江苏省南京市协同体十校2024-2025学年高一下学期期中联合考试数学试卷

2024—2025学年下学期南京市协同体十校期中联合考试数学试卷 一、单选题 1．的值为(    ) A． B． C． D． 2．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（    ） A． B． C． D． 4．在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．若函数在上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足，，则（    ） A．在上有零点 B．在上无零点 C．在上有零点 D．在上无零点 7．已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 10．已知函数，最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B．是的一个对称轴 C． 的图象的最小值是 D．点是的一个对称中心 11．如图，若的外接圆为⊙O，D为AB的中点，则下列说法一定成立的是（    ） A．若⊙O的半径为定值，则·为定值 B．若的长度为定值，则·为定值 C．·＝· D．·＝2－2 三、填空题 12．方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是 ． 13．若，且 ，则 . 14．在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则 四、解答题 15．已知平面向量． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为，求的值. 16．已知，均为锐角，且，． (1)求和值； (2)求的值． 17．在中，内角所对的边分别为，已知，，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长 18．如图，在中，已知为边上一点，点在线段上，且，.A B C M N (1)求线段的长度， (2) 求的值. 19．如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段和以为直径的半圆弧组成，其中为4百米，为．若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，再修两条栈道，使. 记． （1）试用表示的长； （2）试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大. 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年下学期南京市协同体十校期中联合考试数学试卷 一、单选题 1．的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B. 2．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D 3．已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知， ， 两边平方可得，所以， 则，可得， 则，由于，所以, 故与夹角的大小等于. 故选：B． 4．在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【详解】因为 所以， 整理得， 即的形状是等腰三角形. 故选：A. 5．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ． 故选：C. 6．若函数在上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足，，则（    ） A．在上有零点 B．在上无零点 C．在上有零点 D．在上无零点 【答案】C 【详解】因为，, 所以,即, 因为, 所以， 根据函数零点存在定理可知在上有零点， 故选C. 7．已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为、是关于的方程的两根， 所以，， 所以， 所以 故选：A. 8．在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据等面积法：，即， 即，即， 当且仅当，即，时等号成立. 故. 故选：D 二、多选题 9．已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】AC 【详解】， 将，的代入，可得故，故A正确； ，故B错误； ，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误. 故选：AC. 10．已知函数，最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B．是的一个对称轴 C． 的图象的最小值是 D．点是的一个对称中心 【答案】AB 【详解】 ，，故A正确； ，当时，，是对称轴，故B正确； 图像最小值为，故C错误； 当时，，此时函数值为1，故D错误. 故选：AB. 11．如图，若的外接圆为⊙O，D为AB的中点，则下列说法一定成立的是（    ） A．若⊙O的半径为定值，则·为定值 B．若的长度为定值，则·为定值 C．·＝· D．·＝2－2 【答案】BCD 【详解】因为D为AB的中点，为外接圆的圆心， 所以垂直平分，所以， 设⊙O的半径为， 对于A，设，则， 所以 所以， 因为不一定为定值，所以·不一定为定值，所以A错误， 对于B，连接，则是的中线，所以， 所以 , 因为的长度为定值，所以为定值，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D， ，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题 12．方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：设，由题意得，解不等式得实数m的取值范围是 13．若，且 ，则 . 【答案】 【详解】因为， ； 故答案为：. 14．在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则 【答案】 【详解】如图，过作于，因为的最小值为， 所以，得到，又为锐角, 所以， 因为，不妨设, 则，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．已知平面向量． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为，求的值. 【答案】(1) ；(2) ． 【详解】（1）； ，，；解得. (2) ,; ; ,; . 16．已知，均为锐角，且，． (1)求和值； (2)求的值． 【答案】(1) ，; (2) . 【详解】（1）解： ，; ，; ; 则， . （2）; ，;; . 17．在中，内角所对的边分别为，已知，，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长 【答案】(1) (2)18 【详解】（1）在中，内角所对的边分别为， 已知，，且． 所以， 利用正弦定理整理得：， 所以， 即， 由于，所以，故， 由于，所以. （2）由于的面积为， 所以，整理得． 利用余弦定理，解得， 所以周长. 18．如图，在中，已知为边上一点，点在线段上，且，. A B C M N (1)求线段的长度， (2) 求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） . （2）设 因为， 所以， 所以 所以. 19．如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段和以为直径的半圆弧组成，其中为4百米，为．若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，再修两条栈道，使. 记． （1）试用表示的长； （2）试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大. 【答案】（1）；（2）与重合. 【详解】（1）连结． 在中，为4百米，， 所以，．           因为为直径，所以， 所以．                         （2）在中， 所以 所以且 所以 所以 因为，所以 所以当，即时，有最大值10百米，此时与重合 所以与重合时，栈道长度之和最大，最大值是10百米. 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$