广东省河源市紫金县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省河源市紫金县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子是分式的是(    ) A. B. C. D. 2.为弘扬中华优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习.下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.下列各式从左到右的变形属于分解因式的是(    ) A. B. C. D. 4.已知，下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在一次数学实践活动中，同学们利用数学知识估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为10m， 由此估测A，B之间的距离约为(    ) A. 5m B. 10m C. 15m D. 20m 6.如图，将绕点A顺时针旋转 得到，若线段，则(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是(    ) A. B. C. D. 8.下列命题中：①同位角相等，两直线平行；②如果，那么，；③等边三角形的三个角都相等.它们的逆命题是真命题的个数是(    ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 9.如图，在中，，的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为若，则BC的长为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若分式的值为0，则x的值为______. 12.分解因式：          . 13.一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是          . 14.已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为______度． 15.如图，平行四边形的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD，AB于点E，F，且，，，那么图中阴影部分的面积为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 解不等式组： 17.本小题7分 先化简，再求值：，其中 18.本小题7分 如图，在▱ABCD中，点E，F分别AD，BC在上，且，EF，BD相交于点O，求证： 19.本小题9分 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为点，， 请在图中画出； 请直接写出平移后的点，，的坐标. 20.本小题9分 如图，在中，，，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足. 求的度数； 若的周长为18，求BC的长. 21.本小题9分 八班为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同. 购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ 若该班级计划购买甲、乙两种奖品共50件，且购买的总费用不超过1450元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 22.本小题13分 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.请利用“双求法”解决问题： 如图2，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到 ①AB的长为______； ②求边AB上的高. 如图3，在中，，，，AD是边BC上的高，求AD的长. 23.本小题14分 如图，在平行四边形ABCD中，，，点P在边BC上由点B向点C运动，速度为每秒2cm；点Q在边AD上由点D向点A运动，速度为每秒点P，Q同时出发，当点P运动到点C时，两点停止运动，连接PQ，设运动时间为 用含t的代数式分别表示：______cm，______ 当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？ 当t为何值时，点P在的平分线上？ 当t为何值时，四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的？ 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、是分式，故此选项符合题意； C、不是分式，故此选项不符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选： 一般地，如果A、表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选： 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3.【答案】D  【解析】解：是乘法运算，则A不符合题意， 是加减运算，则B不符合题意， 中等号右边不是积的形式，则C不符合题意， 符合因式分解的定义，则D符合题意， 故选： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：已知， 两边同时乘以5得，则A不符合题意， 两边同时减去5得，则B不符合题意， 两边同时乘以5再同时加上2得，则C符合题意， 两边同时乘以得，则D不符合题意， 故选： 利用不等式的性质逐项判断即可． 本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：，E分别是AC，BC的中点， 是的中位线， ， 故选： 由三角形中位线定理可求，即可求解． 本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】【分析】      根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得      本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义． 【解答】 解：绕点A顺时针旋转 得到， ，， 是等边三角形， ， ， 故选： 7.【答案】A  【解析】解：A、由，，不能证明≌， 因此不能得出，故选项A符合题意； B、， ， 在和中， ， ≌， ， 又， 四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、，， 四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、， ， 同选项B得：≌， ， 又， 四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选： 由平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证出是解题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：①同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，符合题意； ②如果，那么，的逆命题为如果，，那么，正确，是真命题，符合题意； ③等边三角形的三个角都相等的逆命题为三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意． 真命题有3个， 故选： 写出原命题的逆命题后判断正误即可． 本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是能正确的写出原命题的逆命题，难度不大． 9.【答案】B  【解析】解：是AB的垂直平分线， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的平分线，，， ， 故选： 根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到，求出，计算即可． 本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等以及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：一次函数与的图象相交于点， 由题意知：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于x的不等式的解集是 故选： 观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集． 本题考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 11.【答案】1  【解析】解：若分式的值为0， 则且， 解得， 故答案为： 根据分式的值为零即分子为0且分母不为0计算即可． 本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项都是平方项；符号相反． 直接利用平方差公式分解则可． 【解答】 解： 故答案为： 13.【答案】8  【解析】【分析】 此题主要考查了多边形内角和公式． 根据多边形内角和公式列方程，再解方程即可． 【解答】 解：设这个多边形边数为n，由题意得： ， 解得：， 故这个多边形边数为8， 故答案为： 14.【答案】40或70  【解析】解：本题可分两种情况： ①当角为底角时，顶角为； ②角为等腰三角形的顶角； 因此这个等腰三角形的顶角为或 故答案为：40或 本题考查的是等腰三角形的性质．首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论． 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 15.【答案】15  【解析】解：作于点H，则， 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O， ，，，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 故答案为： 作于点H，由平行四边形的性质得，，，，则，，因为，所以，可证明≌，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17.【答案】，  【解析】解：原式 ， 当时， 原式 先用同分母分式相加减的法则计算，再分解因式约分，最后把x的值代入计算． 本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式相关的运算法则，把所求式子化简． 18.【答案】证明：连结BE、DF，如图所示. 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， 四边形BEDF是平行四边形，   【解析】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是先连接BE、DF，证明四边形BEDF是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可解答． 19.【答案】见解答．   ，，  【解析】如图，即为所求． 由图可得，，， 根据平移的性质作图即可． 由图可得答案． 本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 20.【答案】；     【解析】，， ， ，FG分别为AB，AC的垂直平分线， ，， ，， ； ，FG分别为AB，AC的垂直平分线， ，， 的周长为18， 先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，，据此可得出结论； 根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 21.【答案】购买1件甲种奖品需35元，购买1件乙种奖品需20元；   甲种奖品最多能购买30件．  【解析】设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 元， 答：购买1件甲种奖品需35元，购买1件乙种奖品需20元； 设甲种奖品购买y件，则乙种奖品购买件， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为30， 答：甲种奖品最多能购买30件． 设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元，根据用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同，列出分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可得出结果； 设甲种奖品购买y件，则乙种奖品购买件，利用总价=单价数量，结合总价不超过1450元，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22.【答案】；   边AB上的高为；     【解析】根据勾股定理可得，； 故答案为：； 设AB边上的高为 ， ， ， 边AB上的高为； 设，则 是BC边上的高， 在中， 在中， ， 解得， 由勾股定理求出AB的长即可； 根据等面积法求解； 设，则在与中根据勾股定理得出方程求解即可推出结果； 本题考查了勾股定理的证明，熟记勾股定理是解题的关键． 23.【答案】t，；   4；   3；     【解析】点P在边BC上由点B向点C运动，速度为每秒2cm；点Q在边AD上由点D向点A运动，速度为每秒 ，， 故答案为：t，； 四边形PCDQ为平行四边形， 当时，四边形PCDQ为平行四边形． 如图，连接 在平行四边形ABCD中，，， ，， 点P在的平分线上， 当时，点P在的平分线上． 设平行四边形ABCD的边BC上的高为 四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的， ， 解得 当时，四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的 由题意可得出答案； 由题意可得出解得； 连接得出求出； 由题意可得出，解得 本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$