精品解析：北京市海淀区中央民族大学附属中学2023-2024学年高一年级下学期期末考试数学试题

海淀区高一年级练习数学 2024.07 考 生 须 知 1.本试卷共三道大题，24道小题.满分150分.考试时间120分钟. 2.在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名. 3.答案一律填涂或书写在答题卡，用黑色字迹签字笔作答. 4.考试结束，请将本试卷交回. 一、选择题共 12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为 A. B. C. D. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7 7. 在中，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，已知．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，是锐角三角形 B. 当时，是直角三角形 C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是等腰三角形 11. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 定义域为的函数的图象的两个端点分别为．点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题 5分，共30分. 13. 知复数z满足，则__________，__________． 14. 已知圆锥的底面半径为1，高为2，则其体积等于__________. 15. 函数的最小正周期为______． 16. 在中，，P满足，则____________． 17. 在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________． 18. 已知函数，给出下列四个结论： ①对任意的，函数是周期函数； ②存在，使得函数在上单调递减； ③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④对任意的，记函数的最大值为，则． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共 72分.解答应写出文字说明，演算步或证明过程 19. 已知复数. （1）求复数； （2）若，求实数a，b的值． 20. 已知向量，，，（为常数）. （1）求； （2）若与平行，求实数的值. 21. 已知函数． （1）求的值和的零点； （2）求的单调递增区间． 22. 已知． （1）求； （2）若，求的最小值． 23. 在中，． （1）求A的大小； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 24. 已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量． （1）判断是否是2阶可等向量？说明理由； （2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求； （3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区高一年级练习数学 2024.07 考 生 须 知 1.本试卷共三道大题，24道小题.满分150分.考试时间120分钟. 2.在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名. 3.答案一律填涂或书写在答题卡，用黑色字迹签字笔作答. 4.考试结束，请将本试卷交回. 一、选择题共 12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：A 2. 已知向量，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标公式求夹角余弦值即可. 【详解】由题设. 故选：B 3. 已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正四棱锥的性质，以及锥体的体积公式，直接计算，即可得到答案. 【详解】由题意，正四棱锥的底面边长为，高为，则底面正方形的面积为， 所以四棱锥的体积为，故选B. 【点睛】本题主要考查了棱锥的体积的计算问题，其中解答中熟记正四棱锥的性质，以及锥体的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】由诱导公式可得，. 故选：B. 5. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由最小值求得，由求得，再结合最小值点和周期求得． 【详解】由图象知， 所以， 则或， 又，所以， ，，，， 又，，已知，所以，所以， 故选：D． 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦得到正切值，利用正切差角公式计算出答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 故， 所以. 故选：D 7. 在中，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，由基底表示向量即可求解. 【详解】在中，点满足， 则， 又，所以. 故选：B. 8. 已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明判断ABD；利用轴对称的意义判断C. 【详解】依题意，，解得，， 对于A，，，则函数的图象关于不对称，A不正确； 对于B，，，则函数的图象关于不对称，B不正确； 对于C，，即，， ，则函数的图象关于对称，C正确； 对于D，，，则函数的图象关于不对称，D不正确. 故选：C 9. 在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先的坐标，然后求出模长，然后结合辅助角公式化简，建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】因为平面直角坐标系xOy中，点，点 所以 所以 又 所以，即 所以，又因为 所以，即， 故选：A. 10. 在中，已知．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，是锐角三角形 B. 当时，是直角三角形 C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项. 【详解】对于A:因为由正弦定理, 当时，是钝角三角形, 当时，是钝角三角形,A选项错误； 对于B:因为,由, 所以是直角三角形,B选项正确； 对于C:因为,由 当时，,是锐角三角形,C选项错误； 对于D:因为,由,,, 因为，所以不是等腰三角形,D选项错误； 故选：B. 11. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可. 【详解】因为是非零向量， 若，则， 所以 ， 所以对于任意的，都有成立，故充分性成立； 若对于任意的，都有成立， 则，即， 所以，所以，所以，故必要性成立； 所以“”是“对于任意的，都有成立”的充要条件. 故选：C 12. 定义域为的函数的图象的两个端点分别为．点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两个端点，设的横坐标为，纵坐标为，进一步确定，从而求出，求出，得到答案. 【详解】在上的两个端点分别为， 设的横坐标为，纵坐标为，则， 故， ， 故，， 所以， 当时，等号成立， 故实数k的取值范围为. 故选：B 二、填空题共6小题，每小题 5分，共30分. 13. 知复数z满足，则__________，__________． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，及共轭复数的定义即可求解 【详解】因为，所以；所以的共轭复数， 故答案为：， 14. 已知圆锥的底面半径为1，高为2，则其体积等于__________. 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用圆锥的体积公式计算得到答案. 【详解】圆锥的体积. 故答案为：. 15. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接代入正切型函数的周期公式运算求解. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为：. 16. 在中，，P满足，则____________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据已知及数量积运算律，即可求解. 【详解】由题意可知，. 故答案为： 17. 在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1 【解析】 【分析】根据正弦定理，可以进行边化角，然后得到，根据，可得k的取值，又，即可得到的具体值. 【详解】因为，由正弦定理可得， ，又，所以， 所以，又，取，所以， 所以当时，， 故答案为：，1. 18. 已知函数，给出下列四个结论： ①对任意的，函数是周期函数； ②存在，使得函数在上单调递减； ③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④对任意的，记函数的最大值为，则． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】根据周期函数的定义可以证明①，取时可以判断②，取时可以判断③、④. 【详解】对于①，令，则 ， 所以对任意的，函数是周期函数，故①正确； 对于②，当时，，所以 所以， 当时， 即， 因为，所以，易知在上单调递减， 即存在，使得函数在上单调递减，故②正确； 对于③，当时，令，即，易知定义域为R. 因为 所以图象关于轴对称； 又因为， 所以为奇函数，图象关于原点中心对称， 所以存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；故③正确； 对于④，假设④为假命题，则它的否定： “存在，记函数的最大值为，则”为真命题， 由③知，当时， 所以，所以，存在，函数的最大值为，则，所以假设成立，即④为假命题， 故答案为：①②③. 三、解答题共6小题，共 72分.解答应写出文字说明，演算步或证明过程 19. 已知复数. （1）求复数； （2）若，求实数a，b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的四则运算化简得复数z； （2）利用复数的四则运算和复数的相等，列方程求实数a，b的值． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，则有， 解得. 20. 已知向量，，，（为常数）. （1）求； （2）若与平行，求实数的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据向量加法可得；（2）由向量平行可得坐标对应成比例,即得,解方程可得实数的值. 试题解析：（1）因为，，所以. （2）因为，，所以. 又因为，且与平行，所以，解得. 21. 已知函数． （1）求的值和的零点； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1），的零点为； （2）的单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）先应用诱导公式及两角和差化简，再根据正弦函数的对称中心求出零点即可； （2）应用正弦函数的单调区间求解即可. 【小问1详解】 令，所以． 所以的零点为 【小问2详解】 因为的单调递增区间为 所以． 所以 所以函数的单调递增区间为 22. 已知． （1）求； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解； （2）利用向量的运算律，将转化为关于的二次函数，然后求出最值即可. 【小问1详解】 因为， ， 因为 所以， 【小问2详解】 由（1）知，， 因为 所以当时，的最小值为 23. 在中，． （1）求A的大小； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）答案见解析，最长边上高线长. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化简求值； （2）若选择条件①，方法一，根据正弦定理和余弦定理求三边，判断最长边，再根据几何关系求高，方法二，根据边长和角，根据大角对大边，直接判断最长边，再求高； 若选择条件②，根据面积求，再根据余弦定理求边长，再求最长边的高； 如选择条件③，根据正弦定理，判断是否存在. 【小问1详解】 因为，所以 所以， 所以，因为，所以舍 所以，则； 【小问2详解】 选择① 因为，由正弦定理 代入，得 法一： 由余弦定理 代入得 所以 所以或 （舍），所以边最长， 边上的高线 法二： 因为，所以， 所以，所以，所以为最长边 边上的高线 选择② 因为 所以 因为，由余弦定理 所以 所以或 所以最长边上的高线， 若选择③，， 根据正弦定理，，则，不成立， 此时不存在. 24. 已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量． （1）判断是否是2阶可等向量？说明理由； （2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求； （3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量． 【答案】（1）是2阶可等向量，理由见解析； （2）5； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据的定义即可求解， （2）根据的定义即可求解，，即可结合是2阶可等向量求解， （3）根据是阶可等向量，等价于是阶可等向量，即可根据变换求证. 【小问1详解】 是2阶可等向量． 例如经过两次变换可得： 【小问2详解】 设进行一次变换后得， 当时， 当时， 当时， 当时， 综上，我们得到 ． 因为是2阶可等向量，即 所以． 所以 【小问3详解】 任取的一个排序，记为． 注意到，是阶可等向量，等价于是阶可等向量． 变换即对连续五个维度的坐标（首尾也看成连续）同时加上， 相当于对剩余两个连续维度的坐标同时加上． 对依次加上，相当于对单独加上； 对依次加上，相当于对单独加上； …… 基于上述分析，相当于可以对分别单独加上． 所以为5阶可等向量，为5阶强可等向量． 【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $