精品解析：山东省德州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学试题 2025.7 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷2—4页，共150分，测试时间120分钟 注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 36 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的各项都不相等，它的前3项和为18，且成等比数列，则（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 6. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，若，则的前10项和为（ ） A. 32 B. 41 C. 52 D. 65 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 曲线是中心对称图形 C. 当时，函数在定义域上单调递减 D. 若，且在定义域上不单调，则 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在处取得极小值 B. 存唯一实数，使得 C. 若，则图象上一点与图象上一点之间的距离可能为1 D. 若，则 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则实数的取值范围为________． 13. 设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则________． 14. 已知曲线和曲线，若曲线与曲线关于直线对称，则________；若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤． 15. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 16. 某项比赛近五年的观众人数（单位：万人）与年份的统计数据如表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份编号 1 2 3 4 5 观众人数（万人） 1.7 1.8 2 2.2 23 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测2026年的观众人数； （2）若该比赛门票有两个等次的票价，某机构随机调查了100位观众的购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为观看比赛的观众是否购买A等票与性别有关． 购买A等票 购买B等票 总计 男性观众 40 55 女性观众 25 总计 100 参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为． ，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． （1）求的通项公式； （2）对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列的前项和． 18. 已知函数，其中． （1）若，求的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）设函数在区间上的最大值和最小值分别为和，求使得不等式成立的的最大值． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处切线方程； （2）若函数在上单调递减． ①求的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试题 2025.7 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷2—4页，共150分，测试时间120分钟 注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可求出集合,再根据交集运算可得结果. 【详解】易知， , 所以可得. 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指、对数函数性质解不等式，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，等价于， 且，等价于， 又因为可以推出，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数、对数运算法则计算即可得出结果. 【详解】由可得, 由可得； 所以. 故选：B 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数单调性即可判断. 【详解】易知，又， 根据幂函数在上单调递增可知，，即可得； 又根据为单调递增函数，可知，因此. 故选：A 5. 已知等差数列的各项都不相等，它的前3项和为18，且成等比数列，则（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及等比数列定义计算可得结果. 【详解】设等差数列的公差为,显然， 所以可得，即， 解得，或(舍)， 因此. 故选：D. 6. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可求得当时函数的值域，再利用导数求解时函数的极大值，根据题意列不等式求解即可． 【详解】当时，，则的值域为， ∵函数的值域为， ∴是的值域的子集， 当时，， 令，得或（舍去）， ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴当时，取得极大值， ∴的值域为， ∴由题意得，解得， 即实数的取值范围为． 故选：C． 7. 已知数列的前项和为，若，则的前10项和为（ ） A. 32 B. 41 C. 52 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】由题设结合的关系求出数列的通项公式，求出的前10项，进而可得答案． 【详解】因为， 当时，； 当时，， 经检验也适合上式， 所以. 故数列的前10项为：， 则的前10项和为. 故选：C. 8. 已知定义在上函数，其导函数为，当时，，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，结合题意可得是奇函数，是偶函数，在上单调递增，从而在上单调递减，又，可得，不等式即，即可求解． 【详解】令，则， ∵当时，，且， ∴当时，，即在上单调递增， 由， 得， 则，即，则是奇函数， 设，则， 因为， 所以 是常数，得， 因此，即，故是偶函数. ∵在上单调递增，∴在上单调递减， 因为，所以， ∴当时，；当时，；当时，， 又，所以即，则或， 所以不等式的解集为． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式的性质及特值法求解. 【详解】若，则，即， 显然，所以，两边同乘，得，故A正确； 若，则，则，即，可得，故B正确； 取，满足，但，故C错误； 取，满足，但，故D错误， 故选：AB. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 曲线是中心对称图形 C. 当时，函数定义域上单调递减 D. 若，且在定义域上不单调，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对 A，利用对数的真数大于0，列式求解；对B，由判断；对C，利用对数复合函数的单调性判断的单调性；对D，求出，根据不恒正或恒负，得解. 【详解】对于A，由，等价于，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，由， ，故的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，当时，， 因为函数在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在定义域上单调递增，故C错误； 对于D，当时，，， ， 由，则，所以， 因为在定义域上不单调，所以不恒正或恒负，则，即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数处取得极小值 B. 存在唯一实数，使得 C. 若，则图象上一点与图象上一点之间的距离可能为1 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导得，根据的正负确定单调性，进而可求得极小值；对于B，令，得，且，令，利用导数可得在上单调递增，由可知有且仅有一个实数根，且此根在区间上，进而可判断B； 对于C，，设是图象上一点，则点P到直线的距离，设，利用导数可得的最小值为，从而，即可判断C；对于D，当时，等价于，令，则，利用导数求得的最小值，从而可判断D. 【详解】对于A，，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，故A正确； 对于B，令，得，且， 令，则， 令，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值， 则成立，即，从而在上单调递增， 又因为，，， 所以有且仅有一个实数根，且此根在区间上， 即存在唯一实数，使得，故B正确； 对于C，， 设是图象上一点， 则点P到直线的距离， 设，则， 由得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值， 则， 所以图象上一点与图象上一点之间的距离不可能为1，故C错误； 对于D，当时，等价于， 即，即. 令，则， 设，则，由得， 当时，单调递减；当时, 单调递增， 所以的最小值为， 所以，即，即，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式求出，然后利用子集的概念求出的范围. 【详解】， ， 若，则，解得， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据周期函数与奇函数的定义及性质求解. 【详解】设是定义在上周期为2的奇函数， 则，. 由题意，. 故答案为：. 14. 已知曲线和曲线，若曲线与曲线关于直线对称，则________；若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为________． 【答案】 ①. 2 ②. 4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称的特征求出；利用导数求出切线方程，进而求得的关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】设点是曲线上任意一点， 由曲线与曲线关于直线对称，得点在曲线上， 则，，又，因此，所以； 由，求导得，则，当时，， 因此曲线在处的切线方程为， 设直线与曲线相切的切点为， 由求导得，则，解得，点在直线上， 即，因此，令，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， ，即，，因此，符合题意， ，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4. 故答案为：2；4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤． 15. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原方程中用换得，联立方程组求，进而可得； （2）设，则，把原问题转化为能成立问题，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为，① 用换得，② ①②得， 所以． 【小问2详解】 设，，则， 所以存在，使， 即，即， 因为，所以， 当时，取得最大值， 所以，即的取值范围是． 16. 某项比赛近五年的观众人数（单位：万人）与年份的统计数据如表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份编号 1 2 3 4 5 观众人数（万人） 1.7 1.8 2 2.2 2.3 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测2026年的观众人数； （2）若该比赛的门票有两个等次的票价，某机构随机调查了100位观众的购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为观看比赛的观众是否购买A等票与性别有关． 购买A等票 购买B等票 总计 男性观众 40 55 女性观众 25 总计 100 参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为． ，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）；2.48万人 （2）填表见解析；有的把握认为观看比赛的观众是否购买A等票与性别有关 【解析】 【分析】（1）分别求出两变量的平均值，代入公式计算可得回归直线方程，即可对2026年观众人数进行估计； （2）提出零假设并计算出卡方的值，推断出零假设不成立，即可得出结论. 【小问1详解】 由表格知， 所以， ， 则，因此， 故关于的线性回归方程为 易知2026年的年份编号为6，当时，， 估计2026年观众人数将达到2.48万人． 【小问2详解】 依题意，补充列联表如下： A等票 B等票 总计 男性 40 15 55 女性 20 25 45 总计 60 40 100 零假设为：观看比赛的观众是否购买A等票与性别无关； 易知， 根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立； 故有把握认为观看比赛的观众是否购买A等票与性别有关. 17. 已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． （1）求的通项公式； （2）对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列定义并根据前项和公式联立方程组，解出首项和公差可得其通项公式； （2）根据题意求出的通项公式，再由等比数列前项和公式计算可得结果. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为． 因为， 所以， 因为， 所以， 整理得，解得， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 对，若，则， 因此，即， 故得， 于是 ． 18. 已知函数，其中． （1）若，求的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）设函数在区间上的最大值和最小值分别为和，求使得不等式成立的的最大值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）求导得，根据的正负可得的单调性，进而可得极小值； （2）求导得，分为与两种情况讨论，根据的正负可得的单调性； （3）由（2）知，函数在上单调递增，可得，代入题中不等式化简得，令，求导，根据的单调性，确定使成立时的范围即可得解． 【小问1详解】 由得， 解不等式，可得，所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以的极小值为． 【小问2详解】 由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，函数在区间单调递增， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增， 综上所述，函数在上单调递增，从而， 所以． 由，得，即， 令，则， 由，得（舍去）或， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又因为，且， 所以当时，；当时，． 即当且仅当时，恒成立， 所以使得成立的的最大值为2． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在上单调递减． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，计算得切线斜率，计算，由点斜式得切线方程； （2）①由题意可知，在恒成立，即在恒成立，令，利用导数求的最大值即可得解； ②设为数列的前项和，则，可知不等式成立；当时，由的关系求出，把所证不等式转化为．结合①可得，又，所以，结合裂项相消求和法证明即可. 【小问1详解】 ，则， 所以，即切线斜率为1，切点为， 故处切线方程为，即. 【小问2详解】 ①函数在上单调递减， 所以在恒成立，即在恒成立， 令， 当时，， 所以在上递减，则， 所以，解得，即的取值范围是. ②设为数列的前项和， 则，可知不等式成立． 当时， ， 欲证明，即， 只需证明，即， 因为当时，，所以， 由①知，当，函数在上单调递减， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 因为，所以， 所以，即， 则，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$