精品解析：陕西省安康市2023-2024学年高二下学期期末质量联考数学试卷

2023—2024学年度安康市高二年级期末质量联考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有4本不同的科学类书籍，4本不同的文史类书籍，若从书架中任选1本书，则不同的选法有（ ） A. 4种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个变量与的对应关系如下表： 1 3 5 7 9 6 18 39 53 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 5. 的展开式中含有项的系数为（ ） A. 10 B. -10 C. 20 D. -20 6. 某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 332 B. 360 C. 432 D. 488 8. 已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值但没有最大值 B. 对于任意的，恒有 C. 仅有一个零点 D. 有两个极值点 10. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列可能为常数列 B. 数列可能为等比数列 C. 若，则 D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为 11. 袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ） A. 若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B. 若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C. 若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D. 若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________. 14. 设点在曲线上，点在曲线上，若最小值为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 某电商平台为了解消费者对新产品的满意度，从中随机调查了200名消费者的售后评分，得到的数据如下表： 年龄 5 2 3 6 9 14 11 20 33 34 30 25 2 1 2 3 把年龄在内的消费者称为青年，年龄在内的消费者称为中年，认为评分小于或等于80分的消费者对产品不满意，评分大于80分的消费者对产品满意. （1）完成如下表格，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者对新产品的满意度与年龄有关？ 满意 不满意 合计 青年 中年 合计 （2）从表中评分在90分以上的消费者中任意选取3人电话回访，记为3人里面青年的人数，求的分布列及数学期望. 附：． 0.1 005 0.01 0005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恰有两个零点，求的取值范围. 18. 学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为. （1）求甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率. （2）已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率. 19. 若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”． （1）若是“反转函数”，求的取值范围． （2）①证明：为“反转函数”． ②设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度安康市高二年级期末质量联考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有4本不同的科学类书籍，4本不同的文史类书籍，若从书架中任选1本书，则不同的选法有（ ） A. 4种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理进行求解. 【详解】共有种不同的选法. 故选：B 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接求解即可 【详解】由，得， 所以， 即双曲线的渐近线方程为. 故选：A 3. 曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：B 4. 已知两个变量与的对应关系如下表： 1 3 5 7 9 6 18 39 53 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本中心点在回归方程上即可. 【详解】由表格数据得， 因为样本中心点在回归方程上， 所以， 解得. 故选：A. 5. 的展开式中含有项的系数为（ ） A. 10 B. -10 C. 20 D. -20 【答案】B 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得展开式中含项的系数 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，所以， 故的展开式中含有项的系数为-10. 故选：B 6. 某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用全概率公式计算概率即可. 【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件， 则， 所以. 故选：C. 7. 3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 332 B. 360 C. 432 D. 488 【答案】C 【解析】 【分析】将两名女生绑定，再将男生全排，再利用插空法求解. 【详解】先选出2名女生排列有种排法，再将男生全排有种排法，最后将女生插空， 则不同的排法种数为. 故选：C 8. 已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设直线再根据直线和抛物线相切计算判别式为0，计算即可. 【详解】易知，当直线与相切时，设的方程为， 与联立，可得， 则，解得，故直线的斜率的最大值为1. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值但没有最大值 B. 对于任意的，恒有 C. 仅有一个零点 D. 有两个极值点 【答案】BC 【解析】 【分析】AD选项，求导，得到函数单调性，从而得到AD错误；BC选项，结合函数特征得到当时，，且函数只有一个零点0，BC正确. 【详解】AD选项，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值但没有最小值且只有一个极值点，AD错误； BC选项，由于恒成立，故当时，， 令，得，所以函数仅有一个零点，B，C正确. 故选：BC 10. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列可能为常数列 B. 数列可能为等比数列 C. 若，则 D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据常数列的定义，结合条件，判断A；根据等比数列的定义，判断为常数，判断B；根据数列的公比，并求数列的首项，利用等比数列的前项和公式判断C；结合数列的通项公式，并判断数列的单调性，即可判断D. 【详解】A.当时，，得或（舍）， 此时为常数列，故A正确； B.，， ， 若时，此时，不是等比数列， 若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确； C.若，，所以，故C错误； D.若，，数列是首项为，公比为的等比数列， ，数列单调递减，， 当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 11. 袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ） A. 若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B. 若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C. 若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D. 若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用独立事件概率乘积公式判断A选项，根据n次独立重复实验计算判断B，D，计算条件概率判断C选项即可. 【详解】每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误； ，则，故B正确； 记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则， ，所以，故C正确； ，当最大时， 即 所以即解得， 又，所以，当6时，最大，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用线面角的正弦值求法将两个向量代入即可得出答案 【详解】设l与所成角为，设向量与的夹角为， ，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可. 【详解】第一空，将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 离心率为：. 第二空，如图所示， 易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为：；. 14. 设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】考虑到两曲线关于直线对称，的最小值可转化为点到直线的最小距离的两倍，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，代到点到直线的距离公式中，可求得，再分类讨论出符合题意的即可. 【详解】因为与互为反函数，其图象关于直线对称， 又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为， 设与直线平行且与曲线相切的切线的切点， ，解得，所以， 得到切点，点到直线即的距离， 解得或3. 当时，过点和，过点和， 又，，所以与相交，不符合题意； 当时，令，则，当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即恒成立， 所以与不相交，符合题意. 综上，. 故答案为：-1. 【点睛】关键点点睛：与关于直线对称，当P、Q在和上的对应点关于直线对称且切线与平行时，最小. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，且. （1）求通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，从而求出，，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，采用裂项相消法求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，解得. ，可得，解得. 所以. 【小问2详解】 ， 所以 16. 某电商平台为了解消费者对新产品的满意度，从中随机调查了200名消费者的售后评分，得到的数据如下表： 年龄 5 2 3 6 9 14 11 20 33 34 30 25 2 1 2 3 把年龄在内的消费者称为青年，年龄在内的消费者称为中年，认为评分小于或等于80分的消费者对产品不满意，评分大于80分的消费者对产品满意. （1）完成如下表格，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者对新产品的满意度与年龄有关？ 满意 不满意 合计 青年 中年 合计 （2）从表中评分在90分以上的消费者中任意选取3人电话回访，记为3人里面青年的人数，求的分布列及数学期望. 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，不能 （2）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据完善列联表，计算的观测值并回答得结论. （2）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望即可. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 满意 不满意 合计 青年 70 30 100 中年 60 40 100 合计 130 70 200 零假设为：消费者对新产品的满意度与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即可认为成立， 即不能推断消费者对新产品的满意度与年龄有关. 【小问2详解】 依题意，90分以上的有8人，其中青年人数为3，则的所有可能值是， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）（）. 【解析】 【分析】（1）分类两种情况求导函数讨论函数的单调性； （2）根据函数的最值，结合函数零点存在定理即可求参. 【小问1详解】 由题意知函数的定义域为. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 小问2详解】 由题可知a为非正数时，函数单调递减，不可能有2个零点，所以， 则， 又因为时，时，恰有两个零点， 所以，解得， 故的取值范围为. 18. 学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为. （1）求甲在通过初赛条件下，第三轮答题没有合格的概率. （2）已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格，计算与,进而求出； （2）乙得分不低于60分可以获得一等奖的情况分为三种情况，即乙在中只抽到了一题、两题、三题的情况，求解概率. 【小问1详解】 设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格， 则， ， 所以甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率为 【小问2详解】 若乙在中只抽到了一题，则获得一等奖的概率； 若乙在中抽到了两题，则获得一等奖的概率 若乙在中抽到了三题，则获得一等奖的概率 故乙获得一等奖的概率. 19. 若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”． （1）若是“反转函数”，求取值范围． （2）①证明：为“反转函数”． ②设，证明：． 【答案】（1） （2）①②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“反转函数”的定义，分和两种情况讨论即可求出的取值范围； （2）①根据“反转函数”的定义证明，令，求导后可得在上递减，然后分和两种情况证明即可；②由①可得，当时，，令，则化简变形可得，然后累加可得结论. 【小问1详解】 当时，由，得， 所以，所，即， 所以，得， 因为在上递减，所以， 所以， 当时，由，得， 所以，所以，得， 所以， 因为在上递增，所以， 所以， 综上，，即的取值范围为； 【小问2详解】 ①证明：令，则 ， 所以在上递减， 所以当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以， 所以为“反转函数”； ②证明：由①知，当时，，即， 所以， 所以对任意时，， 所以， 整理得. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合，考查函数的新定义，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是根据为反转函数可得当时，，然后令化简变形，考查计算能力和数学转化思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$