专题01 直线的倾斜角、斜率及方程的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题01 直线的倾斜角、斜率及方程 题型一：已知两点求斜率、已知斜率求参数 题型二：直线与线段相交关系求斜率范围 题型三：直线方程的求法 题型四：直线与坐标轴形成三角形问题 题型一：已知两点求斜率、已知斜率求参数 1．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 2．已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 3．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 6．直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 7．已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 9．已知经过点和点的直线的倾斜角为，，求点的坐标． 10．（1）若直线经过两点，，且倾斜角为，求的值. （2）若，，三点共线，求实数的值. （3）若直线过点且倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求直线方程. 题型二：直线与线段相交关系求斜率范围 11．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ． 12．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 13．已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 14．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．已知点，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 19．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 20．已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 题型三：直线方程的求法 21．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 22．已知三点，则经过点且与直线平行的直线经过点（    ） A． B． C． D． 23．已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 24．若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 25．设光线从点出发，经过轴反射后经过点，则光线与轴的交点为 ，若该入射光线经轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为 . 26．已知直线过点，且分别与轴，轴的正半轴交于两点，当最小时，则直线的方程为 ． 27．已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 28．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 29．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 30．在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 题型四：直线与坐标轴形成三角形问题 31．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．已知的两顶点A，B在直线：上，点C在直线：上．若的面积为2，则AB边的长为 ． 33．已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为的周长为，若，则（    ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 34．直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 35．设为锐角三角形，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是（　　） A．10 B．8 C．4 D．2 36．已知直线l过点. （1）若直线l在两坐标轴上的截距之和为6，求直线l的方程； （2）若直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，试求面积的最小值及此时直线l的方程. 37．在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点. （1）当取得最小值时，求直线的方程； （2）求面积的最小值. 38．已知圆． （1）求轴被圆所截得的线段的长； （2）过圆圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为，求的最小值． 39．已知函数（）. （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若的图象与x轴围成的三角形面积不小于6，求a的取值范围. 40．设直线的方程为. (1)求证:不论为何值，直线必过一定点; (2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长; (3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线的倾斜角、斜率及方程 题型一：已知两点求斜率、已知斜率求参数 题型二：直线与线段相交关系求斜率范围 题型三：直线方程的求法 题型四：直线与坐标轴形成三角形问题 题型一：已知两点求斜率、已知斜率求参数 1．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 2．已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图所示，质点由出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线与线段MN相交，则 又因为，且， 即，所以， 故答案为：. 3．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 4．已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    5．已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 6．直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，直线的斜率为， ∵为直线上的点， ∴由斜率公式得， 解得：. 故答案为：. 7．已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，的倾斜角为，故倾斜角范围为， 所以且，即. 故选：C 8．设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当，斜率，解得； （2）i.时，，； ii.时，，斜率，， 综上， 9．已知经过点和点的直线的倾斜角为，，求点的坐标． 【答案】或 【详解】设， 因为经过点和点的直线的倾斜角为， 所以， 又因为， 所以， 两式联立解得或， 所以或. 10．（1）若直线经过两点，，且倾斜角为，求的值. （2）若，，三点共线，求实数的值. （3）若直线过点且倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求直线方程. 【答案】（1）2（2）5（3） 【详解】(1)由题意可得：，解方程可得：； (2)由题意可得：，即：，解方程可得：； (3)设直线的倾斜角为，则，， 由点斜式可得所求直线方程为：，整理为一般式即：. 题型二：直线与线段相交关系求斜率范围 11．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为直线恒过,和， 所以，. 由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示 由图象可知，或,即或， 所以的斜率的取值范围是为. 故答案为：. 12．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】 直线恒过定点，且，，由图可知，或. 故选：C. 13．已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A. 14．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 15．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示， 因为， 所以，， 又因为直线过点且与线段相交， 所以直线的斜率取值范围为或者， 即. 故选：D. 16．已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围， 如图所示： ∴与点连线斜率为， 与点连线斜率为， ∴可得斜率取值范围为． 故选:A． 17．已知点，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得，， 因为直线与连接，两点的线段总有公共点， 结合图可知，. 故选：C 18．若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】当直线过点时，，直线过点时，， 当直线与线段的交点在之间时， 设这个交点分的比为， 由定比分点向量公式有， 点的坐标为， 又直线过点，， ，又点在线段上，， ，解得或， 实数的取值范围是. 19．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 20．已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    题型三：直线方程的求法 21．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 设边的中点为，则，即， 又，所以， 故边上的中线所在直线的方程为，即． 故选：D. 22．已知三点，则经过点且与直线平行的直线经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，所求直线的斜率为， 则根据点斜式可得直线方程为，即， 将以上各点代入可知在直线上. 故选：D. 23．已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线过点，代入得，即， 则点关于坐标原点的对称点为． 又直线过两点， 所以直线的方程为， 即． 故选：A. 24．若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由两点式得，整理为．又在上， ，当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 25．设光线从点出发，经过轴反射后经过点，则光线与轴的交点为 ，若该入射光线经轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为 . 【答案】 【详解】由点关于轴的对称点为， 可得直线的斜率为，方程为， 令，可得， 即光线与轴的交点为； 由入射光线可得入射角为， 则折射角为，折射光线的斜率为， 折射光线的方程为，令，可得， 则折射光线所在直线的纵截距为. 故答案为： ； . 26．已知直线过点，且分别与轴，轴的正半轴交于两点，当最小时，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】设，则，则直线的方程为，所以． ， 当且仅当时等号成立，此时直线的方程为． 故答案为：. 27．已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 28．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    29．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)24， （2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解. 【详解】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 30．在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，直线的中点为，则， 因为，则，即，解得. （2）由（1）知点，线段的中点为，所以，， 所以，边上的中线所在的直线方程为，即. 题型四：直线与坐标轴形成三角形问题 31．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 32．已知的两顶点A，B在直线：上，点C在直线：上．若的面积为2，则AB边的长为 ． 【答案】 【详解】已知直线：，直线：，可知 ， 两平行线间的距离d= ， 根据三角形的面积公式得 ，解得= . 故填：. 33．已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为的周长为，若，则（    ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 【答案】D 【详解】因为 所以的图象关于直线对称，故. 因为在都单调递增，在都单调递减 在单调递增； 在单调递减. 所以直线与的图象只有两个交点和点， 设则， 设直线与交点为， 所以， 则，即， 因为直线经过点，， 所以. 故选：D 34．直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，可得；令，可得，可得，，解出即可． 【详解】解：令，可得；令，可得， ，， 解得，且． 故选：． 35．设为锐角三角形，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是（　　） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【详解】令得直线在y轴上的截距为， 令得直线在x轴上的截距为， 其围成的三角形面积： ， 求S的最小值转化为求函数的最小值， 因为为锐角，所以， 当时取最小值−1， 则，故围成三角形面积最小值为8. 故选：B. 36．已知直线l过点. （1）若直线l在两坐标轴上的截距之和为6，求直线l的方程； （2）若直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，试求面积的最小值及此时直线l的方程. 【答案】（1）或（2）， 【详解】（1）依题意直线l不过原点，设直线l的方程为，把点P代入可得， 联立，解得或. 故直线l的方程为或. （2）设直线l的方程为，把点P代入可得， 则，即，当，即，时取“” 故，此时直线l的方程为. 37．在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点. （1）当取得最小值时，求直线的方程； （2）求面积的最小值. 【答案】（1）（2）12 【详解】（1）设直线的倾斜角为（为锐角），    由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3, ， 则， 所以当时，取得最小值， 此时直线的方程为； （2）矩形OFPE面积为3×2=6，， ， 当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为12. 38．已知圆． （1）求轴被圆所截得的线段的长； （2）过圆圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为，求的最小值． 【答案】（1）；（2）4 【详解】（1）设圆与轴的交点为，， 将代入可得， 即，， 所以轴被圆所截得的线段的长为. （2）设，由于过，∴， 利用基本不等式，得，∴， 即的最小值为4， 此时，，即 39．已知函数（）. （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若的图象与x轴围成的三角形面积不小于6，求a的取值范围. 【答案】（Ⅰ）  （Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）时， 得；无解得. 综上，得不等式的解集为. （Ⅱ）因为，则 其图象与x轴围成的三角形，其坐标分别为，，. 则，因为，得. 40．设直线的方程为. (1)求证:不论为何值，直线必过一定点; (2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长; (3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) ，，，， 【详解】解：(1)由得， 则，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点； (2)由得， 当时，，当时，， 又由，得， ， 当且仅当，即时，取等号. ，， 的周长为； (3) 直线在两坐标轴上的截距均为整数， 即，均为整数， ，， 又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线的方程为，，，，. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$