山东省烟台市莱阳市 2024—2025学年下学期九年级期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省烟台市莱阳市九年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(    ) A. B. 2 C. D. 1 3.如图，与是以点O为位似中心的位似三角形，且OA：：1，则与的面积之比为(    ) A. 1：2 B. 1：4 C. 2：3 D. 4：9 4.如图，点E在正方形ABCD的内部，且为等边三角形，连接CE并延长与AB交于点F，BD与CF相交于点G，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 6.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是(    ) A. B. 且 C. 且 D. 7.如图，在矩形ABCD中，，，AC，BD相交于点O，E为BA延长线上一点，连接OE交AD于点F，若，则OE的长度为(    ) A. B. C. D. 8.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为求车道的宽度单位：设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为(    ) A. B. C. D. 9.如图，小明正在使用手电筒进行物理光学实验.地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处.点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上.则灯泡到地面的高度GA为(    ) A. B. C. D. 10.如图，正方形ABCD的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边AB、AD上运动，且满足，连接EF，过点O作交AB点G，则下列结论：①连接FG，则的周长不变；②若，则；③连接OF，则；④其中正确的为(    ) A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值是______. 12.已知a，b是方程的两个根，则的值为______ 13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交BC于点E，交AB的延长线于点若，，则BF的长度为______. 14.如图，四边形ABCD是菱形，，，AC和BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE，过点E作于点F，过点O作于点G，则四边形EFGO的周长为______. 15.若，是方程的两个实数根，且，则m的值为______. 16.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD上一点，连接BE，BF，EF，若，，则的值为______. 三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值. 18.本小题6分 如图，一个大矩形中有5个形状大小完全相同的小矩形，每个小矩形的宽都为若图中阴影部分的面积为42，求小矩形的长. 19.本小题7分 如图，，AC与BD交于点E，且，， 求AC的长. 求证：∽ 20.本小题8分 已知， 求的值； 若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求的值. 21.本小题9分 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长BC到点E，使得，连接DE，点F是DE的中点，连接 求证：四边形DOCF是菱形； 若矩形ABCD的周长为20，，求四边形DOCF的面积. 22.本小题10分 某种商品在某电商平台1月份的销量是5万件，3月份的销量是万件. 若该平台1月份到3月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ 某商场销售这种商品，每件进价为40元.市场调研发现：当每件售价为80元时，平均每天能售出20件；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出4件.为尽量减少库存，商场决定降价促销，若想使这种商品的销售利润平均每天达到1400元，每件售价应降低多少元？ 23.本小题11分 在矩形ABCD中，BD是对角线，E在AD边上，连接 如图1，若，，，求BD的长度； 如图2，若，，连接BF交EC于G，当G为BF的中点时，求证： 24.本小题12分 如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E、F分别在边AD、AB上，，延长CB到G，且，联结GF、 求证：； 延长GF交CE于点H，联结BH，求证： 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【解答】 解：A、原式，所以A选项错误； B、原式，所以B选项错误； C、原式，所以C选项错误； D、原式，所以D选项正确． 故选 【分析】 根据二次根式的性质对对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断，根据二次根式的乘法法则对D进行判断． 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 2.【答案】D  【解析】解：设方程的另一个为根为t， 根据根与系数的关系得到， 解得， 即方程的另一个根为 故选： 设方程的另一个为根为t，则利用根与系数的关系得到，然后解一次方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，， 3.【答案】D  【解析】解：：：1， ：：3， 与的相似比为2：3， 与的面积比为4： 故选： 由题意得OA：：3，可得与的相似比为2：3，进而可得与的面积比为4： 本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：在正方形ABCD中，，，， 在等边三角形ADE中，，， ，， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， 故选： 先根据正方形性质和正方形性质得，，，，进而得，，由此得，则，然后根据三角形外角性质即可得出的度数． 此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：原式 故选： 先根据二次根式的除法法则运算，再分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：关于x的一元二次方程 有实数根， 且，即且， 解得且， 故选： 先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：过点O作于点H，如图所示： 四边形ABCD是矩形，，， ，， ， ， ， 又， 是的中位线， ，， 点E为BA延长线上一点，且， ， 在中，由勾股定理得： 故选： 过点O作于点H，证明OH是的中位线得，，进而得，然后在中，由勾股定理即可求出OE的长． 此题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位图中阴影部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得： 故选： 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位图中阴影部分可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：由题意得：，，， ， ， ∽， ， ， 解得：， ， ， 由题意得：， ∽， ， ， 解得：， 灯泡到地面的高度GA为， 故选： 根据题意可得：，，，从而可得，然后证明∽，从而利用相似三角形的性质求出BC的长，进而求出AB的长，最后证明∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：点O是正方形的中心，连接BD，则BD经过点O，连接OA，FG，OF，如图， 正方形ABCD的边长为4， ，， 又， ≌， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是线段EF的垂直平分线， ， 的周长为， 的周长不变，故①正确； ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得 解得，即，故②正确； 是等腰直角三角形，， ， 又， ， ∽， ， ，， ，故④正确； ∽， ， 又 ∽， ， ，，故③错误； 综上，①②④正确， 故选： 证明≌，推出是等腰直角三角形，OG是线段EF的垂直平分线，再证明∽，∽，据此求解即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似或全等三角形． 11.【答案】4  【解析】解：， 最简二次根式与二次根式能够合并，即最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 故答案为： 先把化简为，然后再根据最简二次根式与二次根式能够合并，由同类二次根式的定义可得：，解一元一次方程即可得出答案． 本题考查了同类二次根式，最简二次根式，解一元一次方程，掌握同类二次根式定义，最简二次根式定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 12.【答案】5  【解析】解：因为a，b是方程的两个根， 所以，， 则， 所以 故答案为： 利用一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，结合整体思想即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13.【答案】6  【解析】解：连接AE，设FE与AC交于点O，如图所示： 四边形ABCD是矩形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 是对角线AC的垂直平分线， ，， ，， 在中，， ， ， 又， ∽， ， ， 的长度为 故答案为： 连接AE，设FE与AC交于点O，先由勾股定理求出，进而根据线段垂直平分线的性质得，则，证明和相似，然后利用相似三角形的性质即可得出BF发的长． 此题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，理解矩形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 14.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ，，，， ， ， 的面积， ， ， 为AB的中点，O是AC中点， 是的中位线， ，， 于点F，于点G， 四边形EFGO是矩形， ，， 四边形EFGO的周长 故答案为： 由菱形的性质推出，，，，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，求出，由三角形中位线定理推出，，判定四边形EFGO是矩形，得到，，即可求出四边形EFGO的周长． 本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，关键是由三角形的面积公式求出OG的长，由三角形中位线定理得到， 15.【答案】  【解析】解：由题意，， ， 解得， ，是方程的两个实数根， ， 又， ，即， 解得，或， 又， 的值是 故答案为： 首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值． 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ，，， ， ， ∽， ， 点E是AD中点， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为： 根据题意得出∽，设，则，进而得出DF，CF，即可求解． 本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上性质是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 本题考查最简二次根式，结合已知条件得到是解题的关键． 18.【答案】小矩形的长为  【解析】解：设小矩形的长为x， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：小矩形的长为 设小矩形的长为x，利用图中阴影部分的面积=大长方形的面积小长方形的面积，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19.【答案】解：， ∽； ， ， ； 证明：，， ， ， ∽  【解析】根据相似三角形的判定和性质解答即可； 证出，利用相似三角形的判定解答即可． 此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明∽ 20.【答案】11；     【解析】解：，， ， ， ； ， ， ， 的整数部分是3， ， ， ， ， 的整数部分是0，小数部分， ， ， 的值为 利用完全平方公式，进行计算即可解答； 先估算出与的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 本题考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 21.【答案】证明：由题意可得：，，，， ， ， 点C是线段BE的中点， 是的中位线， ，， 四边形DOCF是平行四边形， ， 四边形DOCF是菱形； 解：由题意可得：，，， 矩形ABCD的周长为20， ， ， ， 在中，，即， 解得或， ， ，， ， 菱形DOCF的面积  【解析】由矩形的性质求得，再证明CF是的中位线，推出，，得到四边形DOCF是平行四边形，据此即可证明四边形DOCF是菱形； 先求得，在中，利用勾股定理列式计算求得，，再利用菱形的面积公式即可求解． 本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．证明四边形DOCF是菱形是解题的关键． 22.【答案】；  30元．  【解析】由题意，设月平均增长率是x， ， ，不符合题意，舍去 答：月平均增长率是 由题意，设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， ， ， 又要尽量减少库存， 答：每件售价应降低30元． 依据题意，设月平均增长率是x，利用该商品在该平台3月份的销售量=该商品在该平台1月份的销售量月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，进而计算可以得解依据题意，设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用总利润=每件的销售利润日销售量，可列出关于y的一元二次方程，进而计算即可判断得解． 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23.【答案】；   证明见解答过程；  【解析】解：在矩形ABCD中，，， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：； 证明：过点B作于点P，如图所示： ， ， ， 点G为BF的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在正方形ABCD中，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 又， 由矩形性质得，再由得是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后在中，由勾股定理即可求出BD的长； 过点B作于点P，则，根据点G为BF的中点得，由此判定和全等得，，再证明和全等得，然后根据即可得出结论． 此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 24.【答案】证明见解答；   证明见解答．  【解析】证明：四边形ABCD是正方形， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， 延长GF交CE于点H，联结BH， ， ， 由得≌， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， 由正方形的性质得，，则，，由，推导出，则，可证明，，即可根据“SAS”证明≌，则； 延长GF交CE于点H，联结BH，由，得，而，所以，则，所以，则，再证明∽，得，所以，则 此题重点考查正方形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明≌及∽是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$