3.3分式的加法与减法（题型专练）数学新教材青岛版八年级上册

3.3分式的加法与减法 （5大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 同分母分式的加减法 题型二 最简公分母的确定 题型三 分式的通分 题型四 异分母分式的加减法 题型五 分式的混合运算 题型一 同分母分式的加减法 1．计算的结果是（   ） A． B．1 C．0 D．-1 2．化简结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算：（1） ． 4．计算： ． 5．计算： (1)； (2) 题型二 最简公分母的确定 1．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 3．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 4．分式和分式的最简公分母是 ． 5．分式和的最简公分母是 ． 题型三 分式的通分 1．将下列式子进行通分． （1）和         （2）和 （3）和         （4）和 2．通分： (1)，； (2)，，． 题型四 异分母分式的加减法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．化简分式 的结果是 . 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．先化简，再求值：，其中． 5．化简： 题型五 分式的混合运算 1．计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是 ． 4．计算： (1)； (2)． 5． 化简：（1） （2）化简：． 6．先化简，再求值：，其中． 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知，，则的值 （   ） A． B． C． D． 4．如果记 并且表示当时y的值， 即 那么 （结果用含n的代数式表示， n为正整数）． 5．先化简，再求值：，其中x满足 1．已知：，请计算： ．（用含x的代数式表示） 2．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． (1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； (2)若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 3．已知的值为正整数，求整数x的值． 4．我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． (1)已知，，请你用作差法比较A与B的大小． (2)甲、乙两人两次都同时到某米店买米，甲每次买米，乙每次买米100元，由于市场因素，虽然这两次米店售出同样的米，但单价却不同．若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算．问甲、乙两人谁的购粮方式更合算？为什么？ 5．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3分式的加法与减法 （5大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 同分母分式的加减法 题型二 最简公分母的确定 题型三 分式的通分 题型四 异分母分式的加减法 题型五 分式的混合运算 题型一 同分母分式的加减法 1．计算的结果是（   ） A． B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的加减法，运用同分母分式相加减，分母不变分子相加减进行运算即可 【详解】解： ， 故选：C 2．化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，运用同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 3．计算：（1） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，将分母统一是解题关键．利用同分母分式的加法运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查同分母分式的加减法，解答本题的关键是明确分式的加减法的计算方法，注意最后结果要化为最简． （1）根据同分母分式加减法则进行运算即可； （2）根据同分母分式加减法则进行运算即可； 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 题型二 最简公分母的确定 1．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简公分母，解题的关键是：需要掌握最简公分母的定义． 【详解】解：在分式与中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为：， 故选：C． 2．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把第二个分式的分母分解因式，然后根据最简公分母的确定方法解答．本题考查了最简公分母的确定，解题的关键在于对分母正确分解因式． 【详解】解：∵， ∴与的最简公分母为，故D正确． 故选：D． 3．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是正确运用确定最简公分母的方法求解； 先把分母因式分解，再确定最简公分母即可． 【详解】解：∵， ∴分式与的最简公分母是， 故选：C． 4．分式和分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，解题关键是熟练掌握通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据确定最简公分母的方法逐项分析即可，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：，， 两个分式的分母分别为、， 最简公分母是， 故答案为：． 5．分式和的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式和的分母分别是、，故最简公分母是． 故答案为：． 题型三 分式的通分 1．将下列式子进行通分． （1）和         （2）和 （3）和         （4）和 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】解答此题的关键是求出公分母，再通分． （1）两式的最简公分母为10a2b3c； （2）两式的最简公分母为6x2y； （3）两式的最简公分母为8ab2c2； （4）两式的最简公分母为y2-1. 【详解】解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c， 故==， ==； （2）两式的最简公分母为6x2y， 故==， ==， （3）两式的最简公分母为8ab2c2， 故== ==， （4）两式的最简公分母为y2-1， 故， ． 【点睛】解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分． 2．通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键 （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】 （1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ， ． 题型四 异分母分式的加减法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，按照分式加减运算法则计算即可．解题关键是对各项分式进行通分，找到所有分母的最简公分母，通分后即可进行运算． 【详解】解： ， 故选：A． 2．化简分式 的结果是 . 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据异分母分式加减运算法则，先通分，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据异分母分式相加减的法则进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 5．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算是解题的关键．先对各分式的分子分母因式分解，然后进行同分母分式加减计算，再进行异分母分式的加减计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 题型五 分式的混合运算 1．计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．原式利用除法法则变形，计算分式乘法，再计算加法即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把括号内两个分式通分，进行分式的减法运算，再计算分式的除法即可． 【详解】解： ； 故选B． 3．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，先通分括号，再运算除法，然后化简即可作答． 【详解】解： 故答案为： 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算； （1）先分解因式，再除法，再算减法即可； （2先算括号内的式子，再算括号外的除法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5． 化简：（1） （2）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则与顺序是解题的关键． 先算括号里，再算括号外的即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】a，9 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式化简的过程是解题的关键．先因式分解，变除为乘，约分后，利用分式的减法法则计算，得到最简结果，利用负整数指数幂的意义把a化简后代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减运算，先通分，再按同分母的分式减法法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 2．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键． 3．已知，，则的值 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键是熟练掌握异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减． 根据分式的加减法则“异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减”得原式等于，再根据进行完全平方即可得，进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故选C． 4．如果记 并且表示当时y的值， 即 那么 （结果用含n的代数式表示， n为正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了与分式运算相关的规律探索题，正确根据题意得到是解题的关键． 【详解】解：∵， 故． 故答案为：． 5．先化简，再求值：，其中x满足 【答案】，1． 【分析】本题考查分式的化简求值，先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后利用整体思想代入求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式． 1．已知：，请计算： ．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律与分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．首先把代入，利用x表示出，进而表示出、，即可得到循环关系，进而即可解答． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ∴y的值每3次一个循环． ∵， ∴． 故答案为：． 2．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． (1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； (2)若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的加减乘除运算顺序和法则，根据乘除加减的互逆关系做等式变形，是解决问题的关键． （1）用代替中的化简，根据，取限定的，0，1中的0作为a值，代入化简结果计算即得； （2）根据乘除加减的互逆关系做等式变形，计算中的． 【详解】（1） ， ∵， ∴， ∴从，0，1中选取0作为a值代入求值， 原式； （2）∵， ∴ ， 则被墨水遮住的式子是． 3．已知的值为正整数，求整数x的值． 【答案】，或5 【分析】此题考查了异分母分式加减法，根据分式的值求参数，先计算异分母分式加减法，根据式子的值为正整数得或2，由此求出x的值． 【详解】解： ∵的值为正整数， ∴或2， ∴或5． 4．我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． (1)已知，，请你用作差法比较A与B的大小． (2)甲、乙两人两次都同时到某米店买米，甲每次买米，乙每次买米100元，由于市场因素，虽然这两次米店售出同样的米，但单价却不同．若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算．问甲、乙两人谁的购粮方式更合算？为什么？ 【答案】(1) (2)乙的购买粮食更划算，理由见详解 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，分式加减的运算的应用； （1）作差，即可求解； （2）设第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元，则有甲两次大米的平均价格为元，乙两次大米的平均价格为，化简后，作差法比较大小，即可求解； 会用作差法比较代数式大小是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：乙的购买粮食更划算； 理由如下： 设第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元，由题意得 甲两次大米的平均价格为元， 乙两次大米的平均价格为 元， ， ， 故乙的购买粮食更划算． 5．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】（1）①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式. 故答案为：①③④． （2）， 故答案为:. （3）（3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$