河南省郑州市西一中学2024—2025学年下学期八年级第一次调研数学试卷

2024-2025学年河南省郑州市西一中学八年级（下）第一次调研数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果，那么下列各式一定正确的是(    ) A. B. C. D. 2.河南周口市城乡一体化示范区不断完善基础服务设施，着力打造“分钟便民服务圈”现在有三个小区位置呈三角形，若在该三角形区域内建立一个便民服务中心，使其到三个小区的距离相等，则应建在 A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高所在直线的交点 3.交通法规人人遵守，文明城市处处安全在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，点，交于点，交于点，若，则的周长为(    ) A. B. C. D. 5.把一些书分给几名同学，如果___；如果每人分本，则___，若依题意，设有名同学，则可列不等式，那么，两处横线的信息可以是(    ) A. 每人分本．则多分个人．不够分 B. 每人分本，则剩余本，有剩余 C. 每人分本，则可多分个人，有剩余 D. 每人分本，则剩余本，不够分 6.如图，若要用“”证明≌，则还需补充条件(    ) A. B. 或 C. D. 以上都不正确 7.如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是(    ) A. B. C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集是 8.已知且，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，于点是上的一个动点，于点，连接若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 10.如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形，若，则的边长是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如果，那么        ． 12.如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，两点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长为______． 13.用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设______． 14.若关于的不等式只有两个负整数解，则的取值范围是______． 15.如图，等边三角形中，，于点，点、分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 解不等式组，并把解集表示在数轴上： ； ． 17.本小题分 下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式，得第一步 解得第二步 由不等式，得第三步 移项，得第四步 解得第五步 所以，原不等式组的解集是第六步 任务一： 小明的解答过程中，第______步开始出现错误，错误的具体原因是______，得到第三步的根据是______； 请写出解此不等式组的完整过程． 18.本小题分 如图，中，，，垂足为． 求作的平分线，分别交，于，两点；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 判断三角形的形状，并证明． 19.本小题分 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展小明计划给朋友快递一部分物品，经了解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过千克的，按每千克元收费；超过千克，超过的部分按每千克元收费，乙公司表示：按每千克元收费，另加包装费元设小明快递物品千克． 请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用元与千克之间的函数关系式； 当时，小明选择哪家快递公司更省钱？ 20.本小题分 如图，中，，，是过点的一条直线，且、在的异侧，于，于，求证：． 若直线绕点旋转到图的位置时，其余条件不变，问与、的关系如何？请予以证明． 21.本小题分 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． 求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ 张老师准备购买甲乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 22.本小题分 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． 当为何值时，为等边三角形？ 当为何值时，为直角三角形？ 23.本小题分 【问题初探】 数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图，在中，平分，求证：． 如图，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系． 如图，小强同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变化并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点在的延长线上，，过点作交的延长线于点求证：． 【学以致用】 如图，在中，，垂足为，，，，平分交于点求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：如果， 两边同时乘以得，则符合题意， 两边同时减去得，则不符合题意， 当时，，则不符合题意， 两边同时乘以再同时加上得，则不符合题意， 故选：． 利用不等式的性质逐项判断即可． 本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 便民服务中心应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：． 根据线段垂直平分线的性质即可确定选项． 本题考查了线段垂直平分线的实际应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：由题意可得，． 故选：． 根据不等式的定义解决此题． 本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键． 4.【答案】  【解析】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故选：． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：由不等式，可得：把一些书分给几名同学，若每人分本，则可多分个人；若每人分本，则有剩余； 故选：． 根据不等式表示的意义解答即可． 本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系． 6.【答案】  【解析】解：若要用“”证明≌，则还需补充条件或， 故选：． 图形中已有条件，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可． 此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“”． 7.【答案】  【解析】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，，故A，选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，，故D选项错误，符合题意； 故选：． 运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解． 本题主要考查两条直线的交点问题，掌握一次函数图象的性质即可求解． 8.【答案】  【解析】解：， 得：，即， 解得：． 故选：． 方程组两方程相加表示出，根据大于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可求出的范围． 此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，将方程组两方程相加表示出是解本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图，作于，交于，连接，， 在中，，， 是等边三角形， ，， ，， 点关于的对称点为点， ， ， 当、、在同一直线上且时，的值最小，为， 的最小值是， 故选：． 作于，交于，连接，，根据等边三角形的判定与性质可得，点关于的对称点为点，从而得出当、、在同一直线上且时，的值最小，为，即可得出答案． 本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称路线问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 10.【答案】  【解析】解：为等边三角形， ， ， ， ， 同理可得，， ， 的边长为． 故选：． 根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解． 本题考查规律型：图形的变化类，有理数的乘方，总结出规律是解答本题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， 两边同乘得：， 不等式两边同加得：， 故答案为：． 根据不等式的性质，可得，根据不等式的性质，可得与的大小关系． 本题考查了不等式的性质，注意计算顺序，先根据不等式的性质，两边同乘，在根据不等式的性质，不等式两边同加． 12.【答案】  【解析】解：过点作于点，如图，由作图痕迹得平分， ，， ， ，，， ， 在和中， ≌， ， ， 设，则， 在中，， 解得 即的长为 故答案为：． 过点作于点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着证明≌得到，所以，设，则，利用勾股定理得，然后解方程即可． 本题考查了作图基本作图，勾股定理和角平分线的性质，熟练掌握种基本作图是解决问题的关键． 13.【答案】两个锐角都大于  【解析】解：反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设两个锐角都大于， 故答案为：两个锐角都大于． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 14.【答案】  【解析】解：由题意，关于的不等式只有两个负整数解， 关于的一元一次不等式的两个负整数解只能是：、． ． ． 依据题意，可得，又不等式有个负整数解只能是、，得出，求出的取值范围即可． 本题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解． 15.【答案】或  【解析】解：是等边三角形，， ， 折叠， ， 若，且， ，， 且， ， ， ，． 若，， ，， 且， ， ． 故答案为：或． 由等边三角形的性质可得，分，两种情况讨论，由直角三角形的性质可求的长． 本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 16.【答案】；   ．  【解析】， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 把的系数化为得，． 在数轴上表示为： ； ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 把的系数化为得，． 在数轴上表示为： ． 按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解； 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集是关键． 17.【答案】五；没有改变符号；不等式的基本性质；   见解答．  【解析】小明的解答过程中，第五步开始出现了错误，产生错误的原因是没有改变符号；得到第三步的依据是不等式的基本性质； 故答案为：五；没有改变符号；不等式的基本性质； 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为． 根据等式的性质可判断第五步错误；第三步变形的依据是不等式的基本性质； 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18.【答案】见解析；   结论：是等腰三角形．理由见解析．  【解析】图形如图所示： 结论：是等腰三角形． 理由：，， ， ，， ， 平分， ， ，， ， ， 是等腰三角形． 根据要求作出图形； 证明即可． 本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定，就提到过房间数掌握相关知识解决问题． 19.【答案】，  当，选甲、乙两家快递公司快递费一样多，当小明快递的物品超过千克而小于千克，则他应选择乙快递公司更省钱，当小明快递的物品超千克，则他应选择甲快递公司更省钱．  【解析】由题意，当时，； 当时，． ， 由题可得，， 由题意，当时，令， ． ． 当，选甲、乙两家快递公司快递费一样多； 令， ． ． 当，选乙快递公司更省钱； 令， ． ． 当，选甲快递公司更省钱． 综上，当，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当小明快递的物品超过千克而小于千克，则他应选择乙快递公司更省钱；当小明快递的物品超千克，则他应选择甲快递公司更省钱． 依据题意，由甲、乙公司的收费方式结合数量关系，即可求出甲、乙元与千克之间的函数关系式； 当，先求出时，的取值，进而可以判断得解． 本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式，注意分类讨论． 20.【答案】解：，，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ； ； ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ．  【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质、旋转的性质是解题的关键． 先证明≌，得出，，从而得出； 再次证明≌，得出，，从而得出． 21.【答案】解：设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得， 甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元； 设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍， ， 解得， 设所需费用为元， ， ， 随的增大而减小， 时，最小，最小值为元， 此时， 答：购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元．  【解析】设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元，可得：，即可解得甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元； 设购买个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，可得，设所需费用为元，，由一次函数性质得购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式及函数关系式． 22.【答案】解：在中，，， ， ， ，，． 当时，为等边三角形 即， ； 当时，为等边三角形； 若为直角三角形， 当时，， 即， ， 当时，， 即， ． 即当或时，为直角三角形．  【解析】用含的代数式表示出、． 由于，当时，可得到关于的一次方程，求解即得结论； 分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于的一次方程，求解得结论． 本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于的一次方程是解决本题的关键． 23.【答案】证明：平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ； ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； 证明：如图，延长至，使，连接， 则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； 解：延长至，使，连接，过作于点， 则， ， ， 设，则，，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 即的长为．  【解析】证≌，得，，再证，则，即可得出结论； 证，再证≌，得，即可得出结论； 延长至，使，连接，证，再证≌，得，即可得出结论； 延长至，使，连接，过作于点，证≌，得，，设，则，再由勾股定理求出，则，进而证是等腰直角三角形，得，然后由三角形面积求出，则，最后由勾股定理得，即可解决问题． 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$