精品解析：河北省衡水市、廊坊市等2地（NT20名校）2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

NT20名校联合体高二年级期末考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集运算规则，求出集合交集即可. 【详解】，，则， 故选：A． 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于BD，散点图分布总体是斜向上，故BD中对应的两个变量之间是正相关； 对于AC，散点图分布总体是斜向下，但C中散点分布较为集中， 而A中散点分布较为分散，故C中对应的两个变量相关性较强且为负相关. 3. 设，若，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得，解出m的值即可. 【详解】令，则可得. 又，则． 故选：D． 4. 已知函数（α为常数），若，则α的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，再由列式求解即得. 【详解】因为，， 则，解得. 故选：C. 5. 若，则n的值为（ ） A. 8 B. 13或8 C. 13 D. 8或5 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数的性质，即从个元素取个的组合数与取个的组合数相等. 【详解】由组合数的性质可得或，解得或． 故选：B． 6. 某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，有（ ）选法． A. 30种 B. 34种 C. 60种 D. 35种 【答案】B 【解析】 【分析】从7本中任选4本，去掉选取的4本全是小说的情况. 【详解】从7本中任选4本，除去选到4本全是小说的情况，共有种． 故选：B. 7. 已知定义域为R的函数满足关于对称，，则（ ） A. B. 2025 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】的对称性可得为偶函数，再由可得为周期4的函数且关于对称，进而可求的结果； 【详解】定义域为R的函数满足关于对称， ，即， 是偶函数， 又， ，函数的周期为4， 又由，， ， 关于对称， . 故选：C. 8. 已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意当等价于，设函数，利用导数求出的最小值，再结合的图象可知当仅有两个整数解，则可求得，从而可求解. 【详解】由得：，令，则， 令，则在R上恒成立， 所以在R上单调递增，由，， 所以，使得， 当时，，即，所以单调递减， 当时，，即，所以单调递增， 所以，如图所示，因为不等式的整数解有且仅有两个， 即的整数解有且仅有两个，，，， 所以有：，解得．故B正确. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 期末考试，某学校的数学成绩服从正态分布，则（ ） A. 这次测试的数学平均成绩为110 B. 这次测试的数学成绩的方差为10 C. 分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同 D. 分数在140分以上的人数与分数在80分以下的人数大致相同 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质及原则判断各项正误即可. 【详解】由题意得：，其中，， 即正态分布的对称轴为，因为，方差为100，故A正确，B错误； 由对称性及原则知：， ，故C错误，D正确． 故选：AD. 10. 设数列的前n项和为，且，．则下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若为等比数列，则或 D. 若为等比数列，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由等差数列通项的性质即可判断A；先根据等差数列由求得公差，再由前n项和公式求得即可判断B；由等比数列通项的性质即可判断C；先根据等比数列由求得公比，再由前n项和公式求得即可判断D. 【详解】对于A，若为等差数列，则，故A正确； 对于B，若为等差数列，则公差，，于是，故B正确； 对于C，若为等比数列，则，由于等比数列的奇数项同号，则，故C错误； 对于D，若为等比数列，则，． 若，则；若，则， 故D错误． 故选：AB. 11. 为了更准确地使用韦恩图来探究事件的相互独立性，王老师用面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中，为事件A，B对应区域的面积，U表示全集．下列韦恩图中，事件A与事件B相互独立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用互斥事件、相互独立事件的定义、条件概率，结合可判断各选项. 【详解】选项A：法1：事件A，B互斥，所以，而，．所以，故事件A，B不独立，A不正确． 法2：事件A，B互斥，所以，而，所以，故事件A，B不独立，A不正确． 选项B：设图中的小的长方形的面积为S， 法1：利用事件A，B相互独立的定义有，由， ，，所以， 所以图中事件A，B相互独立．B正确； 法2：利用事件A，B相互独立 由，，所以图中事件A，B相互独立．B正确； 选项C：法1：利用事件A，B相互独立的定义有 由图得，， ， 所以图中事件A，B相互独立．C正确； 法2：因为，所以图中事件A，B相互独立．C正确； 选项D：法1：由图知：A为B的子集，所以；而B为U的真子集，则， 所以，所以，D不正确； 法2：由图知：A为B的子集，所以；而B为U的真子集，则． 所以，则事件A与事件B不独立，D不正确． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是________________.（用数字作答） 【答案】10 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，再根据通项赋值即可得展开式中的系数. 【详解】的展开式的通项， 所以展开式中的系数是. 故答案为：. 13. 已知随机变量，，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由得出，由得出的表达式，由，即可求出的值. 【详解】由题意， 由于服从正态分布，且， ∴均值， 而Y服从二项分布，故， ∵， ∴，解得， 故答案为： 14. 已知，若曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】通过求导得出曲线在某点处的切线斜率，再根据切线与已知直线平行得到斜率关系，进而得出与的关系式，最后利用基本不等式求的最小值. 【详解】设，则， ， ， 又曲线在处的切线与直线平行， ，，即， ，当且仅当时，等号成立， 设，则，即， ， 又，， 当时取等号， 此时，,, 处的切线方程为,即,与直线平行，符合题意， 所以的最小值为. 故答案：6． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某高中新开设了游泳课，为了调查学生对课程的满意度，随机抽查了150名学生，其中不喜欢与喜欢人数比为，且男生占总人数的，女生中有的人不喜欢． 性别 满意度 合计 不喜欢 喜欢 男 女 合计 （1）补全列联表； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对游泳课的满意度与性别有关？ 附：，． α 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 性别 满意度 合计 不喜欢 喜欢 男 25 25 50 女 45 55 100 合计 70 80 150 （2）无关，理由：零假设为：学生对游泳课的满意度与性别无关， ， 根据小概率的独立性检验，没有充分证据判断不成立， 因此可以认为成立，即认为学生对游泳课的满意度与性别无关. 【解析】 【分析】（1）利用给定条件计算出喜欢与不喜欢的人数及其中的男、女生人数，得到列联表； （2）根据列联表所给的数据，代入求值的公式，求出值并与临界值比对，即可得出结论． 【小问1详解】 性别 满意度 合计 不喜欢 喜欢 男 25 25 50 女 45 55 100 合计 70 80 150 【小问2详解】略 16. 已知函数． （1）当时，求函数的值域； （2）若函数为偶函数，求实数m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）令，再利用对数函数的单调性求值域； （2）根据函数的奇偶性求参数，利用定义式即可求解. 【小问1详解】 当时，，令， ． 又在上单调递增 的值域为 【小问2详解】 是偶函数， ，即对任意恒成立． ， ． 17. 已知数列为非零数列，设，是数列的前n项之积，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，且当时，，对于均有恒成立，求满足条件的正整数k． 【答案】（1） （2）4和5 【解析】 【分析】（1）时由得，进而得，再验证即得的通项. （2）由题设结合得到时，，求出的最大项即可求得正整数k． 【小问1详解】 由题意得： 当时，，解得． 当时，由 得： 两式相除得：，即 当时，也满足上式，所以 【小问2详解】 由（1）可知，， 故当时， 当时，由，得 ， 解得，且，所以或 又，，，所以 故数列中最大项为和，即满足条件的正整数k的值为4和5. 18. 2024年高考数学全国1卷采用新的试卷结构，其中多选题（每道题有A，B，C，D四个选项，考查位置：第9~11题），得分规则变化较大，具体如下： 多选题（每题6分） 得分情况 正确选项个数 2个（如） 选对1个（选A或C） 3分 选对2个（选） 6分 3个（如） 选对1个（选A或B或D） 2分 选对2个（选或或） 4分 选对3个（选） 6分 为让学生适应新试卷结构，某学校组织了一场考试．已知每道多选题随机地从四个选项中做选择，每个选项是否正确相互独立．每道题正确选项为2个或3个的概率均为． （1）第10题已知A选项是正确的，甲同学已判断出来，但其他选项不确定，所以只填了A选项，记甲同学第10题得分为X，求． （2）第11题甲同学毫无头绪，随机填了A选项，记甲同学第11题得分为Y，求． （3）若本次考试第9~11题正确选项都为2个，乙同学每道题都得满分，甲同学知道后说：“这3道题有些知识点你是会的．”若乙同学三道题都随机选择两个选项，求乙每道题都得分的概率p，并根据p值大小判定甲同学的话是否正确．（p值保留两位有效数字） 【答案】（1） （2） （3），甲同学的话是正确的． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，分析题目选项情况，求出分布列，写出期望. （2）根据古典概型概率计算公式，和独立事件乘法公式，分析题目答案设置情况，从而判断得分情况，写出分布列，求出期望. （3）根据古典概型概率计算公式，求出随机选择一个答案为正确的概率，再根据独立事件乘法公式，判断连续3题都对的概率，判断甲说法是否正确. 【小问1详解】 由题，X的可能取值为2或3，因为每道题正确选项为2个或3个的概率均为， 所以， 所以X的分布列如下： X 2 3 P 所以. 【小问2详解】 由题，Y的可能取值为0，2，3， 因为， ， ， 所以Y的分布列如下： Y 0 2 3 P 所以. 【小问3详解】 设事件M：“乙同学在某道题上选两个选项且得分”， 则， 设事件N：“乙同学每道题都得分”， 所以， 故事件N为小概率事件，所以乙同学不可能每道题都乱答且得满分，甲同学的话是正确的． 19. 已知函数． （1）已知，证明：函数在上单调递减； （2）已知，证明：； （3）当时，令，证明：在上恰有一个零点． 【答案】（1） ， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 在处取得极小值，也是最小值，所以． 所以，又因为，所以， 又，所以， 所以函数在上单调递减； （2） 由（1）知：当时，函数在上单调递减， 又，所以， 所以，所以， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 在处取得极大值，也是最大值，所以， 所以，所以即，当且仅当时，等号成立； 因为，所以，所以， 所以； （3） 因为，， 所以， 令，则， 当时，，， 所以在上单调递增， 又，，， 所以由零点存在定理，存在唯一的使， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，，，，，又， 由零点存在定理可知，存在唯一的使 当时，，，在区间上无零点． 综上，在上恰有一个零点. 【解析】 【分析】（1）根据导函数和函数单调性之间的关系，根据参数范围，求出导函数的值域，说明函数在区间上单调递减； （2）构造函数，通过函数导数，求出函数单调性，根据函数单调性和最值，说明不等式成立； （3）根据零点存在定理，证明函数单调性，求出函数在区间上的特殊位置函数值，说明函数在给定区间上有零点即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ NT20名校联合体高二年级期末考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，若，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 已知函数（α为常数），若，则α的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若，则n的值为（ ） A. 8 B. 13或8 C. 13 D. 8或5 6. 某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，有（ ）选法． A. 30种 B. 34种 C. 60种 D. 35种 7. 已知定义域为R的函数满足关于对称，，则（ ） A. B. 2025 C. 2 D. 1 8. 已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 期末考试，某学校的数学成绩服从正态分布，则（ ） A. 这次测试的数学平均成绩为110 B. 这次测试的数学成绩的方差为10 C. 分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同 D. 分数在140分以上的人数与分数在80分以下的人数大致相同 10. 设数列的前n项和为，且，．则下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若为等比数列，则或 D. 若为等比数列，则 11. 为了更准确地使用韦恩图来探究事件的相互独立性，王老师用面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中，为事件A，B对应区域的面积，U表示全集．下列韦恩图中，事件A与事件B相互独立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是________________.（用数字作答） 13. 已知随机变量，，且，，则______． 14. 已知，若曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某高中新开设了游泳课，为了调查学生对课程的满意度，随机抽查了150名学生，其中不喜欢与喜欢人数比为，且男生占总人数的，女生中有的人不喜欢． 性别 满意度 合计 不喜欢 喜欢 男 女 合计 （1）补全列联表； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对游泳课的满意度与性别有关？ 附：，． α 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 已知函数． （1）当时，求函数的值域； （2）若函数为偶函数，求实数m的值． 17. 已知数列为非零数列，设，是数列的前n项之积，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，且当时，，对于均有恒成立，求满足条件的正整数k． 18. 2024年高考数学全国1卷采用新的试卷结构，其中多选题（每道题有A，B，C，D四个选项，考查位置：第9~11题），得分规则变化较大，具体如下： 多选题（每题6分） 得分情况 正确选项个数 2个（如） 选对1个（选A或C） 3分 选对2个（选） 6分 3个（如） 选对1个（选A或B或D） 2分 选对2个（选或或） 4分 选对3个（选） 6分 为让学生适应新试卷结构，某学校组织了一场考试．已知每道多选题随机地从四个选项中做选择，每个选项是否正确相互独立．每道题正确选项为2个或3个的概率均为． （1）第10题已知A选项是正确的，甲同学已判断出来，但其他选项不确定，所以只填了A选项，记甲同学第10题得分为X，求． （2）第11题甲同学毫无头绪，随机填了A选项，记甲同学第11题得分为Y，求． （3）若本次考试第9~11题正确选项都为2个，乙同学每道题都得满分，甲同学知道后说：“这3道题有些知识点你是会的．”若乙同学三道题都随机选择两个选项，求乙每道题都得分的概率p，并根据p值大小判定甲同学的话是否正确．（p值保留两位有效数字） 19. 已知函数． （1）已知，证明：函数在上单调递减； （2）已知，证明：； （3）当时，令，证明：在上恰有一个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $