精品解析：河北省衡水市、廊坊市等2地NT20名校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

NT20名校联合体高一年级期末考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 3. 某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为（ ） A. 320 B. 360 C. 420 D. 480 4. 在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.78 6. 已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 用抽签法抽取的一个容量为10的样本的平均数为12，方差为6，用随机数表法抽取的一个容量为20的样本的平均数为15，方差为9，则样本的方差为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于非零向量的说法正确的是（ ） A. 若共线，则 B. 若，则共线 C. 若，则的夹角为锐角 D. 若的夹角为锐角，则 10. 已知事件两两互斥，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的有（ ） A. B. 直线到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 平面与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据如下：，则这组数据的第80百分位数是______. 13. 若圆锥的母线长为6，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______. 14. 在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数（其中）. （1）若，求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求的值. 16. 如图，直三棱柱中，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）平面将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值. 17. 在中，角的对边分别是，向量，，且. （1）求； （2）若的外接圆的面积为，求周长的取值范围. 18. 这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题. （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数； （3）若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内的有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率. 19. 如图1，在直角梯形中，已知，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2. （1）求证：； （2）求与平面所成的角的正弦值； （3）求二面角的平面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ NT20名校联合体高一年级期末考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据虚部的定义求解即可. 【详解】由复数的定义可知复数的虚部为. 故选：C. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用平行向量的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：C. 3. 某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为（ ） A. 320 B. 360 C. 420 D. 480 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样定义计算即可. 【详解】由比例分配的分层抽样方法可得高一年级身高在175cm以下的学生人数为. 故选：D. 4. 在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据法向量的求法求解即可. 【详解】由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 5. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.78 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案. 【详解】因为事件和相互独立，, 故， 所以. 故选：A. 6. 已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有两解，列不等式求解可得结果. 【详解】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. 7. 用抽签法抽取的一个容量为10的样本的平均数为12，方差为6，用随机数表法抽取的一个容量为20的样本的平均数为15，方差为9，则样本的方差为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】求出新样本的平均数，根据方差公式计算，即可求得答案. 【详解】由题知的平均数为， 则所求方差. 故选：B. 8. 已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当三棱锥体积最大时，平面平面，分别取和的外接圆圆心，进而找到三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可得解. 【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面， 取的中点，连接， 因为四边形为菱形， 所以， 因为平面平面， 所以， 如图，过上靠近的三等分点作平面的垂线， 过上靠近的三等分点作平面的垂线， 两条垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以， 所以， 同理可得， 所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于非零向量的说法正确的是（ ） A. 若共线，则 B. 若，则共线 C. 若，则的夹角为锐角 D. 若的夹角为锐角，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量共线的意义、数量积的几何意义逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项A，当方向相反时，，故选项A错误； 对于选项B，若，则方向相同，即共线，故选项B正确； 对于选项C，若的夹角为锐角或的方向相同，故选项C错误； 对于选项D，若的夹角为锐角，故选项D正确. 故选：BD. 10. 已知事件两两互斥，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用互斥事件满足的关系式，对选项一一分析求解，求出答案. 【详解】A选项，因为事件两两互斥， 所以， 则，所以，故A错误； B选项，，则，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D错误. 故选：BC. 11. 已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的有（ ） A. B. 直线到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 平面与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，只需证明平面即可说明A正确；对于B，由等体积法验算点面距离即可；对于C，D，由线面角、面面角的定义逐一验算CD选项即可得解. 【详解】对于A，如图，连接，因为平面平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，平面平面，所以平面. 因为正方体的棱长为2，所以是边长为的正三角形. 设直线到平面的距离为，由等体积法得： ，解得，故B错误； 对于C，连接，平面即为平面. 设与交于点，则为的中点.过点作，交于点， 则为的中点，平面，平面， 所以，又，所以平面. 连接，则为直线与平面所成的角， ，故C正确； 对于D，设，连接，则， 所以为平面与平面所成角的平面角，因为， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据如下：，则这组数据的第80百分位数是______. 【答案】8.5## 【解析】 【分析】根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】由题意，数据，可得， 故第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数，即为. 故答案为：8.5. 13. 若圆锥的母线长为6，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，分析得出，可求得以及圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为. 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，即，， 那么圆锥的高. 圆锥的体积. 故答案为：. 14. 在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由辅助角公式可得，结合，可求得，再利用余弦定理可得，结合可求得，从而可判断为直角三角形，即可求解. 【详解】由题意，即，因为，所以. 由余弦定理可知， 因为，所以，代入解得， 此时，所以为直角三角形， 所以的面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数（其中）. （1）若，求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】（1）3 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数的定义和两复数相等得到方程组，求出，得到答案； （2）将代入方程，化简后，根据两复数相等得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 ，因为，所以， 故，所以. 【小问2详解】 是关于的方程的一个根， ，即. 所以，解得或，故或. 16. 如图，直三棱柱中，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）平面将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值. 【答案】（1） 如图： 连接交于点，连接， 则为的中点，又为线段的中点，则， 因为 平面平面， 所以直线平面. （2）5 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理可证结论. （2）分别计算棱柱和棱锥的体积，可求两部分的体积之比. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知，所以， 所以三棱柱的体积. 三棱锥的体积， 所以多面体的体积. 所以. 17. 在中，角的对边分别是，向量，，且. （1）求； （2）若的外接圆的面积为，求周长的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合正弦定理角化边，再根据余弦定理计算可得，由此求得角； （2）利用正弦定理求得，再根据余弦定理结合基本不等式求得，又根据三角形的三边关系可得，即可得周长的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 由正弦定理可知，所以， 根据余弦定理，， 又，所以. 【小问2详解】 因为的外接圆的面积为，所以半径. 由正弦定理可知，所以. 由，知， 即， 解得，即，当且仅当时等号成立， 又，所以， 所以，即周长的取值范围为. 18. 这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题. （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数； （3）若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内的有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可； （2）由中位数的求法，结合直方图求解即可； （3）根据分层抽样的各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由图知：，可得. 【小问2详解】 由， 所以中位数在之间，设中位数为，那么， 解得，所以中位数为86. 【小问3详解】 设在中抽取的2人分别为；在中抽取的3人分别为； 从这5人中随机抽取2人，则样本空间为： ，共有10个基本事件. 设选取的2人评分均在内为事件， 则中包含3个基本事件，所以. 19. 如图1，在直角梯形中，已知，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2. （1）求证：； （2）求与平面所成的角的正弦值； （3）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为，则， 可得，则. 又因为平面平面，且平面平面平面， 可得平面， 且平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用勾股定理可得，结合面面垂直可得平面，即可得结果； （2）法一：做辅助线，根据垂直关系可知为与平面所成的角，即可得结果；法二：建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （3）法一：做辅助线，根据垂直关系可知为二面角的平面角，即可得结果；法二：求平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一（几何法）：过点作，交于点. 因为，则为的中点， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接，则为与平面所成的角. 由（1）知， 因为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值. 法二（空间向量法）：过点作，交于点. 因为，则为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，所在的直线为轴，过且平行于所在的直线为轴，所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量可为， 可得. 直线与平面所成的角的正弦值为. 【小问3详解】 法一（几何法）：由（2）知平面平面，所以. 过作交于点，连接， 因为，平面，所以平面， 且平面，所以， 可知为二面角的平面角. 在中，，则， 可得， 所以二面角的平面角的余弦值为； 法二（空间向量法）：由（2）知， 则. 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 所以平面的一个法向量为， 且平面的一个法向量可为.可得， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $