2025年吉林省松原市长岭县中考数学四模试卷

2025年吉林省松原市长岭县中考数学四模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列算式中，积为正数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 4.某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“长”字所在的面相对的面上的字是(    ) A. 冰 B. 雪 C. 文 D. 化 5.小明按下列步骤作图：如图，任取两点、；分别以点和点为圆心任意长为半径，分别在线段的两侧画弧；再分别以点和点为圆心，适当的长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点和点；顺次连结各点，得到四边形下列结论错误的是 A. B. C. D. 6.如图，在正六边形和正方形中，点、在正六边形的内部，连结并延长交于点，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得、两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为，此时点相对于点升高了(    ) A. B. C. D. 8.如图，四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，若，则菱形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.计算： ______． 10.分解因式：______． 11.某市在一次扶贫活动中，共捐款元，数据用科学记数法表示为______． 12.如图，直尺的一边与重合，另一边分别与、交于点、，、处的读数分别为、，若，则 ______． 13.如图，在扇形中，，为上一点，且，分别以点、为圆心，长为半径画弧，若，则阴影部分的面积为______结果保留根号． 14.如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于和之间，则以下结论：；；若抛物线经过点，，则；若关于的一元二次方程无实数根，则其中正确结论是______请填写序号． 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 先化简，再求值：，其中． 16.本小题分 现有三张不透明的卡片、、，正面分别写有汉字“数”、“学”、“美”，卡片除正面汉字不同外其余均相同将三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取一张卡片，记下汉字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽出的两张卡片上的汉字恰好是“数、学”这两个字的概率． 17.本小题分 端午节前夕，某超市第一次用元购进某种粽子，很快卖完，第二次又用元购进该品牌粽子，但这次每袋粽子的进价是第一次进价的倍，数量比第一次少了袋，求第一次每袋粽子的进价是多少元？ 18.本小题分 如图，在正方形中，点是的中点，点、分别是上的点，． 如图，求证：； 如图，点是上一点，，，若，则 ______． 19.本小题分 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图． 在图中的边上找一点，使； 在图中画的角平分线； 在图中的边上画一点，使：：． 20.本小题分 某校为增强学生对航天知识的了解，组织七、八年级学生进行了航天知识的学习并进行了测试，从两个年级各随机抽取了名学生的成绩，并对成绩百分制进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七年级成绩频数分布直方图如图； 七年级成绩在这一组的数据是：，，，，，，，，，，； 七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数单位：分 中位数单位：分 七 八 根据以上信息，解答下列问题： 在这次测试中，七年级在分以上含分的有______人； 直接写出表格中的值； 在这次测试中，七年级子骁同学与八年级子栋同学的成绩都是分，请判断两位同学在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； 若该校七年级学生有人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数分的人数． 21.本小题分 已知、两地之间有一条笔直的公路，甲车从地出发匀速开往地，甲车出发小时后，乙车从地出发，以每小时千米的速度匀速开往地，两车同时到达各自的目的地两车之间的距离千米与甲车行驶的时间小时之间的函数关系图象如图所示． 甲车的速度为______千米小时，的值为______； 求乙车出发后，与之间的函数关系式，并写出的取值范围； 当两车相距千米时，直接写出的值． 22.本小题分 【初步尝试】如图，点、分别是▱的边、的中点，点为对角线上一点，以点为直角顶点作，过点作交于点，连接，求证：四边形为矩形； 【深入探究】如图，将图中的▱改为菱形，其他条件不变若，且，直接写出四边形的面积； 【拓展延伸】如图，将图中的▱改为矩形，其他条件不变若，，直接写出四边形的面积． 23.本小题分 如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，以为斜边在直线的右侧作等腰直角，设点运动的时间为秒． 求的长； 当点在上运动时，求面积的最小值； 在点运动的过程中，当点在的平分线上时求的值； 当时，直接写出的值． 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线其中、为常数经过点和，点和点均在该抛物线上，其横坐标分别为、，点的坐标为，连接、，以、为边作▱． 求该抛物线对应的函数关系式； 当轴时，求点的坐标； 当▱的边与轴平行时，求抛物线在点和点之间的部分包括点、点的最高点与最低点的纵坐标的差； 当时，设▱的边与轴的交点为，连接，当直线将该平行四边形的面积分成：两部分时，直接写出的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误， 故选：． 根据有理数的乘法法则分别进行计算，选出符合条件的一项即可． 本题考查的是有理数的乘法，掌握积的符号的确定方法：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， 是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 故选：． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：， ， 则， 故选：． 根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 4.【答案】  【解析】解：由题意得：春与雪是相对面，冰与文是相对面， 原正方体中与“长”字所在的面相对的面上的字是化， 故选：． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答． 本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：由作法得，，所以选项的结论正确； 所以四边形为平行四边形， 所以，，所以选项、选项的结论正确， 只有时，，所以选项的结论错误． 故选：． 利用基本作图得到，，则可对选项进行判断；接着判断四边形为平行四边形，则根据平行四边形的性质可对选项和选项进行判断，只有时，，从而可对选项进行判断． 本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等是解决问题的关键．也考查了基本作图和平行线的判定． 6.【答案】  【解析】解：， ， ． 故选：． 先求出，，再根据四边形的内角和即可得出答案． 本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， ，， 在中，， 在中，， ， 点相对于点升高了， 故选：． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：轴，垂足为，函数的图象经过点， ， ， ，即， 由勾股定理得：， ． 故选：． 根据三角形是直角三角形，利用勾股定理求出、长，由菱形面积底乘高即可求得． 本题考查了反比例函数的值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于． 9.【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 根据同底数幂的乘法：底数不变指数相加，可得答案． 本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加． 10.【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 本题的多项式有三项，符合完全平方公式，可运用完全平方公式因式分解． 本题考查了运用公式法因式分解．关键是根据多项式的特点，合理地选择乘法公式． 11.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 12.【答案】  【解析】解：直尺的一边与重合，另一边分别与、交于点、， ， ∽， ， ， ， 、处的读数分别为、， ， ， 故答案为：． 由题意得，，则∽，由，得，则，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：连接，，， ，， ． 又， 和是等边三角形， 图中空白部分的面积与上方及右侧的面积之和相等， 阴影部分的面积等于与的面积之和． 又， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 连接，，，将阴影部分的面积转化为与的面积之和，再进行计算即可． 本题主要考查了扇形面积的计算，能将题中阴影部分的面积转化为与的面积之和是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：抛物线的顶点的坐标为， ． ， 抛物线开口方向向下，即， ， 当时，， ，故正确． 由图象可得：当时，， ，故正确． 直线是抛物线的对称轴， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，故错误． 关于的一元二次方程无实数根， 顶点在直线的下方， ，故正确． 故正确的有． 故答案为：． 依据题意，利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；利用二次函数的性质即可判断；根据抛物线与直线无交点即可判断． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 15.【答案】，．  【解析】解：原式 ， 当，时，原式． 运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入计算即可． 本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算，乘法公式，代入求值是解题的关键． 16.【答案】．  【解析】解：画树状图如图所示： 共有种等可能的结果，其中小明抽出的两张卡片上的汉字恰好是“数、学”这两个字的结果有种， 小明抽出的两张卡片上的汉字恰好是“数、学”这两个字的概率为． 画树状图，共有种等可能的结果，其中小明抽出的两张卡片上的汉字恰好是“数、学”这两个字的结果有种，再由概率公式求解即可． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．于点的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 17.【答案】第一次每袋粽子的进价是元．  【解析】解：设第一次每袋粽子的进价是元，则第二次每袋粽子的进价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一次每袋粽子的进价是元． 设第一次每袋粽子的进价是元，则第二次每袋粽子的进价是元，根据某超市第一次用元购进某种粽子，第二次又用元购进该品牌粽子，数量比第一次少了袋，列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18.【答案】见解析；  ．  【解析】证明：过点作于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ； 解：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ，， ， ∽， ， ， ， 由可知， ． 故答案为：． 过点作于点，利用等腰三角形的性质证明可得结论； 利用相似三角形的性质求出可得结论． 本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 19.【答案】见解析．  【解析】如图中，点即为所求； 如图中，线段即为所求； 如图中，点即为所求． 在线段上取点，使得，连接即可； 取格点，，连接，交于点，连接交于点，线段即为所求； 取格点，连接交于点，点即为所求． 本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 20.【答案】；   ；   七年级子骁同学在其年级的排名更靠前，理由见解析；   估计七年级成绩超过平均数分的有人．  【解析】七年级在分以上含分的人数为人， 故答案为：； 第，名学生的成绩分别为，， 所以； 七年级子骁同学在其年级的排名更靠前，理由如下： 因为七年级子骁同学的成绩大于其中位数分，而八年级子栋同学的成绩小于其中位数分，所以七年级子骁同学在其年级的排名更靠前； 人， 答：估计七年级成绩超过平均数分的有人． 根据各组人数求出的人数即可； 根据中位数的定义求解即可； 根据七年级子骁同学的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断； 用样本估计总体的思想解决问题． 本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． 21.【答案】；；   或．  【解析】由题意可知，甲车的速度为：千米小时； ， 故答案为：；； 由题意，当甲、乙两车相遇时，， ， 点的坐标为， 当时， 设，将点、代入， ． ． 当时，设，将点、代入， ． ． ． 综上所述，乙车出发后，与之间的函数关系式为 当时，令，得， ； 当时，令，得， ． 综上，或． 依据题意，由图象可知甲车行驶行驶所走路程为千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶千米所用的时间即可求解； 依据题意，运用待定系数法解得即可； 依据题意，分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可． 本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 22.【答案】【初步尝试】证明见解析； 【深入探究】； 【拓展延伸】．  【解析】【初步尝试】证明：， ． ， ． 四边形是平行四边形， ，， ． ，， ， ≌， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形． 【深入探究】解：四边形的面积为． 连接交于点，则，， 为的中点，， 为的中位线，， ， 由【初步尝试】知四边形为矩形， ， 过点作于点， ， ， ， ， 四边形的面积； 【拓展延伸】解：四边形的面积为． 连接交于点，则，， 同理可得， ，， ， 过点作于点， ，， ∽， ， ， ， ， 四边形的面积为． 【初步尝试】证明，得出≌，得出，由矩形的判定可得出结论； 【深入探究】连接交于点，则，，求出，得出，则可得出答案； 【拓展延伸】连接交于点，则，，同理可得，求出，过点作于点，证明∽，得出，求出，则可得出答案． 本题是四边形综合题，涉及矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 23.【答案】；   面积的最小值是；   的值是或；   的值是或．  【解析】，，， ； 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 当点在上运动，时，如图，的值最小，的面积最小， ， ， ； 即面积的最小值是； 当点在的平分线上时，存在两种情况： 如图，当点在上时，平分，设交于，过点作于点，过点作于， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， 平分，，， ， 设，则，， ， ≌， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ，， ； 如图，当点在上时，过点作于点，于点， ， 平分， ， ， ≌， ， ，， ≌， ， ， ， ， ； 综上，的值是或； 分两种情况： 如图，延长交于点，过点作于，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由知：， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， --， ； 如图，过点作于， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， 由知：， 由知：，， ， ， 综上，的值是或． 由勾股定理即可解答； 根据是等腰直角三角形，可知：，，表示，则当点在上运动，时，如图，的值最小，的面积最小，即可解答； 如图，当点在上时，平分，设交于，过点作于点，过点作于，设，则，，证明≌，设，则，，根据勾股定理和线段的和列方程即可解答； 如图，当点在上时，过点作于点，于点，证明≌，≌，即可解答； 分两种情况：如图，延长交于点，过点作于，过点作于点，如图，过点作于，分别画图即可解答． 本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，正方形和矩形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理等知识，分类讨论是解本题的关键． 24.【答案】；   ；  ；   的值为或．  【解析】将点和代入中， ， 解得， ； 由题意得，，， 四边形是平行四边形， ， 轴， 轴， ， 点在轴上， ， 解得， ； 当轴时，， 解得或舍， ， ， 顶点为， 抛物线在点和点之间的部分的最高点为，最低点为， 最高点与最低点的纵坐标的差为； 四边形是平行四边形， 是的中点， ， 当点在边上时，是的中点， ， 解得或舍； 当在边上时，是的中点， ， 解得或舍； 综上所述：的值为或． 用待定系数法求函数的解析式即可； 由题意可知点在轴上，则，求出的值即可求点坐标； 由题意可知当轴时，，求出，再结合函数图象求解即可； 根据平行四边形的性质求出，当点在边上时，是的中点，即；当在边上时，是的中点，即，分别求出即可． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$