广东省中山市华辰中学厚德班2024-2025学年八年级下学期3月数学试卷

一、单选题 1.已知 的半径为3， ，则点 与 的位置关系是（ ） A．点 在圆上 B．点 在圆外 C．点 在圆内 D．不能确定 2.如图，数轴的原点 对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点 对应的数是（ ） A．10 B．8 C．6 D．5 3.关于反比例函数 ，下列说法中错误的是（ ） A． 时，y随x的增大而减小 B．当 时， C．当 时，y有最大值为 D．它的图象位于第一、三象限 4.如图，量角器外缘上有A、B、C三点，其中A、B两点所表示的读数分别是 、 ，则 等于（ ） A． B． C . D. 5.如图，使 成立的条件是（ ） A． B． C． D． 6.在反比例函数 的图像上有三个点 ，则函数值 大小关系为 （ ） A． B． C． D． 7.编织草帽是云南各族尤擅的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九 年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示）．若这种圆锥形草帽的 母线长为35厘米，底面圆的半径为20厘米，则该圆锥形草帽的侧面积为（ ） A． 平方厘米 B． 平方厘米 C． 平方厘米 D． 平方厘米 8.如图，一个半径为 的定滑轮带动重物上升了 ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上 某一点 旋转了（ ） 2024-2025学年广东省中山市华辰厚德班初二下3月试卷 A． B． C． D． 9.如图，矩形 对角线的交点M在x轴上，边 平行于x轴， ， ，反比 例函数 经过点B、D亮点，则k的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10.规定：若两个函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称 为“兄弟点”．下列四个函数中，与二次函数 互为“兄弟函数”的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11.若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 的取值范围是 ． 12.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面上方，且当圆被水面 截得的弦 为6米时，圆心到水面 的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为 米． 13.如图，一次函数 的图象与反比例函数 （ 为常数且 ）图象的都经 过 ， ，结合图象，则不等式 的解集是 ． 14.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜 设计为整个车身黄金分割点的位置（如 图），若该车车身总长 约为5米，则车头 与后视镜 的水平距离约为 米．（提示：黄 金分割比 ） 在某次 球赛中 名 在离球 的参赛 某次 拍击球时恰 将球 15.如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网 远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打 过高为 的球网，而且落在离球网 远的位置上，则球拍击球的高度 为 m． 16.如图，在锐角三角形 中， ， ，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点 C出发到点A停止，点D运动的速度为 ，点E运动的速度为 ，如果两点同时开始运动， 那么以点A，D，E为顶点的三角形与 相似时的运动时间为 三、解答题 17.已知 ，求下列算式的值： (1) （ ）； (2) ． 18.张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦 的垂直平分线交弧 于点 ，交弦 于点 ，测得 ， ． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． 19.边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F． (1)求证：△ABE∽△ECF； (2)若CF的长为1，求CE的长． 20.《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具 代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践 小组欲测量飞红塔的高度 ．如图，塔前有一棵高4米的小树 ，发现水平地面上点 ，树顶 和塔顶 恰好在一条直线上，测得 米， 之间有一个花圃距离无法测量；在点 处放 置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿 所在直线后退，退到点 处恰好在平面镜中看到 树顶 的像 米，测量者眼睛到地面的距离 为1.6米．已知 ， ，且点 在同一水平线上．求飞虹塔的高度 ． 21.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化． 开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状 态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟） 的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： (1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那 么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需状态下讲解完这道题目？ 22.小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图 象上的点 和点 为顶点，分别作菱形 和荾形 ，点 ， 在 轴上，以点 为 圆心， 长为半径作 ，连接 . (1)求 值； (2)计算图形阴影部分面积之和． 23.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图 1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 24.操作：小明准备制作棱长为 的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计： 说明： 方案一：图形中的圆过点 、 、 ； 方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶 点． 纸片的利用率 纸片被利用的面积 纸片的总面积 ． 发 发现： （1）方案一中的点 、 恰好为该圆一直径的两个端点.你认为小明的这个发现是否正确，请说 明理由． （2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率小于 .请帮忙计算方案二的利用率，并写 出求解过程． 探究： （3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案 三的利用率．说明：方案三中三角形的每条边均过其中两个正方形的顶点． 【答案】 1.C 2.A 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A 8.D 9.B 10.C 11. 12.1 13. 或 14. 15. 16.4.8s或3s 17.(1) ； (2) ． 【知识点】比例的性质、已知字母的值 ，求代数式的值 18.(1)见解析 (2) 19.(1)见解析 (2)CE=2 20.飞虹塔的高度 为 米． 21.（1）第30分钟注意力更集中；（2）能，理由见解析 22.(1) (2) 23.（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400． 24.（1）小明的这个发现正确；（2）16；（3）约 【解析】 1.【详解】解：∵ 的半径为 ， ∴点到圆心的距离小于半径， ∴点 在圆内， 故选：C． 2024-2025学年广东省中山市华辰厚德班初二下3月试卷 参考答案 2.【详解】解：如图，由题意，得： ， ， ，   ∴ ， ∴ ， ∴点 所表示的数为： ； 故选：A． 3.【详解】解：A． 反比例函数 ， ， 该函数图像的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内 随 的增大而减小，故本选项正确； B． 当 时， ，当 时， ， 当 时， ，故本选项正确； C． 反比例函数 ， ， 该函数图像的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内 随 的增大而减 小， 当 时， ， 当 时， ，故本选项错误； D． 反比例函数 ， ， 该函数图像的两个分支位于一、三象限，故本选项正确； 故选：C． 4.【详解】如图所示，取量角器的圆心为O，连接 ， ∵A，B两点所表示的读数分别是 ， ， ∴ ∴ ． 故选A． 5.【详解】解：∵ ， 和 只有一组对应角相等， ∴不能判定 和 相似， 故A不符合题意； ∵ 不是 和 的对应角相等， ∴ 和 只有 与 这一组对应角相等， ∴不能判定 和 相似， 故B不符合题意； ∵ ， ， ∴ ， 故C符合题意； ∵ ， ，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件， ∴由 ， ，不能判定 和 相似， 故D不符合题意， 故选：C． 6.【详解】解： ， 图像在一，三象限，y随x的增大而减小， ， ． 故选：C． 7.【详解】解：圆锥的底面圆周长为 厘米， ∴圆锥的侧面积为 平方厘米， 故选：A． 8.【详解】解：∵半径为 的定滑轮带动重物上升了 ， 根据 ，得： ， 解得 ． 所以，滑轮上某一点P旋转了 ． 故选：D． 9.【详解】解： ： ：3， 设 ， ， ， 四边形ABCD是矩形， 轴， 轴， 轴， ， 矩形 对角线的交点M在x轴上， ， 在 和 中， ， ≌ ， ， 设 ， 点B的坐标为 ， ， ， ， ， 点 在反比例函数 的图象上， 故选：B 10.【详解】解：如图： ， 由图可知，与二次函数 有3个交点的是 ， 故选：C． 11. 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得 ． 12.【详解】解：如图，过点O作 交 于点E， 交⊙O于点D，如图， ∵ ， ∴ 米， 根据题意得： 米， 设圆的半径为r米， ∵ ， ∴ （米）， ∵圆心到水面 的距离为4米， ∴ （米）， ∴该圆在水面下的最深处到水面的距离为为1米， 故答案为：1． 13.【详解】解：由 ， 得 ， 由函数图象可知，当一次函数 的图象在反比例函数 （ 为常数且 ）的图象上方 时， 的取值范围是： 或 ， ∴不等式 的解集是： 或 ， ∴不等式 的解集是： 或 ， 故答案为： 或 ． 14.【详解】解： 汽车后视镜 设计为整个车身黄金分割点的位置，该车车身总长 约为5米， （米）， （米）， 车头 与后视镜 的水平距离约为 米， 故答案为： ． 15.【详解】解：如图，   由题意得： ， ， ， ， ， ， ， 解得： 球拍击球的高度 为 ， 故答案为： ． 16.【详解】解：设经过 后，以点A，D，E为顶点的三角形与 相似， ， ， 由图得： ， ①当 时， ， ， ， 解得： ； ②当 时， ， ， ， 解得： ； 经过 或 后，以点A，D，E为顶点的三角形与 相似． 17.设 ，则 ， ，把a、b的值代入整式进行计算即可． 【详解】（1）解：设 （ ），则 ， ， ∴ ； （2）解：设 （ ），则 ， ， ∴ ． 18.（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作 ， 的中垂线交于点 ，则点 是弧 所在圆 的圆心； （2）在 中，由勾股定理得出方程，解方程可求得半径 的长． 【详解】（1）解：作弦 的垂直平分线与弦 的垂直平分线交于 点，以 为圆心 长为半径作圆 就是此 残片所在的圆， 如图1所示． （2）连接 ，如图2所示： 设 ， ∵ ， ， ∴ ， 则根据勾股定理列方程： ， 解得： ． 答：圆的半径为 ． 19.（1）结合图形由∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°推出∠BAE=∠FEC，根据正方形的性质得到 ∠B=∠C=90°，从而推出△ABE∽△ECF； （2）根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵EF⊥AE， ∴∠AEB+∠FEC=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠FEC， ∠B=∠C=90°， ∴△ABE∽△ECF； （2）解：∵△ABE∽ECF， ∴ ， ∴ ， 解得CE=2． 20.【详解】解：已知 ， ， ，点B，D，E，G在同一水平线上， 米， 米， 米， ∴ ， 由平面镜反射可知， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∵ 米， ∴ （米）， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴飞虹塔的高度 为 米． 21.（1）根据上题求出的AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【详解】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴y1=2x+20． 设C、D所在双曲线的解析式为y2= ， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴y2= ． 当x1=5时，y1=2×5+20=30， 当x2=30时，y2= ， ∴y1＜y2 ∴第30分钟注意力更集中． （2）令y1=36， ∴36=2x+20， ∴x1=8 令y2=36， ∴36= ， ∴x2= ≈27.8 ∵27.8﹣8=19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 22.【详解】（1）∵点 在反比例函数图象上， ； （2）连接 交 于点 ．    ∵四边形 是菱形  ∴ 与 相互垂直平分, ， ∴ ， ， ∴ 是等边三角形 ， 又 ． 23.【详解】（1）∵四边形EGHF为矩形， ∴BC∥EF， ∴△AEF∽△ABC； （2）设正方形零件的边长为x， 在正方形EFHG中，EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴ 即 ， 解得：x=48， 即：正方形零件的边长为48； （3）设长方形的长为x，宽为y， 当长方形的长在BC时， ， ， ， 当x=60时， 长方形的面积最大为2400． 24.（1）连接AC、BC、AB，由 ， ，根据勾股定理的逆定理，即可求得 ，又由 90°的圆周角所对的弦是直径，则可证得AB为该圆的直径； （2）首先证得△ADE≌△EHF与△ADE∽△ACB，即可求得AD与BC的长，求得△ABC的面积，即可求得该方案纸片 利用率； （3）利用方案（2）的方法，分析求解即可求得答案． 【详解】解：发现：（1）小明的这个发现正确，理由如下： 如图2：连结 、 、 ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为该圆的直径． （2）如图4：∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴方案二纸片利用率 ． （3）约为 ． 如图5，过点 作 于 ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 于 .设 ，易得 ， ， ， 、 均为等腰三角形， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，解得 ，则 ， ， ， ，则 ． 由 ，可得 ，解得 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， ． ∴方案三纸片利用率 ．