江苏省扬州市高邮市 2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年江苏省扬州市高邮市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是(    ) A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 2.下列调查中，适合采用全面调查的是(    ) A. 调查高邮市初中生的视力情况 B. 调查五一期间全国观众最喜爱的电影 C. 调查一批灯泡的使用寿命 D. 调查神舟二十号载人飞船各零部件的情况 3.下列各式中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 4.一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是(    ) A. 白球 B. 黑球 C. 红球 D. 黄球 5.若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为(    ) A. 0 B. C. 2 D. 6.若分式的值为0，则x的值为(    ) A. 3 B. 3或 C. D. 0 7.下列命题：①若，则；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④在反比例函数中，若函数值时，则自变量其中真命题的个数是(    ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8.在平面直角坐标系xOy中，对于点和，若时，；时，，则称点Q是点P的“演绎点”.若点是反比例函数图象上点P的“演绎点”，则a的值为(    ) A. 或4 B. 或 C. 或 D. 或4 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.使式子有意义的x的取值范围是______. 10.一个样本的40个数据分别落在4个组内，第1、2、3组数据的频数分别是2、6、20，则第4组数据的频率为______. 11.如图，在平行四边形ABCD中，，，则的度数为______. 12.若关于x的方程的一个根是3，则另一个根是______. 13.如图，点A在反比例函数的图象上，轴，若的面积为5，则k的值为______. 14.如图，中，，DE，CF分别是的中位线和中线，，则______. 15.已知关于x的方程有两个实数根，k的取值范围是______. 16.已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为      . 17.已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为______. 18.如图，矩形ABCD中，，，点M是AB的中点，点P在直线CM上运动，连接DP，点O是DP的中点，连接CO，则CO的最小值是______. 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算： ； 20.本小题8分 解方程： ； 21.本小题8分 某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试.将成绩分为五组：，，，，，绘制成如下不完整的统计图： 本次抽查的学生人数为______名，成绩所对应的圆心角为______； 补全频数分布直方图； 若七年级有400名学生，成绩不低于90分为优秀，请估计该校七年级学生优秀的人数. 22.本小题8分 2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品.通过电话询问文具店了解到羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副，则羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？ 23.本小题10分 已知关于x的一元二次方程 求证：方程总有两个实数根； 若的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为6，当是等腰三角形时，求k的值. 24.本小题10分 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴交于点 求该反比例函数和一次函数的解析式； 直接写出不等式的解集为______； 若在y轴上找一点P使最大，则点P的坐标为______. 25.本小题10分 如图，已知矩形 请用无刻度的直尺和圆规作图，在AD边上找一点E，BC边上找一点F，使得四边形AECF为菱形保留作图痕迹； 若，，求菱形AECF的面积. 26.本小题10分 已知BD是▱ABCD的对角线，M、N分别是AD、BC的中点，，，垂足分别为E、 如图1，求证：四边形MENF是平行四边形. 如图2，若，，若四边形GEHF是矩形时，则BD的长为______. 27.本小题12分 阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的. 若，求代数式的值. 解：，，即，， 若，则______，______； 解分式方程组：； 若，求的值. 28.本小题12分 已知中，，，，将绕着点C顺时针旋转，得到 如图1，当点M落在AB边上时，求线段BM的长； 如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接AM、AN、BM、 ①判断线段AM与BN的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为______. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选： 直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形． 2.【答案】D  【解析】解：调查高邮市初中生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意； B.调查五一期间全国观众最喜爱的电影，适合抽样调查，故本选项不符合题意； C.调查一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意； D.检测载人飞船的零部件质量情况，适合全面调查，故本选项符合题意； 故选： 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大． 3.【答案】B  【解析】【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：，不是最简二次根式，故A选项错误； B.是最简二次根式，符合题意，故B选项正确； C.，不是最简二次根式，故C选项错误； D.，不是最简二次根式，故D选项错误. 故选 4.【答案】C  【解析】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， 其中红球最多，故摸到红球的概率最大． 故选： 根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 本题考查了概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 5.【答案】D  【解析】解：点在反比例函数的图象上， ， 故选： 由点A在反比例函数图象上，可得出，将其代入代数式中即可得出结论． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可． 6.【答案】A  【解析】解：根据题意，得 ，即， 解得 故选： 分式的值为0：分子为0，分母不为 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为这两个条件缺一不可． 7.【答案】C  【解析】解：①若，则，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意； ④在反比例函数中，若函数值时，则自变量或，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选： 利用实数的性质、菱形的判定方法、平行四边形的判定方法及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 8.【答案】B  【解析】解：反比例函中， 反比例函数图象分布在第二四象限， 当时，点是反比例函数图象上点P的“演绎点”， ， ， ； 当时，点是反比例函数图象上点P的“演绎点”， ， 综上分析，a的值为或 故选： 根据新定义及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、新定义，熟练掌握以上知识点是根据． 9.【答案】  【解析】解：由条件可知， ， 故答案为： 根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 本题考查了二次根式的有意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是关键． 10.【答案】  【解析】解：第4组数据的频数是：， 则第4组数据的频率为 故答案为： 求出第4组数据的频数，即可确定出其频率． 本题考查了频率与频数，掌握频率与频数之间的关系是解本题的关键． 11.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为： 利用平行线的旋转中求出，再利用等腰三角形的性质求解． 本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 12.【答案】  【解析】解：关于x的方程的一个根是3， 设方程的另一个根为a， 则， 解得：， 故答案为： 设方程的另一个根为a，得到，即可求解． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则， 13.【答案】  【解析】解：如图，连接OA， 轴， ， ， ， 故答案为： 根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 14.【答案】4  【解析】解：是的中位线，， ， 在中，，CF是的中线， 则， 故答案为： 根据三角形中位线定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出 本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记各性质定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：关于x的方程有两个实数根， ， 故答案为： 由根的判别式，可求出k的取值范围． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 16.【答案】且  【解析】解：原方程， 解得 因为，即， 因为解是负数，即， 所以， 所以m的取值范围是且 故答案为：且 先根据原方程解得方程的解，再根据分式方程的解是负数，以及分母不为0，即可求解． 本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解是负数，容易求出其中字母系数的取值范围，但需要特别注意的是要把在这个范围内使分式的分母为零的字母系数的值排除，这也是大部分学生的出错点． 17.【答案】  【解析】解：关于x的方程可变形为， 关于x的方程的一个根为， 关于的方程的一个根为， 即， 即关于x的方程的一个根为 故答案为： 先把关于x的方程变形方程，此方程可看作关于的一元二次方程，所以，然后求出x即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把关于x的方程变形为关于的方程是解决问题的关键． 18.【答案】  【解析】解：如图，连接DM，取DM的中点H，连接OH，并延长交CD于N， 点O是DP的中点，点H是DM的中点， ， 点O在直线OH上移动， 当时，有最小值， 如图，连接CH，过点H作于K， ， 四边形是平行四边形， ， ，，点M是AB的中点， ，， ， ，H是DM的中点， ， ， ， 的最小值为， 故答案为： 由三角形中位线定理可得，则点O在直线OH上移动，即当时，有最小值，由三角形面积公式可得，即可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，确定点O的运动轨迹是解题的轨迹． 19.【答案】2；   【解析】 ； 先化简，然后计算加减法即可； 先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20.【答案】；   ，  【解析】， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为 ， ， 或， ， 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，熟知解分式方程及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 21.【答案】50，；   见解答．     【解析】本次抽查的学生人数为名， 成绩所对应的圆心角为， 故答案为：50，36； 成绩的人数为人， 补全图形如下： 名， 答：估计该校七年级学生优秀的人数约为104名． 由的人数及其所占百分比可得总人数，用乘成绩的人数所占比例即可； 根据各组人数之和等于总人数求出第3组人数，从而补全图形； 总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，掌握“频率=频数总数”是正确解答的前提． 22.【答案】羽毛球拍的单价为80元，乒乓球拍的单价为50元．  【解析】解：设乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元，即元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：羽毛球拍的单价为80元，乒乓球拍的单价为50元． 设乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元，即元，根据花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副，列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23.【答案】证明： ， 方程总有两个实数根； 解：原方程分解因式得：， ，， 当等腰三角形的腰是2时，，不合题意， 等腰三角形的腰是6， ， 故k的值为  【解析】证明即可； 求出方程的解，根据是等腰三角形分类讨论即可． 本题考查了根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是对原方程进行因式分解，求出方程的根． 24.【答案】或；     【解析】两个函数图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴交于点C， ， ，， 反比例函数解析式为， ，两点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为； 如图，，， 不等式的解集为：或， 故答案为：或； 一次函数中，当时，当时，， ，， 当点P在直线AB上时，满足最大， 故答案为： 根据待定系数法求出两个函数解析式即可； 数形结合，直接写出不等式的解集即可； 求出直线AB与y轴的交点坐标就是满足条件的点P的位置． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 25.【答案】见解答．     【解析】如图，连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F，连接AF，CE， 则四边形AECF即为所求． 四边形AECF为菱形， 四边形ABCD为矩形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ， 菱形AECF的面积为 连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F，连接AF，CE即可． 由菱形的性质得，由矩形的性质得，设，则，在中，由勾股定理得，，代入求出x的值可得CF的长，再根据菱形AECF的面积为可得答案． 本题考查作图-复杂作图、菱形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26.【答案】证明略：    【解析】证明：四边形ABCD为平行四边形， ，， ， ，， ， 、N分别是AD、BC的中点， ，， ，，， ， ， 四边形MENF是平行四边形； 解：四边形ABCD为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 连接MN，如图2， ，， 四边形MABN是平行四边形， ， 四边形GEHF是矩形时，， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得， ， ， ， 故答案为： 根据平行四边形的性质得到，，进而得到，再根据直角三角形斜边上的中线推出，，得到，即可得证； 根据平行四边形的性质，证明≌，得到，，连接MN，推出四边形MABN是平行四边形，得到，根据矩形的性质，得到，利用和勾股定理，求出BF的长，进而求出BE，DF长，利用进行求解即可． 本题是四边形综合题，考查平行四边形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理．本题的综合性较强，熟练掌握并灵活运用相关知识点，是解题的关键． 27.【答案】4，；  ；    【解析】， ， 即， ； ， ； 故答案为：4，； 原方程组化为，即， ①②得， 解得， ①②得， 解得， 所以原方程组的解为； ， ，，， ，，， ， ， ， 把已知等式两边取倒数得到，利用同分母加法运算的逆运算可得；接着变形得到，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算出，最后利用倒数的定义求解； 利用倒数法把原方程组变形为，然后利用加减消元法解关于和的方程组即可； 先利用倒数的方法得到，，，即，，，再把三个等式相加可得，进行计算的值，然后根据倒数的定义得到的值． 本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法． 28.【答案】线段BM的长为7；   ①，理由见解答过程； ②的值为1250； ③  【解析】过C作于H，如图： ，，， ， ， ， ， 将绕着点C顺时针旋转，得到， ， ， ， ， 线段BM的长为7； ①，理由如下： 设AM交BC于E，交BN于D，如图： 将绕着点C顺时针旋转，得到， ，，， ，，，即， ，即， ， ， ， ，即， ， ， ； ②如①图，， ，， ， 由旋转性质得：， ， 的值为1250； ③延长AC到T，使，过N作直线AC于K，连接NT，如图： 将绕着点C顺时针旋转，得到， ，，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 要使最大，只需NK最大，而NK最大为， 最大为， 故答案为： 过C作于H，求出，由面积法可得，用勾股定理可得，再根据将绕着点C顺时针旋转，得到，得，故； ①设AM交BC于E，交BN于D，由将绕着点C顺时针旋转，得到，得，，，可证，即可得，从而，； ②由，可得，而，即得的值为1250； ③延长AC到T，使，过N作直线AC于K，连接NT，由将绕着点C顺时针旋转，得到，可得，，，证明≌，知，故，要使最大，只需NK最大，而NK最大为，即得最大为 本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，勾股定理及应用，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$