精品解析：北京市海淀区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

海淀区高一年级练习 数 学 2025.07 考 生 须 知 1．本试卷共6页，共3道大题，19道小题.满分100分.考试时间90分钟. 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名. 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答. 4．考试结束，请将本试卷交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简计算． 【详解】 故选B 【点睛】本题考查诱导公式化简计算即可，需熟练掌握常见角度的三角函数值． 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的几何意义即可求解. 【详解】复数对应的点的坐标是，则的共轭复数的对应点的坐标是. 故选：B. 3. 若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用任意角的三角函数值的正负结合诱导公式计算求解各个选项即可. 【详解】因为为第三象限角，所以， ，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误； 故选：C. 4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出. 【详解】由题意可得，. 故选：A. 5. 将函数图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象， （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据三角函数的平移规律计算可得. 【详解】函数图象上的所有点向左平移个单位， 及，故C正确. 故选：C. 6. 设向量满足.若，则的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求解. 【详解】设，由，得， 由，得，得，ACD不是，B是. 故选：B 7. 在中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理结合角的范围得出范围即可. 【详解】由余弦定理得，又， 所以， 则的范围是. 故选：D. 8. 在四边形中，“”是“四边形是平行四边形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合向量运算，分必要性、充分性两方面说明即可. 【详解】如图所示，取， 则，但此时四边形不是平行四边形， 反之，如果四边形是平行四边形，则， 故“”是“四边形是平行四边形”的必要不充分条件. 故选：B. 9. 已知函数，其中，若，在区间 上的最大值与最小值的和为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，化简得，结合即可求解. 【详解】若，在区间 上的最大值与最小值的和为0， 说明，所以， 解得， 又因为，所以. 故选：D. 10. 在同一平面内，对于及半径为的圆，若的顶点满足，，，则称被圆完全覆盖.已知，，再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知.条件①； 条件②；条件③ ；条件④.其中，满足可能被一个半径为1的圆完全覆盖的所有条件是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①,可在中点处，通过计算中线的范围确定可被半径为1的圆完全覆盖；对于②，直接通过的外接圆半径即可判断；对于③，可计算边判断；对于④，由题可知在边上的高为，即点在距离为的直线上，把直线向下移一个单位，计算更大边的最小值即可判断. 【详解】对于①，由正弦定理（为的外接圆），所以， 即在半径的圆上，且，在优弧上运动， 设中点为，，则中线， 又，同时也存在，故①满足； 对于②，，所以，同理可得的外接圆半径，故②显然满足； 对于③，，， 所以，故③不满足； 对于④，设在边上的高为，， 所以点在距离为的直线上，设在距离为的线上， 此时，由对称性，不妨设， 则，故④不满足； 故选：A. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数除法、虚部的概念即可得解. 【详解】由题意的虚部为. 故答案为：. 12. ______ . 【答案】 【解析】 【详解】． 试题分析： 考点：倍角的正切． 13. 智能机器人已开启快递代取服务，某机器人现从某点出发开始工作，先沿正北方向前行，然后沿北偏西方向继续前行了，则此时机器人与出发点的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，由余弦定理可得所求为：. 故答案为：. 14. 某正方形网格纸是由个边长为的小正方形构成，点的位置如图所示，动点在正方形网格纸内（包含边界），记（）.当时，______；当时，若动点在小正方形的顶点上，则满足的点的个数为______. 【答案】 ①. 4 ②. 7 【解析】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，分别求出点的坐标，并设点，利用平面向量数量积的坐标表示即可求解空；当时，可得，求得，再结合动点在小正方形的顶点上，从而可求解. 【详解】由题意建立平面直角坐标系，如图， 则，，，，设，， 则，，， 空：当时，； 空：当时， ， 解得，又且动点在小正方形的顶点上， 所以符合点情况有：，，，，，，共个. 故满足的点的个数为. 故答案为：；. 15. 已知函数，其中. 给出下列四个结论： ① 函数奇函数； ② ，； ③ ，使得在内至少有个零点； ④ ，，都有. 其中，所有正确结论的序号是________. 【答案】① ③ ④ 【解析】 【分析】①根据已知条件，结合正弦函数的性质，用奇函数的定义验证；②分析两个正弦值都等于1的条件，找到能同时取到1的情况，从而否定之；③利用正弦函数的性质整理化简，得到函数的零点，进而寻找在给定区间内的零点，然后考虑合适的参数值，使得函数的零点达到规定的数目；④利用和角差角的正弦公式整理化简方程，得到参数应满足的条件，然后取适当的参数，得到给定范围内的实数的值. 【详解】对于①：∵. ​定义域 R 关于原点对称，且 对所有 x 成立,结论①正确. 对于②：当且仅当存在使得且时，. 此时需要解方程组：. 化简得：​.需满足. , 例如：若取则，验证： . 因此，存在使得.故②错误. ​ 对于③​：. 又等价于或. 则或. 在[0,1]内： 共  个点. :，共 个点. 总零点数为 （假设）. 需要，即. 取 ，则零点数为. ​结论③正确. 对于④： . 需要这对所有 x 成立，因此：且. 即：​,所以. ​，可以取，则 . 结论④正确 故答案为：①③④ 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16 已知向量，，，. （1）求； （2）若与垂直，求实数的值； （3）若（），求的最小值及其相应的值. 【答案】（1）3 （2） （3），最小值 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义即可求解； （2）由数量积的运算律、向量垂直的定义即可列方程求解； （3）由数量积的运算律将所求转换为的函数即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以. 【小问2详解】 因为与垂直，、， 所以，所以， 所以. 【小问3详解】 ． 当时，有最小值. 17. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若在上的值域为，求的值. 【答案】（1） （2），． （3） 【解析】 分析】（1）直接代入求值即可； （2）首先求得函数，再由整体代入法即可求解； （3）由正弦型函数的性质即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 因为相邻两条对称轴之间的距离为，故， 且，. 所以． 所以． 令， 解得，． 所以的单调递增区间为，． 【小问3详解】 因为， 所以． 因为在上的值域是为， 所以在上的值域为． 所以． 所以． 18. 在中，为钝角，. （1）求； （2）若，，为边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得即可求解； （2）由正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式逐一分析三个条件即可求解. 【小问1详解】 由，得． 在中，由正弦定理得． 因为，， 所以． 又，所以． 【小问2详解】 选条件①：． 在中，由正弦定理，得． 因为为钝角，所以． 在中，因为，由余弦定理， 得． 解得或（舍）． 所以 ． 选条件②：因为为钝角，所以为锐角，而， 这与是的外角，矛盾，从而此时不存在； 选条件③：的周长为． 在中，由正弦定理，得． 因为为钝角，所以． 因为的周长为，所以． 在中，由余弦定理， 得，解得. 所以 . 19. 对任意正整数，定义集合. 设，定义：，. （1）（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； （2）设，证明：； （3）设，，，，求； （4）证明：对任意，存在，满足：. 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3） （4）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）根据新定义证明即可； （3）首先得，然后讨论即可求解； （4）根据新定义证明即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 设，则有： ，，，， ，，， 所以． 【小问3详解】 设，则有： ，. ， 所以必为偶数，因此. 当时，，但，不可能； 当时，，但，不可能； 所以，. 又因为，所以同理得，． 所以，. 【小问4详解】 设，有： ，． 任取，令，则 ，； 所以； 同理，； 而中有个元素，， 所以必存在中的两个不同元素，使得：． 令，则，且，． 结论得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海淀区高一年级练习 数 学 2025.07 考 生 须 知 1．本试卷共6页，共3道大题，19道小题.满分100分.考试时间90分钟. 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名. 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答. 4．考试结束，请将本试卷交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应点的坐标是，则的共轭复数的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象， （ ） A. B. C. D. 6. 设向量满足.若，则的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 在四边形中，“”是“四边形是平行四边形”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数，其中，若，在区间 上的最大值与最小值的和为0，则（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面内，对于及半径为的圆，若的顶点满足，，，则称被圆完全覆盖.已知，，再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知.条件①； 条件②；条件③ ；条件④.其中，满足可能被一个半径为1的圆完全覆盖的所有条件是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为_____________. 12. ______ . 13. 智能机器人已开启快递代取服务，某机器人现从某点出发开始工作，先沿正北方向前行，然后沿北偏西方向继续前行了，则此时机器人与出发点的距离为______. 14. 某正方形网格纸是由个边长为的小正方形构成，点的位置如图所示，动点在正方形网格纸内（包含边界），记（）.当时，______；当时，若动点在小正方形的顶点上，则满足的点的个数为______. 15. 已知函数，其中. 给出下列四个结论： ① 函数是奇函数； ② ，； ③ ，使得在内至少有个零点； ④ ，，都有. 其中，所有正确结论的序号是________. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知向量，，，. （1）求； （2）若与垂直，求实数的值； （3）若（），求的最小值及其相应的值. 17. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若在上值域为，求的值. 18. 在中，为钝角，. （1）求； （2）若，，为边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 对任意正整数，定义集合. 设，定义：，. （1）（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； （2）设，证明：； （3）设，，，，求； （4）证明：对任意，存在，满足：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$