广东省惠州市民办东江中学 2024—2025学年下学期八年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年广东省惠州市民办东江中学八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中，最简二次根式是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算中正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点若，，则AB的长为(    ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4.函数中自变量x的可能取值是(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.下列各组数中为勾股数的是(    ) A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. ，， D. 3，4，5 6.如图，下列哪组条件不能判定四边形ABCD是平行四边形(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 7.如图，在中，，D为斜边AB的中点，，，则CD的长为(    ) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 8.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈=十尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为(    ) A. B.   C.   D. 9.如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在▱ABCD中，于点E，交其延长线于点F，若，，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为(    ) A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.______. 12.三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为______. 13.若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______. 14.如图，在中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若的周长为12cm，则的周长是______ 15.如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处.则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为______杯壁厚度不计 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 计算： 17.本小题7分 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，求证： 18.本小题7分 已知，，求下列各式的值： ； 19.本小题9分 如图，武汉光谷为庆祝“两会”的召开，园艺工人要在二妃山一块的空地上划出一个后，种植出如图中阴影部分图案的草坪.测得米，米，米，米.求图中阴影部分的面积. 20.本小题9分 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，交AD的延长线于点E， 求证：四边形ABCD是矩形； 若，，求四边形BCED的周长． 21.本小题9分 已知，在四边形ABCD中，，P是对角线BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，，求的度数. 22.本小题13分 如图，在四边形ABCD中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒.       ，      ，分别用含有t的式子表示； 当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值. 当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值. 23.本小题14分 综合与实践 【材料阅读】图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成三角形的三边长分别为a，b，，用它可以证明勾股定理，思路是利用大正方形面积的两种求法，一种是边长的平方，即，另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称为“算两次”. 【方法运用】小明通过查阅资料得知了勾股定理的另一种证法：把两个全等的三角形和按照如图②所示的方式放置，三角形的三边长分别为a，b，c，，于点 在此基础上，请用a，b，c分别表示出四边形ACBD、梯形BDEC和的面积，并通过探究这三个图形的面积之间的关系，得出 【方法迁移】 如图③，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，连接网格的三个格点A，B，C，得到，则边AB上的高为______. 如图④，在中，，，，AD是边BC上的高，求AD的长. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、是最简二次根式，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选： 根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：，故选项A错误，不符合题意； 不能合并，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C正确，符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选： 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ，， 是等边三角形 故选： 由矩形的性质可得：，，，为等边三角形，故 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质，是基础题，比较简单． 4.【答案】D  【解析】解：由题意得：， 解得：， 则自变量x的可能取值是3， 故选： 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可． 本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意． 故选： 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 本题考查了勾股数的定义，注意：①作为勾股数的三个数必须是正整数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度． 6.【答案】D  【解析】解：根据平行四边形的判定，A、B、C均符合是平行四边形的条件，D则不能判定是平行四边形． 故选： 平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形． 7.【答案】C  【解析】解：由勾股定理得，， ，D为斜边AB的中点， 故选： 利用勾股定理列式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得： 故选 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理列出方程即可． 此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 9.【答案】D  【解析】解：， ， ； 故选： 由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：▱ABCD的周长， ①， 于E，于F，，， ， 整理得，②， 联立①②解得，， ▱ABCD的面积 故选： 根据平行四边形的周长求出，再用面积法求出，然后求出CD的值，再根据平行四边形的面积公式计算即可得解． 本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的周长与面积得到关于BC、CD的两个方程并求出CD的值是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 根据二次根式的除法法则进行运算，然后将二次根式化为最简即可． 本题考查了二次根式的除法运算，属于基础题，掌握二次根式的除法法则及二次根式的化简是关键． 12.【答案】36  【解析】解：由图可知， 故答案为： 直接勾股定理求出正方形A的面积即可． 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 13.【答案】6  【解析】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为： 根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后被开方数相同的，即为同类二次根式，即可解答． 本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 14.【答案】6  【解析】解：点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， ，，， 的周长 故答案为： 根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半． 此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 15.【答案】10cm  【解析】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得， 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为10cm， 故答案为： 将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 16.【答案】解：   【解析】先计算乘法，并化简绝对值和二次根式，再合并同类二次根式即可． 本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 17.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ，F分别是边AD，BC的中点， ， 四边形BFDE是平行四边形，   【解析】根据平行四边形的性质得出，进而解答即可． 此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 18.【答案】解：当 ， 时，  原式 ；  当 ， 时，  原式    【解析】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 利用完全平方公式得到，然后将x，y的值代入计算； 利用平方差公式得到，然后将x，y的值代入计算． 19.【答案】解：在中，由勾股定理得， 米， ， 是直角三角形， 图中阴影部分的面积米  【解析】根据勾股定理的逆定理得出三角形ACD是直角三角形，再根据图中阴影部分的面积即可求解． 本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 20.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ， ， 四边形BCED是平行四边形， ， ▱ABCD是矩形； 解：，，， 四边形BCED是平行四边形， 四边形BCED的周长为  【解析】根据平行四边形的性质得到，推出四边形BCED是平行四边形，得到根据矩形的判定定理即可得到结论； 根据勾股定理得到根据平行四边形的周长公式即可得到结论． 本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 21.【答案】解：在四边形ABCD中，M、N、P分别是AB、CD、BD的中点， ，PM分别是与的中位线， ，， ， ， 是等腰三角形， ，   【解析】首先利用三角形中位线定理可得，，然后可得，然后可计算出的度数． 此题主要考查了三角形的中位线，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 22.【答案】t cm    【解析】解：点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动， ，， ， 故答案为：t cm，； 设点A到BC的距离为h cm， 四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍， ， ； 分情况讨论： ①若四边形APQB是平行四边形， 则， ， ； ②若四边形PDCQ是平行四边形， 则， ， ； ③若四边形APCQ是平行四边形， 则， ， 不合题意舍去， ④若四边形PDQB是平行四边形， 则， ， ； 综上所述：当t的值为或3或时，点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形． 由题意得出，，则， 由两个四边形的面积关系得出方程，即可解决问题； 分四种情况讨论，由平行四边形的性质分别列出方程求解即可． 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、梯形面积公式以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 23.【答案】，，，探究见解析； ；   【解析】证明：由题意得≌， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 解：， ， ， ， 即AB边上的高是； 故答案为：； 解：设，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得， ， ， 表示出三个图形的面积进行加减计算可证； 利用割补法求得的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高； 运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明是解本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$