专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型一：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 题型二：切线与切线长问题 题型三：判断圆与圆的位置关系 题型四：由圆的位置关系确定参数 题型一：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 1．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知圆 与直线 和 都相切，且圆心 在 轴上，直线 与 轴相交于点 ，过点 作圆 的两条切线.切点分别为 ，直线 与 交于点 ， 则（   ） A．圆 的方程是 B．当 时，四边形 的面积为 C． 的取值范围为 D．若点 ，则 为定值 3．已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为 . 4．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数取值范围是 5．如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（   ） A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若，则圆与轴有交点 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则 6．已知过点的直线分别与圆交于两点（点在的上方）和两点（点在的上方），且四边形为等腰梯形，若，则梯形的面积为 ． 7．过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 8．已知以坐标原点为圆心的圆过点是圆上关于原点对称的两点，以为直径作圆与直线交于两点，若，则直线的方程为 ． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆和直线（其中和均为常数，且），为l上一动点，为圆与轴的两个交点，直线与圆的另一个交点分别为. (1)若，M点的坐标为,求直线方程； (2)求证：直线过定点，并求定点的坐标． 10．已知圆， 点为直线上一动点， 过点引圆的两条切线， 切点分别为 (1)当时， 求的值； (2)若两条切线与轴分别交于两点， 求的面积的最小值． 题型二：切线与切线长问题 11．若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．在平面内，圆M的半径为1，过圆M外的动点P引圆M的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当取最小值时，与的夹角的余弦值为 . 13．已知，圆与直线交于两点，为坐标原点，则（    ） A．时， B．过点向圆所引的切线长为 C．时，中点的轨迹长度为 D． 14．已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 15．已知圆，点是直线上的点，则（ ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上不存在点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 16．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知圆O：和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是 ． 18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 19．已知圆上一点 (1)求圆在点处的切线方程； (2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 20．已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 题型三：判断圆与圆的位置关系 21．已知点，，点在圆：上运动，则（    ） A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为 C．圆上存在点使得 D．当最小时， 22．已知圆过点，点在圆上，过点的直线与过点的直线互相垂直，且垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 23．圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 24．我们时常在地摊上看到这样的游戏：用几个完全相同的圆形小纸片去覆盖一个大圆纸片，不留任何缝隙完全将大圆纸片盖住则获胜.记小纸片半径为1，大圆纸片半径为，则（    ）（参考数值：，，） A．仅使用2个小圆纸片时，可以保证玩家有获胜机会 B．仅使用3个小圆纸片时，可以保证玩家有获胜机会 C．仅使用3个小圆纸片时，可以保证玩家有获胜机会 D．仅使用4个小圆纸片时，可以保证玩家有获胜机会 25．在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 26．已知点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是半径为的圆 B．C与圆有一个交点 C．与直线有两个交点 D．与圆围成图形的面积为 27．已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．直线与曲线交于、两点，则的长为 C．曲线与曲线的公切线有2条 D．已知点，点，点为曲线上任意一点，则的最大值为 28．已知直线，圆，则（    ） A．当时，直线与圆相离 B．当直线与圆相切时，的值为 C．圆心到直线的距离的最大值是5 D．圆与圆外切 29．已知圆的半径为4，则（    ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．直线平分圆的周长 30．已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．两圆的公切线有2条 B．直线的方程为 C．若两点到直线的距离相等，则 D．当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 题型四：由圆的位置关系确定参数 31．圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 32．已知圆，直线，则（    ） A．直线l与圆C可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 33．已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 34．圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 35．在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知圆与圆有条公切线，圆覆盖圆，，则圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C．圆：与圆：外切，则 D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型一：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 题型二：切线与切线长问题 题型三：判断圆与圆的位置关系 题型四：由圆的位置关系确定参数 题型一：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 1．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意直线可化为，则直线过定点， 点代入圆可得，所以点在圆内， 又圆半径，圆心， 所以当时，直线被圆截得弦长最短，即， 当过圆心时，直线被圆截得弦长最长，即， 所以， 故选：B. 2．已知圆 与直线 和 都相切，且圆心 在 轴上，直线 与 轴相交于点 ，过点 作圆 的两条切线.切点分别为 ，直线 与 交于点 ， 则（   ） A．圆 的方程是 B．当 时，四边形 的面积为 C． 的取值范围为 D．若点 ，则 为定值 【答案】ACD 【详解】 因为圆的圆心在x轴上，且与直线和都相切， 所以圆M的标准方程为，故A正确； 对于B，因为是圆的切线，所以. 在Rt△APM中，. 当时，，又，所以， 则，所以四边形PAMB的面积， 故B错误. 对于C， . 因为，所以， 因为对勾函数在上单调递增，所以.故C正确. 对于D，由题意，知，，，， 所以四点共圆， 记此圆为圆D，则PM为圆D的直径，圆心，半径为， 圆D的方程为. 因为AB是圆D与圆M的相交弦， 所以直线AB的方程为； 化简得，所以直线经过定点. 因为，所以， 因为点在直线AB上，所以，即点在以为直径的圆上. 因为，，所以圆心为点，恰为Q点，半径为. 因为点C在该圆上，所以为定值.故D正确. 故选：ACD. 3．已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题，当圆心到直线的距离为时，圆上恰好有三个点到直线的距离为， 则，所以． 故答案为：. 4．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数取值范围是 【答案】 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 若圆上总存在两个点到点的距离为3， 则圆与圆有两个公共点，即两圆相交， 因为的圆心为，半径， 所以，即， 则，即或，实数的取值范围是． 故答案为：． 5．如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（   ） A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若，则圆与轴有交点 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则 【答案】ABC 【详解】圆的圆心，直线的方程为，即， 由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，故A正确； 显然，设点，则，而， 解得，，因此圆的圆心，半径为， 圆的方程为， 则圆的方程为，故B正确； 圆的圆心为，半径， 圆心到轴的距离为， 由两边平方得， ，，而 所以当时，圆与轴有交点，C选项正确. 在中，令，得点的纵坐标为，因此，故D错误． 故选：ABC. 6．已知过点的直线分别与圆交于两点（点在的上方）和两点（点在的上方），且四边形为等腰梯形，若，则梯形的面积为 ． 【答案】 【详解】不妨设点在第一象限，设与轴交点为，如图所示， 由圆得，，圆心，半径为， 因为，所以， 因为四边形为等腰梯形， 所以，点与点关于轴对称，轴， 则，解得， 所以， 设直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 设直线的方程为，， 由得，， 解得，，， 则，， 所以梯形的面积为， 故答案为：．      7．过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，故有，即， 由，则点为中点， 故，故有， 即有，整理得， 即. 故选：A. 8．已知以坐标原点为圆心的圆过点是圆上关于原点对称的两点，以为直径作圆与直线交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】设，则，由在上，设， 因为，所以圆的方程为， 因为在圆上，所以， 因为点在以为直径的圆上，所以， ，所以， ，即， 因为，所以可得， 又，，，所以， ， 化简得，又因为， 所以，解得或，因为，所以， ，代入得，所以， 可得直线的方程为. 故答案为：. 9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆和直线（其中和均为常数，且），为l上一动点，为圆与轴的两个交点，直线与圆的另一个交点分别为. (1)若，M点的坐标为,求直线方程； (2)求证：直线过定点，并求定点的坐标． 【答案】(1)． (2)证明见解析，过定点． 【详解】（1）解法一：当，，则， 则直线的方程：，即， 解得． 同理可得直线的方程：，解得． 由两点式得直线方程为：，即． 解法二：通过， ，求出， 则直线的方程：，即， 解得． 同理可得直线的方程：，解得． 由在曲线， 则当时，求出直线方程为． （2）证法一：由题设得．设， 直线的方程是：，直线的方程是：．解得． 解得． 于是直线PQ的斜率， 直线PQ的方程为． 上式中令，得是一个与无关的常数． 故直线PQ过定点． 证法二：由题设得，．设M(a，t)， 直线MA1的方程是：，与圆的交点,设为， 直线MA2的方程是：,与圆的交点设为, 则点，在曲线上， 化简得   ① 又有，在圆上，圆② ①－×②得 化简得： ． 所以直线的方程为,    ③ 在③中令，得是一个与无关的常数． 故直线过定点． 10．已知圆， 点为直线上一动点， 过点引圆的两条切线， 切点分别为 (1)当时， 求的值； (2)若两条切线与轴分别交于两点， 求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由圆，可知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 由，解得或， 因此切线所在直线方程为或， 分别联立，， 解得，，即， 所以. （2）由（1）知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 因为，所以，即， 设，是方程的两个根， 则，， 所以， 在切线方程中，令，得， 设，， 则， 则的面积为， 当时，的面积取得最小值，最小值为.    题型二：切线与切线长问题 11．若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，由可得，则其圆心为，半径. 因为直线与圆相切，所以，且， 则四边形面积， 又，则. 故当取最小值时，四边形面积取最小值， 由图象可得，取得的最小值即为点到直线的距离， 即， 故四边形面积的最小值为. 故选：B. 12．在平面内，圆M的半径为1，过圆M外的动点P引圆M的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当取最小值时，与的夹角的余弦值为 . 【答案】 【详解】设，. 因为是圆的切线，所以，. 在中，. 根据向量数量积公式可得： 由勾股定理可得，同理. 根据二倍角公式可得. 所以. 根据均值不等式有，当且仅当，即时等号成立. 所以，即的最小值为. 当取最小值时，，此时. 根据二倍角公式可得. 所以与夹角的余弦值为. 故答案为：. 13．已知，圆与直线交于两点，为坐标原点，则（    ） A．时， B．过点向圆所引的切线长为 C．时，中点的轨迹长度为 D． 【答案】BCD 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，当时，点到直线的距离，则，A错误； 对于B，切线长为，B正确； 对于C，当时，点，令弦中点为，则，点的轨迹是以为直径的半圆 （不含端点），轨迹长度为，C正确；    对于D，由消去得， 设，则，，D正确. 故选：BCD 14．已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 2 4 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 所以， 因为圆的圆心为，半径为， 由题意得当最小时，连线与直线垂直， 所以， 由勾股定理得， 所以的最小值为， 故答案为：；4. 15．已知圆，点是直线上的点，则（ ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上不存在点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以A不正确，B不正确. 从点向圆引一条切线，设切点为，连接， 则，则， 当时，取得最小值，此时取得最小值， 即，故C正确，D不正确. 故选：C. 16．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D 17．已知圆O：和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】设，连接，则，可得， 所以， 即，可得， 所以的最小值为点到直线：的距离． 故答案为： 18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，     半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；     当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，     此时切线的方程为：， 即，     综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 19．已知圆上一点 (1)求圆在点处的切线方程； (2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意，点在圆上，可得， 因直线的斜率为，则圆在点处的切线斜率为， 故切线方程为，即； （2）如图， 由（1）知圆，又点，， 当直线的斜率不存在时，直线，易知此时，， 点到的距离为3，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 代入中，整理得：， 设，由韦达定理，，即， 代入，可得，即， 于是， 则得， 点到直线的距离为：， 则，解得或， 故直线的方程为或. 20．已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1） 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得， 即的值为1. （2）由（1）可知， 由勾股定理可得 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ， 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积. 题型三：判断圆与圆的位置关系 21．已知点，，点在圆：上运动，则（    ） A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为 C．圆上存在点使得 D．当最小时， 【答案】ACD 【详解】已知，，可得直线的方程为，即.圆：的圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式，可得圆心到直线距离，所以直线与圆相离，故选项正确. 由可知圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的距离的最小值为. 又，根据三角形面积公式可得面积的最小值为，故选项错误. 以为直径的圆的圆心坐标为，半径. 两圆的圆心距，而，， 因为，所以两圆相交，故圆上存在点使得，故选项正确. 当直线为圆的切线时，可取到最值. 因为圆心，，所以，又圆的半径， 根据勾股定理可得，故选项正确. 故选：ACD. 22．已知圆过点，点在圆上，过点的直线与过点的直线互相垂直，且垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的方程为. 因为圆过点，，，将这三个点代入圆的方程可得： 由可得： ，即，解得. 将代入可得： 解得.把，代入可得：. 所以圆的方程为，圆心，半径. 因为直线过点，直线过点，且，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，，则半径为. 所以点的轨迹方程为，圆心，半径. 根据圆的性质，的最大值为圆心与圆心的距离加上两个圆的半径. 圆心与圆心的距离为. 所以的最大值为. 则的最大值为. 故选：C. 23．圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C 24．我们时常在地摊上看到这样的游戏：用几个完全相同的圆形小纸片去覆盖一个大圆纸片，不留任何缝隙完全将大圆纸片盖住则获胜.记小纸片半径为1，大圆纸片半径为，则（    ）（参考数值：，，） A．仅使用2个小圆纸片时，可以保证玩家有获胜机会 B．仅使用3个小圆纸片时，可以保证玩家有获胜机会 C．仅使用3个小圆纸片时，可以保证玩家有获胜机会 D．仅使用4个小圆纸片时，可以保证玩家有获胜机会 【答案】BCD 【详解】对A，因为大圆半径大于1，所以当大小圆圆心重合时，显然两个小圆无法完全覆盖大圆. 当大小圆圆心不重合时，如图所示，过大圆圆心作与两圆心连线垂直的直径， 显然再用一个小圆无法覆盖直径位置部分，故A错误； 对BC，由对称性可知，只有当小圆均匀分布时才能使覆盖的圆最大. 当三个小圆圆心为正三角形的顶点，且三个圆刚好交于一点时， 此时能覆盖的最大圆为外接圆， 显然此时将三个小圆圆心向中心继续靠拢，可使得的边最大等于2， 此时能覆盖的圆半径最大，最大半径，故BC正确； 对D，当四个小圆圆心围成正方形，且四圆有共同交点时， 此时能覆盖的最大圆为正方形的外接圆， 易知此时正方形的边长刚好等于小于直径，外接圆半径为，故D正确. 故选：BCD 25．在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】 如图，分别以为圆心，以2，3为半径画圆，即为两圆的公切线， 因为， 所以两圆外切，两圆有三条公切线，即满足条件的直线共有3条， 故选：C. 26．已知点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是半径为的圆 B．C与圆有一个交点 C．与直线有两个交点 D．与圆围成图形的面积为 【答案】B 【详解】对于A，设，由，得， 整理得，所以圆的方程为，圆心为，半径为1，故A错误； 对于B，圆可化为， 圆心为，半径为2， 两圆的圆心距等于半径之差的绝对值， 所以与圆内切，故B正确； 对于C,又的圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相切，故C错误； 对于D，易知与圆围成图形为同心圆围成的圆环， 所以其面积为，故D错误. 故选：B. 27．已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．直线与曲线交于、两点，则的长为 C．曲线与曲线的公切线有2条 D．已知点，点，点为曲线上任意一点，则的最大值为 【答案】ACD 【详解】A.设，由可得，化简得， 即.故曲线的轨迹方程为，A正确； B.由A得：的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离，所以，所以B错误； C.因为两圆心间距离为大于半径差小于半径和，两个圆是相交关系，所以公切线条数是2条，C正确； D.已知点，动点N与点，点的距离的比为， 所以，D正确. 故选：ACD. 28．已知直线，圆，则（    ） A．当时，直线与圆相离 B．当直线与圆相切时，的值为 C．圆心到直线的距离的最大值是5 D．圆与圆外切 【答案】BD 【详解】直线的方程可化为，所以直线过定点； 圆的标准方程为，所以圆心，半径. 对于A，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故A错误. 对于B，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得，故B正确. 对于C，当过点的直线与直线垂直时，圆心到该直线的距离有最大值5， 此时因为直线的斜率为0，所以过点的直线的斜率不存在. 因为直线的斜率为，所以圆心到直线的距离的取值范围为， 即圆心到直线的距离不存在最大值，故C错误. 对于D，圆的标准方程为，所以圆心，半径. 因为，所以圆与圆外切.故D正确. 故选：BD. 29．已知圆的半径为4，则（    ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．直线平分圆的周长 【答案】ACD 【详解】对于A，因为圆的半径为4， 所以，解得，A正确， 对于B，由选项A可知，圆， 圆心为，半径， 因为，所以点在圆的内部，B错误， 对于C，圆的圆心为，半径， 因为， 所以圆与圆外切，C正确， 对于D，因为，所以圆心在直线上， 所以直线平分圆的周长，D正确， 故选：ACD. 30．已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．两圆的公切线有2条 B．直线的方程为 C．若两点到直线的距离相等，则 D．当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【详解】由圆，可得圆，所以圆心，半径， 由圆，可得圆， 所以，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，故A正确； 因为圆与圆， 所以两圆的方程相减可得公共弦的方程：，即，故B正确； 由，得，代入圆，可得， 整理得，解得或，所以，， 由两点到直线的距离相等，所以， 解得或，故C错误； 由圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则，解得， 所以当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1，故D正确. 故选：ABD. 题型四：由圆的位置关系确定参数 31．圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 32．已知圆，直线，则（    ） A．直线l与圆C可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 【答案】CD 【详解】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线过定点. 圆的圆心为，半径为， 则， 所以点在圆内，即直线过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交.故A错误； 对于B项，当时，直线化为. 此时有圆心到直线的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，因为， 所以直线l与直线垂直.故C正确； 对于D项，要使圆C与圆恰有三条公切线，则应满足两圆外切. 圆可化为， 圆心为，半径为. 因为两圆外切，所以有， 即， 整理可得，化简可得， 解得.故D项正确. 故选：CD. 33．已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 34．圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 【答案】C 【详解】因为是圆，所以， 因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切， 因为，所以，解得， 故选：C. 35．在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点P坐标为，点Q坐标为. 因为点P和点Q关于直线对称， 所以，整理得：，即点Q坐标为. 因为点P在圆：上，点Q在圆：上， 所以，即. 则是方程组的解， 则圆和圆的位置关系是相切或者相交. 又因为圆的圆心坐标为圆，半径为； 圆的圆心坐标为圆，半径为， 所以两圆的圆心间距离为， 则由两圆的位置关系可得：，解得：. 故选：C. 36．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，. 因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以， 即，解得. 故选：B. 37．已知圆与圆有条公切线，圆覆盖圆，，则圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据圆的方程有：，圆圆心，半径， 因为两圆有条公切线，所以圆、相外切， 所以两圆圆心距， 即，解得， 因为圆覆盖圆，，所以圆半径的最小值为， 所以圆面积的最小值为. 故选：A 38．已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 39．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 40．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C．圆：与圆：外切，则 D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 【答案】BCD 【详解】对于选项A：由可得：， 由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确； 对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径， 平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B正确； 对于选项C：由可得，圆心，， 由 可得， 圆心，，由两圆相外切，所以， 即，解得：，故选项C正确； 对于选项D：设点坐标为，所以，即， 因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，， 所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为， 整理可得：，与已知圆相减可得， 消去可得：即，由可得， 所以直线经过定点，故选项D正确. 故选：BCD. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$