专题06 概率6大考点（期末真题汇编，北京专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 概率专题期末试题汇编，覆盖互斥事件、古典概型等6大高频考点，精选北京多地校级期末真题，注重基础巩固与综合应用能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约30题|互斥与对立事件（第1-8题）、古典概型（第11-24题）|结合摸球、射击等情境，基础辨析与计算并重| |填空|约5题|频率与概率（第43-45题）|融入随机模拟、统计估计等方法，体现应用价值| |解答|约10题|相互独立事件概率（第30-42题）|综合分层抽样（第26题）、列联表（第25题）等，关联生活实际（保险赔付、学生活动调查）|

专题06 概率 高频考点概览 考点 01 互斥和对立事件 考点 02 写出样本空间 考点 03 古典概型 考点 04 相互独立事件的判断 考点 05 相互独立事件的概率 考点 06 频率和概率 ( 考点01 互斥和对立事件 ) 1．（2023秋•朝阳区校级期末）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（　　） A．“都是白球”与“至少有一个白球” B．“恰有一个白球”与“都是红球” C．“都是白球”与“都是红球” D．“至少有一个白球”与“都是红球” 【解答】解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球的所有情况有：一个白球，一个红球；两个白球；两各红球， ：至少有一个白球包括两个白球和一个白球，一个红球，不符合题意； ：恰有一个白球与都是红球为互斥事件，但不是对立事件； ：都是白球和都是红球为互斥事件，但不是对立事件； ：至少有一个白球包括一个白球，一个红球和两个白球，与都是红球对立． 故选：． 2．（2020秋•丰台区期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则与的关系为（　　） A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等 【解答】解：根据题意，事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”， 两个事件可以同时发生，也可以都不发生， 事件发生与否对事件没有影响，是相互独立事件， 故选：． 3．（2024春•大兴区期末）一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是（　　） A．至多有一次中靶 B．至少有一次中靶 C．两次都中靶 D．只有一次中靶 【解答】解：一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是至少有一次中靶． 故选：． 4．（2024春•东城区期末）从装有2张红色卡片和2张黑色卡片的盒子中任取2张卡片，则下列结论正确的是（　　） A．“恰有一张黑色卡片”与“都是黑色卡片”为互斥事件 B．“至少有一张红色卡片”与“至少有一张黑色卡片”为互斥事件 C．“恰有一张红色卡片”与“都是黑色卡片”为对立事件 D．“至多有一张黑色卡片”与“都是红色卡片”为对立事件 【解答】解：“恰有一张黑色卡片”与“都是黑色卡片”不可能同时发生，二者为互斥事件，故正确； “至少有一张红色卡片”与“至少有一张黑色卡片”可以同时发生，二者不为互斥事件，故错误； “恰有一张红色卡片”与“都是黑色卡片”为互斥事件，且二者可以都不发生，故不为对立事件，故错误； “至多有一张黑色卡片”与“都是红色卡片”可以同时发生，二者不为对立事件，故错误． 故选：． 5．（2025春•丰台区期末）某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（　　） A．至多有一次投中 B．至少有一次投中 C．恰有一次没有投中 D．两次都投中 【解答】解：某人连续投篮两次有以下四种情况： 第一次中第二次中， 第一次中第二次不中， 第一次不中第二次中， 第一次不中第二次不中， 事件“恰有一次投中”包含：第一次不中第二次中，第一次中第二次不中， 所以与之互斥的就是“两次都投中”． 故选：． 6．（2023春•台江区校级期末）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（　　） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是红球 【解答】解：对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，不正确； 对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，不正确； 对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，正确； 对于：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生， 这两个事件是对立事件，不正确； 故选：． 7．（2024春•通州区期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（　　） A．2个小球恰有一个红球 B．2个小球至多有1个红球 C．2个小球中没有绿球 D．2个小球至少有1个红球 【解答】解：根据题意，一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球， 有“2个小球都为红色”、“2个小球都为黄色”、“2个小球都为绿球”和“2个小球1个红色和1个黄色”， “2个小球1个红色和1个绿色”、“2个小球1个绿色和1个黄色”， 依次分析选项： 对于，“2个小球恰有一个红球”即“2个小球1个红色和1个黄色”和“2个小球1个红色和1个绿色”，与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立，符合题意； 对于，“2个小球至多有1个红球”即“2个小球1个红色和1个不是红色”，“2个小球至多有1个红球”即“2个小球都不是红球”和“2个小球恰有一个红球”，“2个小球都为红色”和“2个小球至多有1个红球”是对立事件，不符合题意； 对于，“2个小球中没有绿球”即“2个小球都为红色”、“2个小球都为黄色”和“2个小球1个红色和1个黄色”， 则“2个小球都为红色”是“2个小球中没有绿球”的子事件，不符合题意； 对于，“2个小球至少有1个红球”即“2个小球1个红色和1个不是红色的球”和“2个小球都为红色”，“2个小球都为红色”是“2个小球至少有1个红球”的子事件，不符合题意． 故选：． 8．（2024春•北京期末）已知随机事件和互斥，和对立，且（C），（B），则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【解答】解：根据题意，由和对立，可得（A）（C）， 又由（C），则（A）， 又由随机事件和互斥，则（A）（B）． 故选：． ( 考点02 写出样本空间 ) 9．（2021春•通州区期末）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为（　　） A．正面，反面 B．正面，反面 C．（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面） D．（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面） 【解答】解：先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序， 则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）． 故选：． 10．（2020秋•大兴区期末）从2名男生（记为和和3名女生（记为，和组成的总体中，任意依次抽取2名学生． （Ⅰ）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间； （Ⅱ）在（Ⅰ）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）从2名男生（记为和和3名女生（记为，和组成的总体中， 任意依次抽取2名学生， 有放回简单随机抽样的样本空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 不放回简单随机抽样的样本空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． （Ⅱ）有放回简单随机抽样时， 抽到的2人为1名男生和1名女生包含的基本事件有12个，分别为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 有放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率． 不放回简单随机抽样时， 抽到的2人为1名男生和1名女生包含的基本事件有12个，分别为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 不放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率． ( 考点0 3 古典概型 ) 11．（2022春•平谷区期末）口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次．则“两次取球中有3号球”的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：每次取球时，出现3号球的概率为，则两次取得球都是3号求得概率为， 两次取得球只有一次取得3号求得概率为， 故“两次取球中有3号球”的概率为， 故选：． 12．（2025秋•西城区校级期末）从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个： ，，，，，． 其中两个数的和为5的共有两个，． 故所求事件的概率， 故选：． 13．（2021春•朝阳区期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对2个红色球，2个绿色球依次编号为1，2，，， 从袋中不放回地依次随机摸出2个球，共有，，，，，， ，，，，，种， 则两个球颜色相同的情况共有，，，种， 则两个球颜色相同的概率， 故选：． 14．（2025秋•西城区校级期末）若非空集合满足：，都有，则称集合具有“对称特征”．已知集合，2，3，4，，则的非空子集的个数为　　 ；从的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为　　 ． 【解答】解：根据题意，集合，2，3，4，，有5个元素， 则其非空子集有个， 其非空子集中，具有“对称特征”的子集有，、、、、，5，2，、，5，、，4，、，5，2，4，，共7个， 故要求的概率． 故答案为：31；． 15．（2025春•东城区期末）甲、乙两个袋子中分别装有标号为1，2，3，4的4个球，这些球除标号不同外没有其他差别，分别从两个袋子中随机摸出一个球，则摸出的两个小球的标号相同的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，每个袋子中有4个球，分别从两个袋子中随机摸出一个球，有种取法， 其中摸出的两个小球的标号相同有4种， 则要求概率． 故选：． 16．（2025春•大兴区期末）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲、乙两人中至少一人被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设这5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊， 从中随机选出2人，共有甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，共10种选法， 其中“甲、乙两人中至少一人被选中”共有甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，7种情况， 因此所求概率为． 故选：． 17．（2023春•朝阳区校级期末）某班分成了、、、四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则组和组恰有一个组被抽到的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从、、、四个学习小组中随机抽取两个小组有，，，，，共6种结果， 其中组和组恰有一个组被抽到的结果有，，，共4种结果， 所以组和组恰有一个组被抽到的概率为． 故选：． 18．（2025春•丰台区期末）从1，2，3组成的无重复数字的所有三位数中随机抽取一个数，则该数大于300的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从1，2，3组成的无重复数字的所有三位数中随机抽取一个数， 组成的无重复的所有的三位数为，大于300的无重复的三位数为， 所以所求的概率为． 故选：． 19．（2025春•大兴区期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 【解答】解：根据题意，可得样本车辆共1000辆， 而赔付金额大于2500的有210辆， 则赔付金额大于投保金额的概率为； 又车主是新司机的占，则新司机车辆有150辆， 又在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占，共计辆， 则在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为． 故答案为：；． 20．（2024春•丰台区期末）一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球”的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则有种取法， 又恰有1个红球有种取法， 则恰有1个红球的概率是． 故选：． 21．（2024春•朝阳区期末）袋子中有4个大小和质地相同的小球，标号为1，2，3，4．若从中随机摸出一个小球，则摸到球的标号大于3的概率是 　　；若从中随机摸出两个小球，则摸到球的标号之和为偶数的概率是 　　． 【解答】解：由题意，从袋子中随机摸出一个小球，有4种结果， 而标号大于3的结果只有1种， 故摸到球的标号大于3的概率是； 从中随机摸出两个小球， 样本空间，，，，，，共6种结果， 摸到球的标号之和为偶数的事件，，共2种结果， 所以摸到球的标号之和为偶数的概率． 故答案为：；． 22．（2024春•大兴区期末）《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为 　　． 【解答】解：设所有的基本事件为， 其中，3，5，7，9，，4，6，8，10，共25个基本事件， 目标事件为，，，，，，，，，共10个基本事件， 所以． 故答案为：． 23．（2022春•通州区期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有1个白色球，3个黑色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球都是黑色球的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设两个球都是黑色球为事件， 基本事件总数为， 事件包含的基本事件数为， （A）， 故选：． 24．（2022春•朝阳区期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则的所有可能取值为 　　． 【解答】解：一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和个绿球， 采用有放回方式从中依次随机地取出2个球， 则取出的2个球颜色不同的概率为： ， 化简得，解得或， 故答案为：2或8． 25．（2024春•东城区期末）某中学调查了某班全部45名同学参加书法小组和科创小组的情况，数据如下（单位：人） 参加书法小组 未参加书法小组 参加科创小组 8 4 未参加科创小组 3 30 （Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个小组的概率； （Ⅱ）在既参加书法小组又参加科创小组的8名同学中，有5名男同学，，，，，3名女同学，，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率． 【解答】解：（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法小组又未参加科创小组的有30人， 故至少参加上述一个小组的共有（人， 所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个小组的概率为； （Ⅱ）从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15个， 其中被选中且未被选中的有，，，共2个， 所以被选中且未被选中的概率为． 26．（2025秋•西城区校级期末）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为．现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）． 一等品 二等品 甲生产线 76 乙生产线 2 请直接写出，的值； （Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率； （Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取2件产品，记表示从甲生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，试比较和的大小．（只需写出结论） 【解答】解：由题意，知，解得，； （Ⅱ）记样本中甲生产线的4件二等品为，，，，乙生产线的2件二等品为，， 从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是： ，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，， 记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果有1个，它是，， 所以． （Ⅲ）． 理由如下： 在一个容量为100的样本中， 因为甲生产线产品有76件一等品，有4件二等品，一共有80件产中品， 所以从甲生产线产品中取出一件产品是一等品的频率为， 因为乙生产线产品有18件一等品，有2件二等品，一共有20件产品， 所以从乙生产线产品中取出一件产品是一等品的频率为， 由题意可知：以抽样结果的频率估计概率， 所以从甲产品生产线随机抽取1件产品是一等品的概率为0.95， 从乙产品生产线随机抽取1件产品是一等品的概率为0.9． ， ， 所以． ( 考点0 4 相互独立事件的判断 ) 27．（2022春•朝阳区校级期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　） A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立 【解答】解：甲、乙、丙、丁事件分别记为，，，，则有（A）（B），（C），（D）， 对于，（A）（C），，（A）（C），不正确； 对于，（C）（D），，（C）（D），不正确； 对于，（A）（D），，（A）（D），甲与丁相互独立，正确； 对于，（B）（C），，（B）（C），不正确． 故选：． 28．（2024春•丰台区期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件 “点数之和为5”，事件 “点数之积为6”，事件 “至少有一个点数为3”，事件 “点数都不为3”，则（　　） A．为不可能事件 B．与相互独立 C．与互斥 D．与互为对立 【解答】解：对于，当一个点数为3，另一个点数为2时，事件和事件同时发生，故错误； 对于，由题意可知，（A），（B），， 因为（A）（B）， 所以与不相互独立，故错误； 对于，当一个点数为1，另一个点数为6时，事件和事件同时发生， 所以与不互斥，故错误； 对于，由对立事件的定义可知，与互为对立事件，故正确． 故选：． 29．（2024秋•怀柔区期末）有四个盒子，已知前三个盒中分别只装了一个红球、一个绿球、一个黄球，第四个盒子中红球、绿球、黄球都有．现随机抽取一个盒子，事件为抽中的盒子里面有红球，事件为抽中的盒子里面有绿球，事件为抽中的盒子里面有黄球．则下面正确的选项是（　　） A．与互斥 B．与相互独立 C．与互斥 D．与相互独立 【解答】解：根据题意，设 “抽中第一个盒子”， “抽中第二个盒子”， “抽中第三个盒子”， “抽中第四个盒子”， 则，则，，， 依次分析选项： 对于，，事件和可以同时发生，与不互斥，错误； 对于，（A），（B），，与相互独立，正确； 对于，，事件和可以同时发生，与不互斥，错误； 对于，（A），，，（A），则与不相互独立，错误． 故选：． ( 考点0 5 相互独立事件的概率 ) 30．（2022秋•丰台区期末）甲、乙两人独立地破译某个密码，若两人独立译出密码的概率都是0.5，则密码被破译的概率为 　　． 【解答】解：密码被破译的概率为． 故答案为：0.75． 31．（2025春•通州区期末）天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为 　　 ． 【解答】解：由题意可知，在这段时间内两地都不降雨的概率为． 故答案为：0.12． 32．（2022秋•石景山区期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方．根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的． （1）求比赛恰进行两局就结束的概率； （2）求这场比赛甲获胜的概率． 【解答】解：（1）比赛恰进行两局就结束对应的事件有两种可能，事件：甲胜乙，事件：乙胜甲．，，． （2）这场比赛甲获胜对应的事件有两种可能，事件：比赛两局结束且甲获胜；事件：比赛三局结束且甲获胜．，，． 33．（2024春•大兴区期末）甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲，乙，丙各自独立破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有2人破译出密码的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲，乙，丙各自独立破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响， 则至少有2人破译出密码的概率为． 故选：． 34．（2023春•朝阳区期末）甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【解答】解：由题意得，恰有一人命中的概率为． 故选：． 35．（2024春•通州区期末）从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是 　　． 【解答】解：从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中有放回的抽取两次，共有25种取法， 又两次抽取的卡片数字和为5的取法有，，，共4种， 则两次抽取的卡片数字和为5的概率是． 故答案为：． 36．（2024春•闽侯县期末）近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分．已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立． （1）求乙通过考核的概率； （2）求甲乙两人考核的次数和为3的概率． 【解答】解：（1）乙第一次考核通过的概率， 乙第二次考核通过的概率为， 乙通过考核的概率为； （2）甲考核2次，乙考核1次的概率， 甲考核1次，乙考核2次的概率， 甲乙两人的考核次数和为3的概率． 37．（2024春•通州区期末）在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是0.6和0.8，且测试结果相互独立，求： （Ⅰ）两人都通过体质健康测试的概率； （Ⅱ）恰有一人通过体质健康测试的概率； （Ⅲ）至少有一人通过体质健康测试的概率． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记甲通过体能测试为事件，乙通过体能测试为事件， 且事件与事件相互独立， 则两人都通过体能测试的概率（A）（B）； （Ⅱ）由事件与事件相互独立，则恰有一人通过体能测试的概率为：； （Ⅲ）由事件与事件相互独立，则至少有一人通过体能测试的概率为：． 38．（2022秋•平谷区期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： （Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率； （Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率． 【解答】解：（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则（A），（B），（C）， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为，考试通过的概率： ． 39．（2022秋•怀柔区期末）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的． （Ⅰ）求甲乙两队都答对此题的概率； （Ⅱ）求甲乙两队至少有一队答对此题的概率． 【解答】解：（Ⅰ）甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是， 乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的． 则甲乙两队都答对此题的概率； （Ⅱ）甲乙两队至少有一队答对此题的概率为： ． 40．（2022秋•延庆区期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求： （Ⅰ）甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率； （Ⅱ）甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率； （Ⅲ）甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率． 【解答】解：甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5， （Ⅰ）甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率为： ； （Ⅱ）甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率为： ； （Ⅲ）甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率为： ． 41．（2025春•丰台区期末）近年来，国内涌现出一批优秀的应用大模型．某中学为了解学生使用、、三种应用大模型的情况，采用分层随机抽样的方法，从初中部抽取了60名学生，从高中部抽取了50名学生，获得如下数据： 初中部 40人 38人 42人 高中部 30人 25人 20人 假设所有学生使用应用大模型的情况相互独立．用频率估计概率． （1）从该校全体学生中随机抽取1人，估计该学生使用应用大模型的概率； （2）从该校初中部全体学生中随机抽取1人，高中部全体学生中随机抽取1人，估计这2人中至少有1人使用应用大模型的概率； （3）在上述样本中，记初中部使用以上三种应用大模型人数的方差为，高中部使用以上三种应用大模型人数的方差为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【解答】解：（1）设事件 “从全体学生中随机抽取1人，使用应用大模型”，样本中使用应用大模型的学生共有70人，样本共有人，所以估计； （2）设事件 “这2人中至少有1人使用应用大模型”， 事件 “从初中部全体学生中随机抽取1人，使用应用大模型”， 事件 “从高中部全体学生中随机抽取1人，使用应用大模型”， 则估计，， 所以估计 ． （3）记高中部使用以上三种应用大模型人数的平均数为， ，； 记初中部使用以上三种应用大模型人数的平均数为， ，； 所以． 42．（2025春•东城区期末）某校学生会制定了本学期学生活动计划，为了解该校学生对活动计划是否支持，按照高一、高二、高三三个年级进行分层随机抽样，获得数据如表（单位：人） 年级 支持 不支持 高一 70 20 高二 60 30 高三 20 100 假设所有学生对活动计划是否支持相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）分别估计该校高一年级学生支持活动计划的概率、该校学生支持活动计划的概率； （Ⅱ）从该校高一全体学生、高二全体学生、高三全体学生中各随机抽取1人，估计这3人都支持活动计划的概率； （Ⅲ）已知该校高一（1）班至少有一半的学生支持活动计划．将该校学生支持活动计划的概率估计值记为，除高一（1）班学生外该校其他学生支持活动计划的概率估计值记为，比较与的大小．（结论不要求证明） 【解答】解：高一年级支持概率：高一支持人数70，总人数，故概率为． 全校支持概率：全校支持人数，总人数，概率为． 高一支持概率，高二支持人数60，总人数，概率； 高三支持人数20，总人数，概率． 三人都支持概率为． 设该校总人数为，高一（1）班人数为，高一（1）班支持概率为． 全校支持概率，除高一（1）班外人数为，其支持人数为高一（1）班支持人数． 则，又，即，． ，． 因为，所以，，故，即． ( 考点0 6 频率和概率 ) 43．（2023秋•大兴区期末）采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数： 907 966 181 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设学员三次射击至少击中两次的事件为， 由所给的数据可得至少击中两次的有181 271 932 812 431 393 113 共有7个，所有的结果由20个， 所以（A）， 故选：． 44．（2023秋•房山区期末）为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林．再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠 　　只． 【解答】解：设此森林内约有松鼠只，则， 解得． 故答案为：1000． 45．（2021春•东港区校级期末）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为石， 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率 高频考点概览 考点 01 互斥和对立事件 考点 02 写出样本空间 考点 03 古典概型 考点 04 相互独立事件的判断 考点 05 相互独立事件的概率 考点 06 频率和概率 考点01 互斥和对立事件 1．（2023秋•朝阳区校级期末）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（　　） A．“都是白球”与“至少有一个白球” B．“恰有一个白球”与“都是红球” C．“都是白球”与“都是红球” D．“至少有一个白球”与“都是红球” 2．（2020秋•丰台区期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则与的关系为（　　） A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等 3．（2024春•大兴区期末）一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是（　　） A．至多有一次中靶 B．至少有一次中靶 C．两次都中靶 D．只有一次中靶 4．（2024春•东城区期末）从装有2张红色卡片和2张黑色卡片的盒子中任取2张卡片，则下列结论正确的是（　　） A．“恰有一张黑色卡片”与“都是黑色卡片”为互斥事件 B．“至少有一张红色卡片”与“至少有一张黑色卡片”为互斥事件 C．“恰有一张红色卡片”与“都是黑色卡片”为对立事件 D．“至多有一张黑色卡片”与“都是红色卡片”为对立事件 5．（2025春•丰台区期末）某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（　　） A．至多有一次投中 B．至少有一次投中 C．恰有一次没有投中 D．两次都投中 6．（2023春•台江区校级期末）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（　　） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是红球 7．（2024春•通州区期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（　　） A．2个小球恰有一个红球 B．2个小球至多有1个红球 C．2个小球中没有绿球 D．2个小球至少有1个红球 8．（2024春•北京期末）已知随机事件和互斥，和对立，且（C），（B），则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 9．（2021春•通州区期末）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为（　　） 考点02 写出样本空间 A．正面，反面 B．正面，反面 C．（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面） D．（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面） 10．（2020秋•大兴区期末）从2名男生（记为和和3名女生（记为，和组成的总体中，任意依次抽取2名学生． （Ⅰ）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间； （Ⅱ）在（Ⅰ）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率． 考点03 古典概型 11．（2022春•平谷区期末）口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次．则“两次取球中有3号球”的概率为（　　） A． B． C． D． 12．（2025秋•西城区校级期末）从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（　　） A． B． C． D． 13．（2021春•朝阳区期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（　　） A． B． C． D． 14．（2025秋•西城区校级期末）若非空集合满足：，都有，则称集合具有“对称特征”．已知集合，2，3，4，，则的非空子集的个数为　　 ；从的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为　　 ． 15．（2025春•东城区期末）甲、乙两个袋子中分别装有标号为1，2，3，4的4个球，这些球除标号不同外没有其他差别，分别从两个袋子中随机摸出一个球，则摸出的两个小球的标号相同的概率是（　　） A． B． C． D． 16．（2025春•大兴区期末）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲、乙两人中至少一人被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 17．（2023春•朝阳区校级期末）某班分成了、、、四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则组和组恰有一个组被抽到的概率为（　　） A． B． C． D． 18．（2025春•丰台区期末）从1，2，3组成的无重复数字的所有三位数中随机抽取一个数，则该数大于300的概率为（　　） A． B． C． D． 19．（2025春•大兴区期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 20．（2024春•丰台区期末）一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球”的概率是（　　） A． B． C． D． 21．（2024春•朝阳区期末）袋子中有4个大小和质地相同的小球，标号为1，2，3，4．若从中随机摸出一个小球，则摸到球的标号大于3的概率是 　　；若从中随机摸出两个小球，则摸到球的标号之和为偶数的概率是 　　． 22．（2024春•大兴区期末）《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为 　　． 23．（2022春•通州区期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有1个白色球，3个黑色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球都是黑色球的概率是（　　） A． B． C． D． 24．（2022春•朝阳区期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则的所有可能取值为 　　． 25．（2024春•东城区期末）某中学调查了某班全部45名同学参加书法小组和科创小组的情况，数据如下（单位：人） 参加书法小组 未参加书法小组 参加科创小组 8 4 未参加科创小组 3 30 （Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个小组的概率； （Ⅱ）在既参加书法小组又参加科创小组的8名同学中，有5名男同学，，，，，3名女同学，，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率． 26．（2025秋•西城区校级期末）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为．现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）． 一等品 二等品 甲生产线 76 乙生产线 2 请直接写出，的值； （Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率； （Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取2件产品，记表示从甲生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，试比较和的大小．（只需写出结论） 考点04 相互独立事件的判断 27．（2022春•朝阳区校级期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　） A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立 28．（2024春•丰台区期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件 “点数之和为5”，事件 “点数之积为6”，事件 “至少有一个点数为3”，事件 “点数都不为3”，则（　　） A．为不可能事件 B．与相互独立 C．与互斥 D．与互为对立 29．（2024秋•怀柔区期末）有四个盒子，已知前三个盒中分别只装了一个红球、一个绿球、一个黄球，第四个盒子中红球、绿球、黄球都有．现随机抽取一个盒子，事件为抽中的盒子里面有红球，事件为抽中的盒子里面有绿球，事件为抽中的盒子里面有黄球．则下面正确的选项是（　　） A．与互斥 B．与相互独立 C．与互斥 D．与相互独立 考点05 相互独立事件的概率 30．（2022秋•丰台区期末）甲、乙两人独立地破译某个密码，若两人独立译出密码的概率都是0.5，则密码被破译的概率为 　　． 31．（2025春•通州区期末）天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为 　　 ． 32．（2022秋•石景山区期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方．根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的． （1）求比赛恰进行两局就结束的概率； （2）求这场比赛甲获胜的概率． 33．（2024春•大兴区期末）甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲，乙，丙各自独立破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有2人破译出密码的概率是（　　） A． B． C． D． 34．（2023春•朝阳区期末）甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 35．（2024春•通州区期末）从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是 　　． 36．（2024春•闽侯县期末）近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分．已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立． （1）求乙通过考核的概率； （2）求甲乙两人考核的次数和为3的概率． 37．（2024春•通州区期末）在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是0.6和0.8，且测试结果相互独立，求： （Ⅰ）两人都通过体质健康测试的概率； （Ⅱ）恰有一人通过体质健康测试的概率； （Ⅲ）至少有一人通过体质健康测试的概率． 38．（2022秋•平谷区期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： （Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率； （Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率． 39．（2022秋•怀柔区期末）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的． （Ⅰ）求甲乙两队都答对此题的概率； （Ⅱ）求甲乙两队至少有一队答对此题的概率． 40．（2022秋•延庆区期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求： （Ⅰ）甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率； （Ⅱ）甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率； （Ⅲ）甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率． 41．（2025春•丰台区期末）近年来，国内涌现出一批优秀的应用大模型．某中学为了解学生使用、、三种应用大模型的情况，采用分层随机抽样的方法，从初中部抽取了60名学生，从高中部抽取了50名学生，获得如下数据： 初中部 40人 38人 42人 高中部 30人 25人 20人 假设所有学生使用应用大模型的情况相互独立．用频率估计概率． （1）从该校全体学生中随机抽取1人，估计该学生使用应用大模型的概率； （2）从该校初中部全体学生中随机抽取1人，高中部全体学生中随机抽取1人，估计这2人中至少有1人使用应用大模型的概率； （3）在上述样本中，记初中部使用以上三种应用大模型人数的方差为，高中部使用以上三种应用大模型人数的方差为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 42．（2025春•东城区期末）某校学生会制定了本学期学生活动计划，为了解该校学生对活动计划是否支持，按照高一、高二、高三三个年级进行分层随机抽样，获得数据如表（单位：人） 年级 支持 不支持 高一 70 20 高二 60 30 高三 20 100 假设所有学生对活动计划是否支持相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）分别估计该校高一年级学生支持活动计划的概率、该校学生支持活动计划的概率； （Ⅱ）从该校高一全体学生、高二全体学生、高三全体学生中各随机抽取1人，估计这3人都支持活动计划的概率； （Ⅲ）已知该校高一（1）班至少有一半的学生支持活动计划．将该校学生支持活动计划的概率估计值记为，除高一（1）班学生外该校其他学生支持活动计划的概率估计值记为，比较与的大小．（结论不要求证明） 考点06 频率和概率 43．（2023秋•大兴区期末）采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数： 907 966 181 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（　　） A． B． C． D． 44．（2023秋•房山区期末）为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林．再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠 　　只． 45．（2021春•东港区校级期末）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $