精品解析：福建省福州市八县（市，区）协作校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

福州市八县（市，区）协作校2024-2025 学年第二学期期末联考 高一 数学试卷 【完卷时间：120 分钟 ； 满分：150 分】 命题：连江县教师进修学校附属中学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算进行化简，再结合复数的几何意义可得结果. 【详解】由，可得， 则z在复平面内对应的点是，在第一象限. 故选：A. 2. 某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（ ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A. 331 B. 047 C. 447 D. 672 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机数表的读取规则，逐一选取即可. 【详解】由题知，选取的同学编号分别是442,175,572,175,455,608,331,047， 剔除重复数据，超过500的数据，符合条件的是442,175,455,331,047，第五个是047. 故选：B. 3. 在如图所示的电路中，两个开关，闭合与否相互独立，且在某一时刻，闭合的概率分别为，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相互独立事件和对立事件的概率计算公式可得结果. 【详解】此时灯亮由三个独立事件组成，即，开关同时闭合、只闭合、只闭合， 而它的对立事件是，都不闭合， 所以灯亮的概率为. 故选：A. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面之间的位置关系逐一分析判断即可得解. 【详解】若，则或与异面，故A错误； 若，，则，故B正确； 若，，则与位置关系不确定，故C错误； 若，，则或，故D错误. 故选：B 5. 已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出，再根据求出，最后利用投影向量的定义可得结果. 【详解】，， 又， ，又因为在上的投影向量为. 故选：C. 6. 是等腰直角三角形，且，它是在斜二测画法下的直观图，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图与原图形的面积关系即可求解. 【详解】是等腰直角三角形，且， ， . 故选：D. 7. 已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面则线段长度的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，上靠近点C的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 上靠近点的三等分点为，连接，，，，，，在正四棱柱中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【详解】     取的中点，上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 上靠近点的三等分点为，连接，，，，，，如图所示. 在正四棱柱中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知， 又， ∴四边形是平行四边形，∴. ∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在矩形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值.     此时， 即的最小值为. 故选：C. 8. 由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（ ）（单位：m) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出长方体建筑物的上底面与点的高度差为，利用三角函数求出，，再利用勾股定理即可求出，进而可求得. 【详解】设长方体建筑物的上底面与点的高度差为， 可得，， 在直角三角形中，，即， 解得， 所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是某企业年至年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则（ ） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第60百分位数是55 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 【答案】ABD 【解析】 【分析】将污水净化量从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，根据中位数，平均数，百分位数，方差，标准差公式，逐项判断即可. 【详解】由折线图可知某企业年至年的污水净化量从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56， 则其中位数为54，平均数为，所以A正确； 易知，所以第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，所以B正确； 有折线图知到污水净化量减少，所以C错误； 原数据方差为 掉2018年的污水净化量数据后，新数据52，53，54，55，56，56，平均数， 方差为， 所以去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的方差会变小，即标准差变小，所以D正确. 故选：ABD 10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥为阳马，底面是边长为1的正方形，其中两条侧棱长都为，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 该阳马的表面积为 D. 该阳马外接球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知可得各棱的长度，由平行关系可得异面直线夹角，根据余弦定理判断A；根据线面垂直可判断B；根据各面面积之和可得表面积判断C；求出外接球球心位置即得外接球半径判断D. 【详解】 因为四棱锥为阳马，底面是边长为1的正方形， 设，， 所以在中，， 因为在中，， 所以中，； 对于A，因为，所以（或其补角）是直线与所成的角， 由余弦定理， 所以，A正确； 对于B，连接，，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以直线与所成的角为，B错误； 对于C，该阳马的表面积， C错误； 对于D，阳马的外接球直径是以为棱的长方体的体对角线，即， ，则半径，外接球表面积，D正确. 故选：. 11. 设锐角中，内角所对的边分别为，若，，外一点，且在直线的异侧，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则A，B，C，D四点共圆 C. 四边形面积的最小值为 D. 四边形面积的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到锐角为等边三角形，利用数量积定义可判断A错误，根据四点共圆条件可判断B正确，求出四边形面积表达式并利用三角函数值域求出面积最值，可得C错误，D正确. 【详解】根据由正弦定理化简得到， ， 锐角为等边三角形. A选项：，A错误 B选项：在中， ， ， ，, 所以四边形ABCD对角互补，所以四点共圆，A正确. C、D选项：设边长为s，，, 由余弦定理得， ，， ， ， ， ∴四边形面积无最小值；四边形面积有最大值，C错误，D正确 故选：BD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由正弦定理计算可得结果. 【详解】由正弦定理得：，则. 故答案为：2. 13. 已知一个底面半径为的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，则圆锥的体积为________. 【答案】或 【解析】 【分析】分析圆锥的轴截面，由圆锥的外接球半径可得轴截面的外接圆半径，求得轴截面的顶角，进而得出圆锥的高，从而得出体积. 【详解】 设圆锥的轴截面为如图等腰三角形，是圆锥的高， 由题意，，的外接圆半径是， 设，由正弦定理，，即， 则或，则或， 于是圆锥的高或， 则圆锥的体积为或. 故答案为：或 14. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为2，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出的坐标，再根据已知条件可得点在以为圆心，1为半径的圆上，且关于原点对称，设出坐标，运用平面向量数量积运算及三角恒等变换可得，进而可求得其最大值. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系， 因为八边形是正八边形，所以，则. 因为，则. 由题意知，点在以为圆心，1为半径的圆上，且关于原点对称， 设，则， 则，， 所以 ， 其中， 当时，为最大值. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，点分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若两两垂直且相等，证明：平面. 【答案】（1） 如图，取中点，连接， 因为四边形为矩形，所以， 因为点是的中点，所以，且. 因为分别为的中点、所以，且， 所以且. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2） 因为，且，平面， 所以平面， 因为四边形为矩形，所以， 所以平面，所以. 在中，，为的中点，所以. 又因为，平面，所以平面PCD. 由（1）知，，所以平面. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明，分别为的中点，证明，得到四边形为平行四边形，即可证明； (2)证明平面，为矩形，又，为的中点，证明.，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知复数，其中. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若集合z对应的点在第三象限，求点（其中）在第一象限的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据是纯虚数可得，从而可求解； （2）根据复数对应的几何坐标得，从而得出的坐标，再结合古典概率即可求解. 【小问1详解】 由是纯虚数，则得， 解得， 故. 【小问2详解】 因为的对应的点在第三象限， 则得 解得且 ，所以的取值范围为， 因为，所以. 则 点坐标的样本空间包含的样本点有：，，， ，，，，，，， ，，，，，，共个，即， 所以记事件“点在第一象限”， 则事件包含的样本点有，，，共个，即， 所以， 故点在第一象限的概率为. 17. 在中，内角所对的边分别为满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，故，求出； （2）解法一：在，，中分别使用余弦定理，结合，得到方程，求出，再用面积公式求出答案； 解法二：根据中点得到，两边平方求出，在中使用余弦定理得，联立求出，再用面积公式求出答案. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， ∵， ， ，即， ，，， ，. 【小问2详解】 解法一： ，为中点，则， 由（1）知， 由余弦定理得得， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：， 的面积为； 解法二：为的中点，则， ， 又，所以， 由余弦定理可得，即， 解得：， 的面积为. 18. 为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了100份试卷进行调查，这100份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． （1）求，的值，并估计这100名同学面试成绩的平均数； （2）已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和17，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和26，求样本中这两组面试成绩的方差； （3）在第一、第二两组中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】（1），， （2）估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是101 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可； （2）根据方差的计算公式求解即可； （3）根据分层抽样、古典概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 解得， 由直方图知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05 平均数：. 【小问2详解】 设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为 且两组频率之比为, 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是101 【小问3详解】 根据分层抽样，和的频率比为 在和中分别选取1人和5人，分别设为和 则在这6人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有： 共15个，即 记事件“两人来自不同组”，则事件包含的样本点有共5个，即 . 答:选出的两人来自不同组的概率为. 19. 如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水， ，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点．现在固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． （1）如图2，当底面水平放置时，水面高为多少? （2）当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? （3）试分析容器围绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，假设水面高为，利用计算； （2）求得，作出图形，利用面面垂直判定定理可得平面平面，然后求得，最后可得水面到地面的距离为； （3）方法一；作图，假设，根据计算可得，并于联立，然后表示，记，构建函数，根据二次函数性质计算.方法二：作图，假设，得到，整理，联立，结合，化简得，令，构建函数，然后根据二次函数性质可得. 【小问1详解】 记水面与棱分别交于点， ，为等腰直角三角形，，分别为棱的中点， ， 当底面ABC水平放置时，设水面高为， ，解得， 当底面ABC水平放置时，水面高为. 【小问2详解】 三棱柱体积为64，三棱锥的体积为 空气部分的体积为， 当水面经过线段时，水面与棱交于点，如图： ，得 记的中点为，连接，则， ， 平面，平面 ， ，平面，平面 平面，平面平面 直线在平面内的投影为 ，为直线与水平面所成角 ， ， ，水面到地面的距离为 【小问3详解】 解法一：由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图： 记的中点分别为，在上，且，， 易知，为等腰直角三角形，设， ， 整理得，平方得① 平面，平面，平面平面， 与的交点必在上，为棱台， ，整理得② 联立①②可得， ，为平行四边形 易知为等腰梯形，为等腰梯形的高 水面面积 则 当水面刚好过点时，，解得， 此时， 由题意可知，则 记， 由二次函数性质可知，，即 ，所以，即水面面积S的取值范围为.解法二：由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图： 记的中点分别为，在上，且，， 易知，为正三角形，设， 整理得，平方得① 平面，平面，平面平面 与的交点必在上，为棱台 ，整理得② 联立①②可得， ，为平行四边形， 当水面刚好过点时，，解得 此时，，令， ， 由二次函数性质可知，，即， ，所以，即水面面积S的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州市八县（市，区）协作校2024-2025 学年第二学期期末联考 高一 数学试卷 【完卷时间：120 分钟 ； 满分：150 分】 命题：连江县教师进修学校附属中学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（ ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A. 331 B. 047 C. 447 D. 672 3. 在如图所示的电路中，两个开关，闭合与否相互独立，且在某一时刻，闭合的概率分别为，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 是等腰直角三角形，且，它是在斜二测画法下的直观图，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面则线段长度的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 8. 由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（ ）（单位：m) A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是某企业年至年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则（ ） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第60百分位数是55 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥为阳马，底面是边长为1的正方形，其中两条侧棱长都为，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 该阳马的表面积为 D. 该阳马外接球的表面积为 11. 设锐角中，内角所对的边分别为，若，，外一点，且在直线的异侧，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则A，B，C，D四点共圆 C. 四边形面积的最小值为 D. 四边形面积的最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则______. 13. 已知一个底面半径为的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，则圆锥的体积为________. 14. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为2，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为_________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，点分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若两两垂直且相等，证明：平面. 16. 已知复数，其中. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若集合z对应的点在第三象限，求点（其中）在第一象限的概率. 17. 在中，内角所对的边分别为满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积. 18. 为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了100份试卷进行调查，这100份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． （1）求，的值，并估计这100名同学面试成绩的平均数； （2）已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和17，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和26，求样本中这两组面试成绩的方差； （3）在第一、第二两组中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 19. 如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水， ，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点．现在固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． （1）如图2，当底面水平放置时，水面高为多少? （2）当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? （3）试分析容器围绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $