四川省成都市高新区元音中学2024-2025学年九年级下学期诊断数学试卷

2024-2025学年四川省成都市高新区元音中学九年级（下）诊断数学试卷 一、选择题：本题共6小题，共28分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.方程解的个数是 A. B. C. D. 无数个 2.对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是(    ) A. 至少存在一个钝角三角形 B. 至多存在一个直角三角形 C. 至少存在一个锐角三角形 D. 至多存在一个钝角三角形 3.如图，分别以的三边为一边作▱，▱，▱，且点，分别在，上若▱，▱的面积分别为，，则▱的面积为(    ) A. B. C. D. 4.若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.在中，已知，下列判断中错误的是(    ) A. 若为重心，则 B. 若为外心，则 C. 若为内心，则 D. 若为垂心，则 6.若，满足，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 7.方程的全体实数根的积为______． 8.在中，，，则 ______． 9.已知实数，满足，并且，，若，则的取值范围是______． 10.如图，内接于的，，是的直径交于点，设，，若，则 ______． 11.在四边形中，，，，，对角线，所夹的锐角为，则四边形的面积为______． 12.在一个盒子中有若干个分别标有不同数字的乒乓球，现有名同学，要求每个同学从盒子中任意抽取个球，记下所标记的个数，然后放回盒子，再下个同学抽取若任意两个同学所记录的三个数中最多只有个数相同，则盒子中至少有______个球． 三、解答题：本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，已知，，的长度都是整数． 当时，求的值； 求证：为无理数． 14.本小题分 已知，是实数，函数，当时，记函数的最大值为． 若，，求的取值范围． 若，求的最小值． 15.本小题分 如图，在中，，点在上，点在上，满足，，，联结，，． 求证：； 求证：； 求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：当时， 原方程化为， 解得：； 当时， 原方程化为， 解得：，不符合题意； 当时， 原方程化为， 此时方程无解； 当时， 原方程化为， 解得：； 综上，原方程的解为或，共个， 故选：． 根据题意分，，，四种情况分类讨论即可． 本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：设三个连续正整数，，为三角形的三边长， 当且仅当，即， ． 若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当， 即， ， ， 又， ， ，， 即至多存在一个钝角三角形，三边长为，，，故选项A符合题意，选项D不符合题意； 若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当， 即， 解得：，不符合题意，舍去， ，， 即至多存在一个直角三角形，三边长为，，，故选项B不符合题意； 若所构成的三角形是锐角三角形， 当且仅当， 即， ， ， 又， 的最小值为， 即至少存在一个锐角三角形，故选项C不符合题意； 故选：． 根据若为直角三角形，那么两个较小边的平方和等于最大边的平方；若为钝角三角形，那么两个较小边的平方和小于最大边的平方；若为锐角三角形，那么两个较小边的平方和大于最大边的平方；分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：过作交的延长线于，于， 四边形是平行四边形， ，， ， 、、共线， 四边形是平行四边形， ， 的面积， 同理：的面积， 的面积的面积， 的面积，的面积， 的面积的面积， ， 平行四边形的面积． 故选：． 过作交的延长线于，于，由平行四边形的性质推出，，判定、、共线，由三角形面积公式得到的面积，的面积，因此的面积的面积，推出，得到平行四边形的面积． 本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质推出的面积的面积 4.【答案】  【解析】解：方程两边平方并整理，得， 关于的方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根， ， ． ，有两个不相等的实数根， 方程的两个实数根的积， ，即． 实数的取值范围为． 故选：． 先把无理方程转化为整式方程，根据一元二次方程根的判别式，二次根式的非负性得关于的不等式，求解得结论． 本题考查了无理方程等，掌握无理方程的解法、一元二次方程根的判别式、二次根式的非负性等知识点是解决本题的关键． 5.【答案】  【解析】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，； 当是非等边三角形时，； ，故选项B正确； 若是的外心，即是外接圆的圆心， ，故选项B正确； 若是的内心，即是内切圆的圆心， ，故选项C正确； 若是的垂线，即是三条垂线的交点． 当是直角三角形是，与直角顶点重合， ，故选项D错误． 故选：． 根据三角形重心，外心，内心及垂心的定义及性质逐个选项进行判断． 本题考查了三角形的重心，外心，内心及垂心的性质，要理解这“四心”的定义，因为三角形的性质不确定，所以根据题意举反例是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：仅当时，取“”， ， ， ， ， ，， ，解得：， ，即，解得：， 综上，符合题意的选项为． 故选：． 由仅当时，取“”，可得，；，满足，可得，，进而可计算出和的取值范围． 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的计算是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 7.【答案】  【解析】解：设，于是原方程变为， 整理，得解得，， 当时，则，即， 解得，； 当时，则，即， ，无解， 经检验，，是原方程的根， ． 故答案为：． 用换元法转化为关于的分式方程．先求，再求检验后求它们的积即可． 本题主要考查了换元法解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤以及解分式方程的方法和步骤． 8.【答案】  【解析】解：在中，， 则， ， ， 故答案为：． 根据正切的定义得到，再根据直角三角形的性质计算即可． 本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角的对边与邻边的比叫做的正切． 9.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 根据已知易得：，从而可得，进而可得：，然后结合已知易得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图，连接，，延长交于点， 是的直径， ， ， ， ， ， ，，， ≌， ， ， ， ∽，， ，， ， 设，，， ，， 是的中位线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 如图，连接，，延长交于点，证明≌，得，，则∽，列比例式，正切的定义，并与垂径定理相结合即可解答． 本题考查了相似和全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11.【答案】  【解析】解：设，交于点，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，如图： ， 直线的解析式为：， 设，，，， ， ，，，， ， ， ． 故答案为：． 设，交于点，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，假设，，，四点坐标，根据四边长度列出四个二元二次方程，然后用四点坐标表示出四边形的面积，整体代入求解即可． 本题主要考查了解直角三角形以及坐标与图形的性质，建立合理坐标系，整体求解面积是本题解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：考虑极端情况构建组合， 设盒子中有个球，编号为，，，， 第一个同学抽取，，这三个球． 为了满足任意两个同学所记录的三个数中最多只有个数相同，第二个同学不能再同时取，，中的两个数． 假设第二个同学取，，． 第三个同学不能同时取前面同学已有的两个数组合，假设取，，． 第四个同学取，，． 第五个同学取，，． 第六个同学取，，． 第七个同学取，，． 从上述抽取情况可以看出，为了满足条件，至少需要个不同编号的球． 这道题可以通过分析每个同学抽取的球的组合情况，利用组合数学的原理来确定盒子中至少需要的球数．解题的关键在于理解“任意两个同学所记录的三个数中最多只有个数相同”这一条件，通过合理构建抽取组合来找到满足条件的最少球数． 本题考查了抽屉原理，正确进行数字组合是解题的关键． 13.【答案】为或；   证明见解答过程．  【解析】解：如图， 延长至，使， 四边形是正方形， ，， ≌， ，， ， ， ，即， ， ， ≌， ， 设，，则，，， 根据勾股定理得，， ， ， 和是正整数， ，， ， ，或，， ，或，， 当，时， ， ， ， 当，时， 同理可得， 综上所述：为或； 证明：设，，， ，， 设，则， 同知，， ， ，， ， ， 代入得：， ，，， ， ，是整数， 是有理数， 为无理数，即为无理数． 延长至，使，证明≌，可得，，从而证明≌，得，设，，根据勾股定理得，，故，又和是正整数，得，或，，可求出，，即可得到答案； 设，，，由勾股定理有，，设，则，同得，变形有，，从而，即，代入得，即知为无理数，即为无理数． 本题考查有理数无理数概念及运算，涉及正方形性质及应用，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关线段的长度． 14.【答案】．   ．  【解析】根据二次函数的性质，函数对称轴为，由得：． 当时，函数图象与图象相同；当时，其图象与相同． 对于函数，时，；时，；时，． 根据二次函数随的变化规律，函数的最大值取与中的较大值． 当时，，，； 当时，，，． 故的取值范围为：． 根据二次函数的性质，函数的对称轴为， 由于，则或，在范围内，函数的最大值只能是当或时的函数值． 对于函数，时，；时，，则取与的较大者． 因为与可以看作数轴上的点到点与的距离． 如图，，当时，取得最小值：． 故的最小值为． 根据函数表达式求出、和时函数值关于的表达式，然后根据的取值范围分别比较这三个函数值的大小即可求出的取值范围． 首先判定当时函数图象的对称轴位于的取值范围边缘之外，然后求出或时函数值的表达式，根据二次函数的性质得出的取值为这两个函数值的较大者，再根据的取值范围通过数轴上两点间的距离大小关系求出的最小值． 本题考查了二次函数的图象和性质，绝对值在函数中的应用，数轴的应用等知识点，本题的难点在于对的最小值的理解及对含参数的绝对值表达式的极值判定． 15.【答案】证明见解答；   证明见解答；   ．  【解析】证明：如图，过点作，交于点， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ≌， ，即， ， ， ， 是等边三角形， ， ，即， ； 证明：在上截取，连接， 在和中， ， ≌， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 由知，， 又，， ， ， ； 解：过点作，交于点，过点作于点， 由知，，，，， 设，， 则，， 是等边三角形，， ，， 在中，， 即， ， ， ． 过点作，交于点，可证得是等边三角形，再证得≌，得出，即，再证得是等边三角形，推出，即可证得结论； 在上截取，连接，可证得≌，得出，设，则，再利用，得出，即，利用等角对等边可得，即可证得结论； 过点作，交于点，过点作于点，设，，则，，运用解直角三角形和勾股定理可得出，即可求得答案． 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$