精品解析：青海省西宁市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试卷

西宁市2024—2025学年第二学期末调研测试卷 高一数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷为试题卷，不允许作为答题卷使用，答题部分请在答题卡上作答，否则无效． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场、座位号填写在答题卡上，同时将学校、姓名、准考证号、考场填写在本试卷上． 4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑（如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号）．非选择题用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡相应的位置，书写工整，字迹清晰． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某系统通过摄像头识别手势，准确率为．若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 某钢管车间生产的无缝钢管的直径规格为45mm，现从生产的钢管中随机抽取10根，测得10根钢管的平均直径为45.3mm，方差为，若再加入1根直径为45.3mm的钢管，则这11根钢管直径的（ ） A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大 5. 已知正四棱台分别是棱的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A. B. C. D. 7. 如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的共轭复数为 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 9. 设A，B是两个概率大于的随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C. 若事件，则 D. 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 10. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与底面所成的角为 C. 二面角所成的角为 D. 当点在线段上运动时，点到平面的距离不是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 如图，某数学兴趣小组成员为测量旗杆的高度，在旗杆的正东方向找到一座高为14米的建筑，在地面的点（三点在同一条水平线上）处测得建筑物的顶部的仰角为，测得旗杆的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得旗杆的顶部的仰角为，则旗杆的高度是__________米. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点． （1）求证：E、F、C、四点共面： （2）求异面直线与BC所成角的余弦值． 13. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，记它们的交点为，设． （1）用表示； （2）求与的夹角的余弦值． 14. 已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，. （1）若，试判断的形状并证明； （2）若，边长，角，求的面积. 15. 如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若，求证：； （3）求四面体体积的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市2024—2025学年第二学期末调研测试卷 高一数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷为试题卷，不允许作为答题卷使用，答题部分请在答题卡上作答，否则无效． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场、座位号填写在答题卡上，同时将学校、姓名、准考证号、考场填写在本试卷上． 4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑（如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号）．非选择题用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡相应的位置，书写工整，字迹清晰． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底. 【详解】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底． 故选：B 【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】∵复数满足 ∴ ∴复数在复平面内对应的点位于第四象限 故选D. 3. 某系统通过摄像头识别手势，准确率为．若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的乘法公式及对立事件即可求解． 【详解】若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的对立事件为三次都识别正确， 所以至少有一次识别错误的概率为， 故选：A． 4. 某钢管车间生产的无缝钢管的直径规格为45mm，现从生产的钢管中随机抽取10根，测得10根钢管的平均直径为45.3mm，方差为，若再加入1根直径为45.3mm的钢管，则这11根钢管直径的（ ） A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数以及方差的计算公式即可求解. 【详解】设11根钢管的平均直径为，方差为，则，故A，B错误；，故C正确，D错误. 故选：C 5. 已知正四棱台分别是棱的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知几何体是三棱台，利用割补法结合台体的体积公式运算求解. 【详解】如图，连接，不妨设，棱台的高设为， 所以． 因为，分别是棱，的中点，则，． 又因为平面平面，可知几何体是三棱台， 则． 所以分割之后较大部分的体积为， 所以较小部分与较大部分的体积之比为． 故选：B． 6. 在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理得，再由题设条件得到取值范围，进而得解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若有且仅有一个，则或，或， 则边长的取值范围是. 故选：C 7. 如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则，，即可求解. 【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 方法二：如图2，连接．易知， 设，则． 由已知可得，所以， 所以 ． 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的共轭复数为 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念即可判断A；根据纯虚数的概念即可判断B；举反例即可判断C；根据复数的乘法运算和复数模的概念即可判断D. 【详解】对A，根据共轭复数的概念知的共轭复数为，故A正确； 对B，若为纯虚数，则，解得，故B正确； 对C，举例，满足，但，故C错误； 对D，设，，其中， 则， 则， ，所以. 故选：ABD. 9. 设A，B是两个概率大于的随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C. 若事件，则 D. 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 【答案】CD 【解析】 【分析】根据事件的包含关系、互斥事件以及事件的相互独立性概念与性质，结合反例即可判断各个选项. 【详解】对于A，若，，则，A错误； 对于B、D，若事件和互斥，则，若事件和相互独立， 则，B错误，D正确； 对于C，若事件包含事件，则，C正确. 故选：CD. 10. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与底面所成的角为 C. 二面角所成的角为 D. 当点在线段上运动时，点到平面的距离不是定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质得到侧面，即可判断A，取的中点，连接，，即可得到底面，则为直线与底面所成的角，从而判断B，取的中点，的中点，连接、、，则为二面角的平面角，即可判断C，连接，则，连接，则，即可判断D. 【详解】对于A：因为，侧面底面，侧面底面， 底面，所以侧面，又侧面，所以，故A正确； 对于B：取的中点，连接，，因为是正三角形，所以， 侧面底面，侧面底面， 底面，所以底面，所以为直线与底面所成的角， 又，，所以，则， 所以与底面所成的角为，故B正确； 对于C：取的中点，的中点，连接、、，则，又底面，所以底面， 又底面，所以，又，， 即，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角，又， 所以，，所以， 所以，即二面角所成的角为，故C正确； 对于D：连接，则，连接，即为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又是上的一个动点，所以点到平面的距离是定值，故D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 如图，某数学兴趣小组成员为测量旗杆的高度，在旗杆的正东方向找到一座高为14米的建筑，在地面的点（三点在同一条水平线上）处测得建筑物的顶部的仰角为，测得旗杆的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得旗杆的顶部的仰角为，则旗杆的高度是__________米. 【答案】21 【解析】 【分析】根据题意在中求出，再在中利用正弦定理求出，然后在中可求得结果. 【详解】在,可得到米； 在中，， 则，由正弦定理可得， ，米；则在中，米. 故答案为：21 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点． （1）求证：E、F、C、四点共面： （2）求异面直线与BC所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接. 在中，点E，F分别为棱，AB的中点， 则， 在正方体中，， ，且， 四边形是平行四边形， ，则， 故、、、四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得四点共面； （2）由平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角，在平面内解三角形即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则即为所求异面直线与BC所成的角， 设正方体的棱长为， 在中，， 则， 所以. 故所求异面直线与BC所成角的余弦值为． 13. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，记它们的交点为，设． （1）用表示； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形的几何形状直接分解向量即可； （2）根据公式，只需由数量积的运算律分别求出的值即可. 【小问1详解】 因为，所以， 在平行四边形中，点是的中点， 所以，且， 所以，所以， 则，即． 【小问2详解】 已知， 则，， 又已知， 则， 因为， 所以， 又， 设与的夹角为， 则． 14. 已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，. （1）若，试判断的形状并证明； （2）若，边长，角，求的面积. 【答案】（1） 为等腰三角形，理由如下： ，，， ， 由正弦定理得：即，其中是外接圆半径， 为等腰三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再利用正弦定理即可证明结论； （2）由可得，再利用余弦定理可得到，解此方程即可求得的值，从而可求得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，由题意可知， ， 由余弦定理可知， 即， 或（舍） ． 15. 如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若，求证：； （3）求四面体体积的最大值 【答案】（1）证明：∵四边形，都是矩形， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∴，∵平面，∴平面； （2）证明：连接，设，∵平面平面，且， ∴平面，∴， 又，∴四边形为正方形，∴， ∴平面，又平面，∴， （3）2 【解析】 【分析】(1)要证线面平行，先证线线平行，先证四边形是平行四边形，即可. (2)要证线线垂直，先证线面垂直，先证平面即可. (3) 设,四面体的体积为,即可求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则，其中， 由（1）得平面， ∴四面体的体积为： ， 时，四面体的体积最大，其最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $