在直线 上，过点 的两条直线与圆 分别相切于 两点，则圆心 到直线 的距离的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 7．由曲线围成的图形面积为（   ） A． B． C．2 D． 8．已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 9．已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），且，则动点的轨迹长度为（   ）    A． B． C． D． 10．已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型二：圆的一般方程 11．已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，若直线过的外接圆的圆心，则 ；若点在的外接圆内，则的取值范围为 ． 13．正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    14．在中，为的中点，延长与的外接圆交于点，则 . 15．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ． 16．关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 17．已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 18．正方形的边长为2，在边上取线段，在边的延长线上取，直线与的交于. (1)求线段长； (2)求证：A，B，M，C四点共圆. 19．已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. (1)求顶点和的坐标； (2)求的外接圆的方程. 20．的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； (2)（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 题型三：二元二次曲线与圆的关系 21．已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是 ．半径的最大值为 ． 22．已知曲线：，则（    ） A．曲线围成的图形的面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的距离的最大值为 D．曲线上任意两点间的最大距离为4 23．若点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 25．已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 26．若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 27．若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 29．已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 30．若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 题型四：圆过定点问题 31．圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是 . 32．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 33．已知，圆，直线PM，PN分别与圆O相切，切点为M，N，若，则的最小值为 . 34．过点作互相垂直的直线,,交正半轴于点,交正半轴于点,则线段中点轨迹方程为 ;过原点与、、四点的圆半径的最小值为 . 35．已知抛物线与轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线方程为（    ） A． B． C． D． 36．设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，直线方程：，直线与直线分别相交于两点，交轨迹与点 （1）求点的轨迹方程. （2）求证：三点共线 （3）求证：以为直径的圆过定点. 37．已知曲线：． （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点． （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值． 38．在平面直角坐标系中，已知圆：与轴交于，两点，圆过，两点且与直线：相切. （1）求圆的方程； （2）若直线：与圆、圆的交点分别为点，，则以线段为直径的圆是否过点？请说明理由. 39．已知椭圆的左、右焦点分别为、，动点M到、的距离之比为． （1）求点M的轨迹方程，并指出轨迹的形状； （2）设点M的轨迹为曲线C，且曲线C与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），P是C上异于A、B的动点．若直线PA、PB与y轴分别交于E、F，证明：以EF为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 40．已知圆. （1）求圆的标准方程； （2）点在直线上，过点作圆的切线，切点为.设经过、、三点的圆为圆，问圆是否过定点（不同于点），若有，求出所有定点的坐标；若没有，说明理由. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆的方程 题型一：圆的标准方程 题型二：圆的一般方程 题型三：二元二次曲线与圆的关系 题型四：圆过定点问题 题型一：圆的标准方程 1．已知圆，圆，A，B分别是圆和圆上的动点，则由坐标原点和点A，B构成的三角形的面积的最大值为 . 【答案】/ 【详解】由题知当共线时，取最大值，当共线时，取最大值， 并且当和均取最大值时，因为，，所以， 此时的面积最大，其最大值为. 故答案为：. 2．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，圆心为，则， 故弦所在直线方程，即为. 故选：D 3．曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，设，线段的中点为， 因为曲线关于点对称， 所以可将曲线与轴，轴围成的区域割补为直角三角形的区域， 于是曲线与轴，轴围成的区域面积就是直角三角形的面积， 即； 根据对称性，可得曲线与轴，轴围成的区域面积为， 又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为， 所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于. 故选：C. 4．设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由，则，如下图示，    令且，则，，， ， ， ， 所以 ， 当时，有最小值为. 故选：D 5．曲线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的圆弧， 其中点的横坐标为，则，， 故曲线的长度为.    6．已知点 在直线 上，过点 的两条直线与圆 分别相切于 两点，则圆心 到直线 的距离的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】 由图可知，所以四点共圆， 设，则该圆心为，半径为， 所以该圆方程为， 整理得：，由它与圆的方程相减，得两圆相交弦的方程：， 所以圆心到直线的距离为：， 又因为点在直线上，则， 代入消元得： ，当时取等号. 故选：C. 7．由曲线围成的图形面积为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 同时点均在曲线上，如下图， 围成图形是4个半径均为的半圆，与1个边长为的正方形组成， 所以图形面积为. 故选：B 8．已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【详解】 ，则当时，，， ， 即当时，恒成立，则①是真命题； 设， 则， 又， 则. 因， 则， 则，令， 则， 即， 则 ，其中， ，则， 因，则 ， 则， 则，故②是真命题. 故选：A. 9．已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），且，则动点的轨迹长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正方体的体积为8，故， ，则，而， 故，    故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分， 即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为； 故选：D 10．已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 由，则直线过定点， 由，则直线过定点， 易知动点的轨迹为为直径的圆，圆心，半径， 由题意易知直线的斜率存在，则交点不能是， 则动点的轨迹方程为. 故选：C. 题型二：圆的一般方程 11．已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆的方程为， 可得圆的标准方程为，所以，解得， 因为点在圆外，可得， 整理得，解得或， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 12．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，若直线过的外接圆的圆心，则 ；若点在的外接圆内，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设的外接圆方程为，， 则，解得， 于是的外接圆方程为，即，其圆心， 由点在直线上，得，解得， 由点在的外接圆内，得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：； 13．正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    【答案】 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 14．在中，为的中点，延长与的外接圆交于点，则 . 【答案】 【详解】如图建系，，    设的外接圆的方程为， ， 即， ，即 ， 故答案为： 15．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入三点坐标，可得， 解得， 即， 化简可得圆的标准方程为． 故答案为： 16．关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，方程为：，对应的图象为选项A， 当时，方程为：，对应的图象为选项B， 当时，方程为：， 得，对应的图象为选项C， 选项D图形是四条线段，没有方程与之对应， 故选：D 17．已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 18．正方形的边长为2，在边上取线段，在边的延长线上取，直线与的交于. (1)求线段长； (2)求证：A，B，M，C四点共圆. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题可以D为原点，分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则由题， 故， 所以直线的方程为即， 直线的方程为即， 联立，故， 所以线段长为. （2）证明：设过点A，B，C三点的圆的方程为， 则， 故该圆方程为， 将代入该圆方程得， 故点在该圆上，所以A，B，M，C四点共圆. 19．已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. (1)求顶点和的坐标； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由，解得，所以， ∵，且， ∴，∴，又， ∴直线的方程是，， 由，解得， 所以， 所以，； （2）设的外接圆的方程是， 将，，三点坐标分别代入，得 ，， 的外接圆的方程是. 20．的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； (2)（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ），轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【详解】（1）解：设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为， 又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为. （2）解：（ⅰ）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （ⅱ）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 题型三：二元二次曲线与圆的关系 21．已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是 ．半径的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题意知：，所以， 所以的取值范围为； 由因为，当且仅当时， . 故答案为：；. 22．已知曲线：，则（    ） A．曲线围成的图形的面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的距离的最大值为 D．曲线上任意两点间的最大距离为4 【答案】BD 【详解】当，时，曲线：； 当，时，曲线：； 当，时，曲线：； 当，时，曲线：. 因为，所以，不同时为0， 画出曲线，如图所示. 曲线围成的图形可分割为1个边长为2的正方形和4个半径为1的半圆， 故面积为，故项错误； 曲线由4个半径为1的半圆弧组成，故周长为，故项正确； 结合图可知曲线上的点到原点的距离的最大值为2，故项错误； 当曲线上的两点的连线同时过圆心及原点时，两点间的距离最大，最大距离为4，故项正确. 故选：BD 23．若点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 化为标准方程可得：， 则，即，① 又在圆外，可得：，解得：或，② 由①②取交集可知，实数的取值范围是， 故选：C. 24．若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为点在圆C：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆，则，即， 所以，结合选项可知，m的取值可以为. 故选：C 25．已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 26．若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 27．若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 28．过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【答案】A 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 29．已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 30．若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)或； (2)圆心，半径，； (3). 【详解】（1）由方程为表示圆，得， 整理得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）圆的圆心坐标为，半径， 当时，圆的方程为. （3）线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的方程为，由解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 题型四：圆过定点问题 31．圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是 . 【答案】 【详解】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上， 所以可设圆心为，半径为， 由题意知，， 又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得， ， 所以， 解得，， 所以所求圆C的方程为. 故答案为： 32．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】方程可化为. 曲线恒过定点，，解得或. 点在第三象限，，代入直线的方程， 可得. 故选：. 33．已知，圆，直线PM，PN分别与圆O相切，切点为M，N，若，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图，由可知R为MN的中点，所以，， 设，则切线PM的方程为， 即，同理可得， 因为PM，PN都过，所以，， 所以在直线上， 从而直线MN方程为， 因为，所以， 即直线MN方程为， 所以直线MN过定点, 所以R在以OQ为直径的圆上， 所以. 故答案为: . 34．过点作互相垂直的直线,,交正半轴于点,交正半轴于点,则线段中点轨迹方程为 ;过原点与、、四点的圆半径的最小值为 . 【答案】 【详解】设的方程:,则方程为: 交正半轴于点,可得 交正半轴于点,可得 为线段中点,设 根据中点坐标公式可得: 即: ,消掉 线段中点轨迹方程为: ,, 存在经过、、、四点的圆,该圆以为直径． ①若轴，轴， ②若两条直线斜率均存在，设斜率为 方程为， 方程为， 令，解出 ， ，， 半径最小值为 故答案为: ,. 35．已知抛物线与轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设过三点的圆的方程为， 由题意可得时，与等价，可得， 圆的方程即为，由圆过可得， 可得，即圆的方程为， 整理得，因为为任意实数方程都成立，所以 解得或，所以圆过定点和， 此时过两点的弦长为定值， 过两点的直线方程的斜率为， 所以过两点的直线方程的为，即为. 故选：A. 36．设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，直线方程：，直线与直线分别相交于两点，交轨迹与点 （1）求点的轨迹方程. （2）求证：三点共线 （3）求证：以为直径的圆过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）设，化简即得点的轨迹方程； （2）设方程为，证明即得证； （3）先求出圆方程为，即得解. 【详解】（1）设，由题意， 由已知有 化简得 （2）设方程为， 令得点， 由消元得： 显然恒成立 由，且，得： 代入直线方程得， 又因为，所以：， 所以直线为：， 令得点，， 联立方程， 消去得： 所以， ， 因为有公共点，所以三点共线. （3）设以为直径的圆上点，则， 所以圆方程为 即 当时与无关， 所以以为直径的圆过定点. 37．已知曲线：． （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点． （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时方程表示圆． （2）证明：方程变形为． 由于取任何值，上式都成立，则有． 解得或 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点. （3）由（2）知曲线过定点A，，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小（其余不以为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大）， 从而以为直径的圆的方程为， 所以，解得． 38．在平面直角坐标系中，已知圆：与轴交于，两点，圆过，两点且与直线：相切. （1）求圆的方程； （2）若直线：与圆、圆的交点分别为点，，则以线段为直径的圆是否过点？请说明理由. 【答案】（1）；（2）过定点，理由见解析. 【详解】解：（1）由题意令，代入圆中得，，则，， 设圆的方程为， 将，坐标代入得，， 又，则，得， 故圆的方程为. （2）当与相切时，则有，所以， 因为过原点，所以与两圆都有两个交点，则，， 将与联立得，，得， 将与联立得，，得， 则，，得，即， 所以以线段为直径的圆过点. 39．已知椭圆的左、右焦点分别为、，动点M到、的距离之比为． （1）求点M的轨迹方程，并指出轨迹的形状； （2）设点M的轨迹为曲线C，且曲线C与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），P是C上异于A、B的动点．若直线PA、PB与y轴分别交于E、F，证明：以EF为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1），形状为以为圆心，为半径的圆；（2）证明见解析，定点. 【详解】（1）在椭圆中，，，设， 由动点M到、的距离之比为得：， 化简可得：， 即点M的轨迹方程，其形状为以为圆心，为半径的圆. （2）由得，， 由题意知直线斜率存在且不为， 设直线的方程为：，则的方程为：， 分别令可得，，在的中点为， 故以为直径的圆为：， 化简得：， 故而可得圆过定点. 40．已知圆. （1）求圆的标准方程； （2）点在直线上，过点作圆的切线，切点为.设经过、、三点的圆为圆，问圆是否过定点（不同于点），若有，求出所有定点的坐标；若没有，说明理由. 【答案】（1）；（2）圆过定点. 【详解】（1）将圆的方程化为标准方程得； （2）如下图所示，连接， 设点的坐标为，由圆的切线的性质可得， 所以，圆是以为直径的圆， 圆心的坐标为，半径为， 所以，圆的方程为， 整理得， 联立，解得（舍去）或， 因此，圆过定点. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$