精品解析：陕西省安康市2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题

安康市2024—2025学年第二学期高二期末联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据（单位：毫米）为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，对于这五个数据，其第60百分位数为（ ） A. 3.59 B. 3.58 C. 3.76 D. 3.77 3. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式解集是（ ） A. B. C. D. 5. 设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 2或 6. 若的面积，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点分别为圆台上、下底面的圆心，为下底面的一条直径，且．圆台的上、下底面圆半径分别为3，6，点为下底面圆上不与，重合的一点，点为靠近一端的三等分点，则当为圆弧的中点时，点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 某机场进行数据分析，发现航班延误小时数与航班起飞前雷暴雨发生时间（单位：小时）存在一定关系，具体数据如下表： 1 3 4 4.5 根据机场多年数据统计，小于1，2，3的概率分别为0.4，0.7，0.9，若某航班起飞前已经发生了1小时雷暴雨，则其延误时间不超过4小时的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的一条渐近线为．将的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 的一条渐近线为 D. 的焦点到渐近线的距离为的 10. 已知，则的取值可以为（ ） A. －3 B. 2 C. D. 11. 设实数满足且，设，则（ ） A. 函数与图象均关于原点中心对称 B. 当时，函数可能存在零点 C 当时，不等式恒成立 D. 当时，函数在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为公差为1的等差数列，且依次成等比数列，则______． 13. 从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为______． 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了比较两种宣传方式的宣传效果，在人群中进行调研，为84个人宣传某传统非遗文化（此前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法1，其余采用宣传方法2．宣传后的人群分为“比较了解”和“有点了解”，统计发现宣传方法1中的人群有30人“比较了解”，宣传方法2的人群中仅有18人“比较了解”． （1）以频率估计概率，现给2人以方法1宣传传统非遗文化（此前未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望； （2）画出列联表，并依据的独立性检验，判断是否可以认为宣传效果与宣传方法是有关的？ 附： 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （其中）． 16. 已知为椭圆的一个焦点，且经过点，设直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为，，其中为坐标原点． （1）求方程； （2）用表示的值． 17 已知数列满足，，且，，成等差数列． （1）证明：为等比数列； （2）求的前项和． 18. 如图，直三棱柱中，平面，． （1）证明：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）若与平面所成的角为，求． 19. 函数的定义域为． （1）证明：时，单调递增； （2）证明：时，有唯一零点； （3）若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安康市2024—2025学年第二学期高二期末联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数四则运算化简，即可求出在复平面内点的坐标，即可求解. 【详解】由题意可设. 故在复平面内对应的点为. 其位于第一象限． 故选：． 2. 某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据（单位：毫米）为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，对于这五个数据，其第60百分位数为（ ） A. 3.59 B. 3.58 C. 3.76 D. 3.77 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的求法步骤即可求解. 【详解】已知题干数据已从小到大排列. 由于为整数. 故第60百分位数为． 故选：． 3. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和子集的概念列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得，，且， 因此，解得． 故选：B． 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把给定不等式进行等价转换，解二次不等式即可. 【详解】由题意可得，等价于， 解得， 故原不等式的解集为. 故选：. 5. 设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出圆心坐标，结合圆的切线列式求解. 【详解】由圆心在直线上，设圆心坐标为， 由该圆与两条坐标轴均相切，得该圆半径，整理得， 解得或，所以这个圆的半径或2. 故选：C 6. 若的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积公式和平面向量数量积定义化简即可求得. 【详解】的面积，又， 故，化简得. 又，故. 故选：． 7. 如图，点分别为圆台上、下底面的圆心，为下底面的一条直径，且．圆台的上、下底面圆半径分别为3，6，点为下底面圆上不与，重合的一点，点为靠近一端的三等分点，则当为圆弧的中点时，点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得再结合题意及几何知识得到，，然后利用等体积法即可求解点到平面的距离. 【详解】为等腰直角三角形， 为的中点，故， 由于点为靠近一端的三等分点，则有，． 当为圆弧的中点时，则， 易求得三棱锥体积为． 则， 此时的面积为． 则由等体积法，设点到平面的距离为，有，解得， 即点到平面的距离为．故B正确. 故选：B． 8. 某机场进行数据分析，发现航班延误小时数与航班起飞前雷暴雨发生时间（单位：小时）存在一定关系，具体数据如下表： 1 3 4 4.5 根据机场多年数据统计，小于1，2，3的概率分别为0.4，0.7，0.9，若某航班起飞前已经发生了1小时雷暴雨，则其延误时间不超过4小时的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】由概率的加法公式可得， 故． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的一条渐近线为．将的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 的一条渐近线为 D. 的焦点到渐近线的距离为的 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线可求出的值，再根据题中描述的变化，可求出双曲线. 【详解】选项：因为双曲线的一条渐近线为. 且根据双曲线性质可得：的渐近线为. 所以其一条渐近线等价于，因为，故，得到，解得，故错误； 选项：将代入方程，得到，所以离心率为，故正确； 选项：将的实轴，虚轴长度均变为原先的，则. 其渐近线为，所以的一条渐近线为，故正确； 选项：对于双曲线，焦点到渐近线的距离为. 其中即为半虚轴长． 由于的虚轴长为的，故的焦点到渐近线的距离为的，故正确． 故选：． 10. 已知，则的取值可以为（ ） A. －3 B. 2 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正切的和角公式可得，即可利用基本不等式求解范围得解. 【详解】由题可得， 由于，整理得，所以， 当时，， 当时，， 所以，故可能取值有． 故选：AD． 11. 设实数满足且，设，则（ ） A. 函数与的图象均关于原点中心对称 B. 当时，函数可能存在零点 C. 当时，不等式恒成立 D. 当时，函数在上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的图象性质即可判断选项求出答案. 【详解】选项：函数定义域为，故其图象不可能关于原点中心对称，故错误； 选项：存在零点等价于与有交点，当时，其恰有一个交点，故正确； 选项：当时，不等式恒成立等价于的图象恒在的上方，显然当趋于正无穷时不成立，故错误； 选项：当时，函数． 设，则在处取得最小值. 则在上恒成立，故函数在上单调递增.故正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为公差为1的等差数列，且依次成等比数列，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】写出等差数列的通项公式，得出的表达式，利用成等比数列，即可求出的值. 【详解】由题意，，在等差数列中，公差为1， ∴， ∴，， ∵依次成等比数列， ∴，即，解得． 故答案为：1． 13. 从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为______． 【答案】20 【解析】 【分析】先求出八个连续整数任选3个数的情况数，再分别求出三个连续数和三个数中只有两个数连续的个数，相减可得答案. 【详解】八个连续整数不妨设为1,2,3,4,5,6,7,8, 先任选3个数，有种取法， 其中三个连续数有6种，分别为1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8； 三个数中只有两个数连续， 比如1,2，剩余第三个数需从4,5,6,7,8中任选1个，有5种， 同理7,8，剩余第三个数需从1,2,3,4,5中任选1个，有5种， 比如2,3，剩余第三个数需从5,6,7,8中任选1个，有4种， 同理，3,4；4,5；5,6；6,7均有4种， 所以此时共有种， 综上，从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1， 共有种选法． 故答案为：20． 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，由正弦定理得到，，，由于，可得，得到答案. 【详解】由题意，， 可得， 由于， 可得， 由题意利用正弦定理可得， 可得，， 可得 ， 由于，可得，可得， 可得， 所以的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了比较两种宣传方式的宣传效果，在人群中进行调研，为84个人宣传某传统非遗文化（此前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法1，其余采用宣传方法2．宣传后的人群分为“比较了解”和“有点了解”，统计发现宣传方法1中的人群有30人“比较了解”，宣传方法2的人群中仅有18人“比较了解”． （1）以频率估计概率，现给2人以方法1宣传传统非遗文化（此前未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望； （2）画出列联表，并依据的独立性检验，判断是否可以认为宣传效果与宣传方法是有关的？ 附： 0.01 0.005 0.001 6635 7.879 10.828 （其中）． 【答案】（1）分布列见解析， （2）宣传效果与宣传方法有关 【解析】 【分析】（1）易知服从二项分布，利用二项分布的概率公式，分别计算出的不同取值对应概率，即可得分布列及其期望值； （2）作出列联表，根据列联表计算得出卡方的值，根据独立性检验即可得出结论. 【小问1详解】 依题意，方法1宣传后“比较了解”的概率． 所以， 则，，． 分布列 0 1 2 期望为． 【小问2详解】 列联表 有点了解 比较了解 合计 方法1 12 30 42 方法2 24 18 42 合计 36 48 84 零假设：宣传效果与宣传方法无关， ， 所以依据的独立性检验，推断不成立，故可以认为宣传效果与宣传方法有关． 16. 已知为椭圆的一个焦点，且经过点，设直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为，，其中为坐标原点． （1）求的方程； （2）用表示的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入到椭圆方程中，再结合焦点坐标，可得到椭圆方程. （2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得，利用点坐标写出，再代入计算，即可得到答案. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 从而可得. 【小问2详解】 由题意，联立得， ， 设，所以． 所以， 所以． 17. 已知数列满足，，且，，成等差数列． （1）证明：为等比数列； （2）求的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列定义列式并变形，再利用等比数列定义推理得证. （2）由（1）求出，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 依题意，，即，则， 又，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得，当时，， 则， ，满足上式，因此， 所以. 18. 如图，直三棱柱中，平面，． （1）证明：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）若与平面所成的角为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）18 （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直可得可得平面，从而可证； （2）由题意结合几何知识可证明四边形是正方形，从而再求出，，再结合柱体的体积公式即可求解； （3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法即可求解. 【小问1详解】 由平面平面，可得， 易知，故由平面平面，可得平面， 由平面，可得． 【小问2详解】 由平面平面可得， 又因为四边形是矩形，故四边形是正方形，于是， 而，故，由可得，解得，， 故， 故三棱锥的体积为18． 【小问3详解】 显然平面，故以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 不妨设，则，故． 易知平面的一个法向量， 故，即， 得到，由知． 19. 函数的定义域为． （1）证明：时，单调递增； （2）证明：时，有唯一零点； （3）若，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导函数结合导函数正负证明单调性； （2）先求出导函数，再根据导函数单调性结合零点存在定理得出零点及零点唯一性； （3）根据不等式恒成立，结合极值点得出函数的单调性，进而列式计算参数即可. 【小问1详解】 ， 则时，， 所以单调递增． 【小问2详解】 当时，是单调递增函数． 取，则，所以，从而． 取正数且，那么，从而． 由零点存在定理，存在． 又是单调增函数，所以有且仅有一个零点． 【小问3详解】 注意到，若，由（1）可知，与题干矛盾． 因此必有，由（2）知只需． 因为，所以， 代入，消去得． 记函数，则，即， 所以单调递增，单调递减． 所以，若，仅有，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$