湖北省恩施州2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试卷

普通高中 2024-2025 学年高二质量监测考试 数 学 试 卷 本试卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. A35 -C35 = A. 20　 　 　 　 　 　 　 　 B. 30　 　 　 　 　 　 　 　 C. 40　 　 　 　 　 　 　 D. 50 2. 计算 lim Δx→0 (2+Δx) 2 -22 Δx = A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知函数 f(x)= sinx+ 1 2 x (0<x<π) ,则 f(x) A. 极大值为 3 2 + π 3 , 无极小值 B. 极小值为 1 2 + π 3 ,无极大值 C. 极大值为 1 2 + π 3 , 无极小值 D. 极小值为 3 2 + π 3 ,无极大值 4. 已知 x≥1,f(x)= lnx,g(x)= 1- 1 x ,h(x)= 1 2 (x- 1 x )三个 函数图象如图所示,则 f(x),g(x),h(x)的图象依次为图 中的 A. C1,C2,C3 B. C3,C2,C1 C. C2,C3,C1 D. C1,C3,C2 高二数学试卷　 第 1 页(共 4 页) 5. 学校有 5 名男教师,3 名女教师,现在要随机选择 3 名教师参加会议,下列事件中概率等 于 2 7 的是 A. 至少有 1 名女教师 B. 有 1 名或 2 名女教师 C. 有 2 名或 3 名女教师 D. 恰有 2 名女教师 6. 用测量工具测量某物体的长度,由于工具的精度及测量技术的原因,测得 n 个数 a1,a2, a3,…,an(a1≤a2≤a3 ≤…≤an),则使这 n 个数据的方差 f( x) = 1 n ∑ n i= 1 (x-ai) 2 最小的 x 为 A. a1 B. an C. ∑ n i= 1 ai D. 1 n ∑ n i= 1 ai 7. 已知定义在 R 上的函数 f(x), f ′(x)是其导函数,若 f ′(x) +8x 是偶函数, f ′(x) -3x2 -1 是奇函数,当 f(0)= -4 时,关于 a 的不等式 f(a)≥0 的解集为 A. ( -∞ ,4] B. [4,+∞ ) C. ( -∞ ,4]∪[4,+∞ ) D. [ -4,4] 8. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出二十四节气宣传橱窗,其中“雨水”, “惊蛰”,“谷雨”,“芒种”,“白露”,“寒露”6 块知识展板放置在排成一排的六个文化橱 窗里,要求“雨水”和“谷雨”两块展板不 ∙ 相邻,且“白露”与“寒露”两块展板不 ∙ 相邻,则 不同放置方式的种数为 A. 144 B. 240 C. 336 D. 456 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。 在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分。 9. 一个距地心距离为 r,质量为 m 的人造卫星,与地球之间的万有引力 F 由公式 F=GMm r2 给出,其中 M 为地球质量,G 为引力常量,则 A. F 关于 r 的瞬时变化率为-2GMm r3 B. r 关于 F 的瞬时变化率为 GMm F C. m 关于 r 的瞬时变化率为 GMmr D. F 关于 m 的瞬时变化率为GM r2 10. 已知盒子中有 12 个样品,6 个不同的正品和 6 个不同的次品,现从中逐个抽取 5 个样 品. 方案一:有放回地抽样,记取得次品个数为 X;方案二:不放回地抽样,记取得次品 个数为 Y,则 A. P(X= 0) <P(Y= 0)　 　 　 　 B. 当 k= 2 或 3 时,P(X= k)最大 C. E(X)= E(Y) D. 两种方案中第三次抽到次品的概率均为 1 2 高二数学试卷　 第 2 页(共 4 页) 11. 已知三次函数 f(x)= ax3 +bx2 -bx-a(a>0,a,b∈R),则 A. f(1)= 0 B. 若 f(x)= 0 有三个不同的实数根,则 | b a | ≥2 C. 若 f(x0)= 0,则 f( 1 x0 )= 0 D. 若 f(x)= 0 有三个不同的正实数根,则 b a e b a 的取值范围是( -3e-3,0) 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12. 233 除以 7 的余数是 . 13. 设随机变量 X~N 1,σ2( ) ,P(X≤a) +P(X≤2a)= 1,则实数 a 的值为 . 14. 若 x≥2,不等式(lnx-2ax) x-ln2 a( ) ≤0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 已知(1+2x) n 的展开式中所有二项式系数之和为 512. (1)求 n 的值; (2)求展开式中第 n-1 项的系数与第 3 项的系数的比值. 16. (15 分) 某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究,得到相应的试验数据: 步频 x(单位:步 / s) 0. 28 0. 29 0. 30 0. 31 0. 32 步长 y(单位:cm) 90 95 99 m 115 　 　 (1)若步频和步长近似为线性相关关系,当 m = 101 时,∑ 5 i= 1 x2i = 0.451,∑ 5 i= 1 xiyi = 150.56, 根据表中数据,求出 y 关于 x 的回归直线方程. 附:回归直线方程 ŷ= b̂x+â 中 b̂= ∑ n i= 1 xiyi-n􀭰x􀭰y ∑ n i= 1 x2i -n􀭰x2 ,â= 􀭰y-b̂􀭰x. (2)记êi = yi-ŷi = yi-b̂xi-â,其中 yi 为观测值,ŷi 为预测值,êi 为对应(xi,yi)的残差,根 据表中数据,若得出 y 关于 x 的经验回归方程为 ŷ= 600x+â,且计算出在样本点(0.30,99) 处的残差为-1.8,求实数 m 的值. 高二数学试卷　 第 3 页(共 4 页) 17. (15 分) 已知曲线 C1:f(x)= ex+e -x,曲线 C2:g(x)= ex-e -x . 直线 x=a 与曲线 C1,C2 分别交于 A,B 两点,曲线 C1 在点 A 处的切线为 l1,曲线 C2 在点 B 处的切线为 l2,设直线 l1 与 l2 的 交点为 P. (1)若∠APB 为直角,求实数 a 的值; (2)求点 P 到直线 x=a 的距离. 18. (17 分) 已知函数 f(x)= ex-alnx-a,其中 a∈R,e 为自然对数的底数. (1)当 a= e 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)存在极小值点 x0,且 f(x0)≥0,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 t(x)= f(x) -ex+x 有两个零点 x1,x2,求证:x1 +x2 >2. 19. (17 分) 甲乙两人进行象棋比赛,每局胜者得 1 分,负者得 0 分;平局两人均不计分. 按照规 则,当一方的得分比另一方多 2 分时即获胜,比赛结束. 已知每局中,甲获胜概率为 2 5 ,乙 获胜概率为 2 5 ,平局的概率为 1 5 ,且每局互不影响,相互独立. (1)求甲在进行了 3 局后获胜的概率; (2)若进行 n 局后,记甲领先 1 分的概率为 pn,甲乙持平的概率为 rn,求证:存在实数 λ,使得{ rn-λpn}为等比数列; (3)记甲乙两人进行 m 局后恰好分出胜负的概率为 τm,求 τm . 高二数学试卷　 第 4 页(共 4 页) 普通高中2024-2025学年高二质量 监测考试数学参芳答案 (2025.07) ◆选择题： 题号 2 5 6 8 9 10 11 答案 D A y C D B C AD BCD ACD 填空题： 12.1 13. [网 1.【解析】A-C=5×4×3- 5×4×3=50,故选D. 3×2×1 2.【解折】设树=，f0四=2，回2+0-2=f②=2x2=4, 故选A. 3.【解析】f'(x)=cosx+ 令f6)=0,x=2红 x(0了>0，f单调道猫：e号小了的<0，单 可造减：九四=火受=+号，九)无极小值，放选A 2 4.【解折12)=n2,g因=1子@0-为-子 :4>e,2>,h2>nc-号又16<e2,小2<e,即n2<子 3 2 .h(2)>f(2)>g(2).故选C. 5.【解析】记选项A、B、C、D对应事件的概率分别为P,卫，P,卫， 月-18装g-SSs袋g-9-号 C 第1页共8页 2-Cc、15 故选C 56 6.【解析】对函数)=∑(x-4)广求导得 rw空-a--空]月 当0<<时，f0,当x时，f0 所以y在020 上单调递减，有 上单调递增， 所以当x=上之a时，f四取得最小值.故选D. 7.【解析】因为f'(x)+8x是偶函数，所以f'(x)+8x=f'(-x)-&x, 即f"(x)-f'(-x)=-16x, ① 因为f'(x)-3-1是奇函数，所以f(x)-3x2-1=-[f'(x-3x2-1 即f(y)+f(-x)=6+2, ② 联立①②，得f'(x)=3x2-8+1,又因为f(0)=4,所以 f(x)=x3-4x2+x-4. 故f(x)=(2+1)-4)20,x≥4.故选B. 8.【解析】第一步，让“雨水“和“谷雨不相邻，不同放置方式种数为AA; 第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数 为AAA:第三步，题中不同放置方式种数为AA-AAA=336.故选C. 9.【解析】对A因F=G=G,则F=-2Gm=- 2GMin 由导数的物理意义知，F对于r的瞬时变化率是- 2GMm r 第2页共8页 GMm 对B,r=F =-1 GMmn 2V F 错误 对C,m= 2 Gm'= 2Fr 错误 GM 对D,F'= 正确放选AD。 10.【解析】方案一中，有放回地抽样， 则取得次品个数X-B6,, .PX=) c周c k=0,1,2,3 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则Pg==cC,k=0,12,3. 连项-0-白安0-0器员r0-0, A错误： 选项B,~PX=)=C,C=C,正确： 选项C,由二项分布及超几何分布期望公式E()=5×上- 22 =4=,正确： N 2 选项D,方案一？=与方案二可按“正正次”“正次次”“次正次”“次 次次”进行全概率计算，可得乃-号，正确。故选BCD。 11.【解析】f(x)=(x-1)[ax2+(a+b)x+a+b] 选项A,f)=0,正确. 选项B、△>0，a+)-4>0,即白+22-3>0，故21或2<-3，错 b a 误。 第3页共8页 选项C,若x)=0,则财=-)=0，正确. a>0 选项D, A>0 b<-3.令 a a+b ->0 2a 8(x)=xe,x∈(-n,-3),g(x)=(r+1)e<0,g(x)在(-，-3)上单调递减. 故g(x)∈(-3e3,0).正确.故选ACD. 12.【解析】23=(7+1)=71+C70++C07+1,余数为1. 13.【解析】X~N0,o2),P(X≤a+P(X≤2=1.∴a+2a=2'.a= 3 14【解折】令o=a,g=a-里 要使仙x-2a(c-}s0对x之2恒成立，则 当a≤0时，f(x)与g(x)需同号；当a>0时，f(x)与g(x)需异号. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=与函数y=血2在[2，+)的图 2x 像，y-在[2，⊙单调递增，在e,十单调递减：y=血2在2+单 2x 调递减，且图像交于点(4，血马， 由图可知，当a≤0时，不符合题意；当a>0时，直线V=a在两图像上 方或经过两图像交点，即a∈（子u2+)。 ◆解答题 15.【解析】(1)1+2x)”的展开式中二项式系数之和为2”，…(3分) 因为2”=512=2，所以n=9.…(6分) (2)T,=Cg,(2.x)2=4Cx2,(⑨分) Tn1=Tg=C.(2.x)=128Cgx,… (12分) 第4页共8页 所以第-1项的系数与第3项的系数的比值 128C=32.…(13分) 4C 16.【解折】1)-2=03,=-10, …(亿分) y-5 b=回 150.56-5×0.3×100 0.451-5×0.32 =560,…(4分) ∑x-5 1= à=100-560×0.3=-68，…(6分) 所以回归直线方程为少=560x-68。(7分) (2)由题知99-y=99-(600×0.3+=-1.8,可得a=-79.2.…(10分) 又-2x=03,0+95+9+m*1539+ (13分) 5 5 399+m=600×3-79.2,可得m=105.… 44 5 (15分) 17.【解析】(1)f"(x)=e-e*,g(x)=e+e, 则k=e2-ea,k=e十e.…(2分) 由∠APB是直角，则kk,=(e-e).(e+e)=-1, 即1+(e2a-e2a）=0,…(6分) 解得e”51.则a=h5,1 (7分) 2 2 (2)由(1)k=e°-e，,=e+e9.由ea>0,知k≠k:,所以直 线人与必相交 :y-(e+e）=(e-e)-a),l:y-(e-e）=(e+ea)e-a) (10分) 联立求得交点坐标为P(a+l,2e), (13分) 故点P到直线x=a的距离为d=(a+)-a=1. (15分) 第5页共8页 18.【解析】)当a=e时，fy=e-enx-e,对其求导得f()=e-9 °，8)=e+>0,8(0在(0，+0)单调递增 又g①)=0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞）上单调递增. 小小4444小小小小小小小小小…(4分） (2)附f=e-anr-a求导得f)=c_a=e- 设h()=e-a,在(0，+oo)单调递增. 因为函数f(x)存在极小值点x。,所以h(x)在(O,+o)存在零点x。,即 h(x)=x,e-a=0,a=e0.… . (6分) 此时fx)=e-alnx-a=e-xoe Ino-xe≥0，即 1-xlnx。-x。≥0. 设g(x)=1-xnx-x,对其求导得p(x)=-lnx-2. 令p(x)=0,即-nx-2=0,解得x=e2. 当x∈(0，e),p(x)单调递增：当x∈(e2,+四)，p(x)单调递减.…(8分) 又p1)=0,当x∈(0,1)，(x)>0:当x∈(1，+)，p(x)<0. 所以0<x。≤1,0<a≤e.… (10分) (3)由x)=f(x)-e+x得anx+1)=x, 血x+1_上，从而 n+1Inx2+1 (12分) X2 设g()=血r+1 ,故g(3)=g(x2), 不妨设5<，由g=-nx得：函数g(x)在(0,1)上单调递增，在 第6页共8页 (（1,+∞)上单调递减，且g =0,<5<1<x, 设)=g)-g2-小，xe (14分) =g+g--ah2-9,hsh2-9。--+h0 x2(2-x) x2 函数h(x)在 上单调递增，故h(x)<h(1)=0,即 g(x)<g(2-x), (16分) 于是g(x)=g(,)<g(2-x),又g(x)在(1，+∞)上单调递减，所以 x2>2-,即x+x2>2. (17分) 19.【解析】(1)甲在第3局后胜出的得分情况为2：0，即（甲胜，平局，甲 胜)或（平局，甲胜，甲胜），… (2分) 概率为p=2= 8 125 (4分) (2)进行第局后，设乙领先1分的概率为4，根据对称性有P,=qn,…(5分) 21 从而P=亏十， …(6分) 1 2 2 4 5+ n+= +=+ (8分) ,4-入 55 所以-=4-，解得=士2，………00 (10分) 所以当=士5时，亿-知)是公比为写 的等比数列.…(11分) 8》由②可脚，当1=5，-纵号29，会比为号29 5 所以-=，. ①…(12分) 第7页共8页 当1=6.-=g5,会比为+29 5 5 所以r+2p,=+25.@… (13分) 5 @0可得=9+5--) (15分) 要使得m局后恰好分出胜负，那么≥2， 2 4 则7=5P-1+50-=5P1 …(6分） 所以x.-9+3,-上m22. (17分) 第8页共8页