精品解析：江苏省南京市南京航空航天大学附属高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

南航附中2024—2025学年度第二学期期末考试 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可求解. 【详解】由得， 所以. 故选：C 2. 若关于的不等式的解集为或，则（ ） A. 70 B. 90 C. 180 D. 495 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求出，即可求解. 【详解】关于的不等式的解集为或， 则有，得，故． 故选：A． 3. 下表是某企业在2023年1月—5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格（单位：千元）与月份代码的统计数据．由表中数据计算得到经验回归方程为，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为（ ） 月份代码 1 2 3 4 5 碳酸锂价格 0.5 0.7 1 1.2 1.6 A. 2.41千元 B. 2.38千元 C. 2.35千元 D. 2.32千元 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归方程必过样本中心点求出回归方程，利用回归方程预测8月该品牌碳酸锂的价格. 【详解】由已知得，, ∵回归方程必过样本中心点为， ∴，解得，∴， ∴则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为千元， 故选：C. 4. 已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】随机变量服从正态分布， 则该正态分布曲线的对称轴为， 即， 故，解得或， 则“”是“”的充分且不必要条件. 故选：. 5. 函数的大致图象为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合的符号，进行排除即可． 【详解】解：，则函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，，排除B， 故选D． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号是否对应，利用排除法是解决本题的关键． 6. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布求概率的公式可得①正确；根据对立事件概率的求法可得②正确；由条件概率公式计算可知③正确；根据方差和期望值性质可得④错误. 【详解】对于①，由随机变量服从二项分布可知，即①正确； 对于②，易知20个零件中有17个合格品，从20个零件中随机抽取8个零件，都是合格品的概率为， “至少有一件不合格”与“都是合格品”为对立事件， 所以至少有一件不合格的概率为，即②正确； 对于③，易知4个人去4个景点共有种可能，则“小赵独自去一个景点”的概率； 且“4个人去的景点互不相同”共有种可能，则可得； 所以，可得③正确； 对于④，由期望值性质可知；，可得④错误. 即①②③正确. 故选：D 7. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得8为函数的周期，结合利用函数的周期性即可求值. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，所以，又， 所以，所以，所以， 所以8为函数的周期， 又得，所以， 所以. 故选：A 8. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本（均值不等式）可判断ABD的真假；设函数（），分析其单调性，可判断C的真假. 【详解】因为，且，所以（当且仅当时取“”）. 所以，故A正确； ，故B正确； 设（），则在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以， 所以成立，故C正确； 又，又，所以，即，故D错误. 故选：ABC 10. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（ ） A. ，是对立事件 B. ，是独立事件 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义即可判断A；根据独立事件的定义即可判断B，利用条件概率即可判断CD. 【详解】A：由题意知，每次只摸出一个球，，， 则，所以对立，故A正确； B：，， 则，所以不相互独立，故B错误； C：，故C错误； D：，， 所以，故D正确. 故选：AD 11. 已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 若直线与平面所成角为，则点的轨迹是椭圆 C. 存在点，使得 D. 正方体的外接球被平面所截得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 所以，，， 所以，，所以，， 即，，又，平面， 所以平面，故A正确； 设，则，又平面的法向量可以为， 依题意，所以， 所以直线与平面所成角为，则点的轨迹是圆，故B错误； 因为， ，所以当时满足，故C正确； 正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， 则外接球的半径，球心为的中点，设为，则， 由平面，所以平面的一个法向量为， 又， 所以点到平面的距离， 设平面被外接球所截的截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. “，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值________． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】讨论当时，即时，是否满足条件；当时，由不等式的解集为，可得，解出即可得到实数a的取值范围，然后从a的取值范围取一个满足条件的即可. 【详解】若，则， 当时，不等式可化为， 解得，此时不等式的解集为，不合题意， 当时，不等式可化为， 此时不等式的解集为，符合题意， 当时，由不等式的解集为， 可得，即， 即，解得或， 综上可知，实数a的取值范围是， 所以一个满足条件的实数a的值可以为：5. 故答案为：5. 13. 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设表示从第箱取到的零件是次品，表示从第一箱中取零件，表示从第二箱中取零件，结合全概率公式，即可求解. 【详解】设（，2）表示从第箱取到的零件是次品，表示从第一箱中取零件，表示从第二箱中取零件， 由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是： . 故答案为：. 14. 将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】取定中的一个值，考查另外两次抛掷骰子的样本点数，利用分类加法计数原理和古典概型概率公式计算即得. 【详解】考虑取定的值，分类统计事件“”所含的样本点数， 将对应的值作为一个数组，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 第一类：时，满足“”的样本点有个； 第二类：时，满足“”的样本点有个； 第三类：时，满足“”的样本点有个； 第四类：时，满足“”的样本点有个； 第五类：时，满足“”的样本点有个； 第六类：时，满足“”的样本点有1个. 由分类加法计数原理，满足“”的样本点共有：个， 而一颗骰子抛掷一次有6种结果，抛掷三次有个样本点， 因结果有限，且每个样本点发生的可能性相等，故是古典概型. 则“”的概率为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 （1）完成列联表.根据小概率值的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？ （2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数的分布列及期望.（对应值见下表.，） 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表如下表 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 能 （2）的分布列为 X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）由已知数据完成列联表，计算，与临界值比较得结论； （2）根据题意，结合条件概率以及全概率公式求出随机抽取一人体能测试合格的概率，利用二项分布求出对应概率以及分布列及期望. 【小问1详解】 列联表如下表 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 零假设为体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关. . 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01. 【小问2详解】 方法一：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，. 所以； 的可能取值为：0，1，2，3 ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 方法二：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，. 所以. 因为. 所以，. 所以. 16. 已知函数且. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，当时，求的值域. 【答案】（1） 为奇函数，理由如下： 由得：，的定义域为； ，为定义在上的奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）由对数真数大于零可求得定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得到结论； （2）根据可求得，从而化简得到，可利用不等式的性质或者函数单调性求得的范围，进而确定的值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ； 方法一：当时，，，， ，即的值域为； 方法二：令， 在上单调递减，，， ，，即的值域为. 17. 2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． （1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； （2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 【答案】（1） （2）分布列如下： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）先计算出左右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出答案； （2）计算出左右手所取两球颜色相同的概率，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 左手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 故两只手中所取的球颜色不同的概率为； 【小问2详解】 的可能取值为0,1,2， 左手所取两球颜色相同的概率为， 右手所取两球颜色相同的概率为， 故， ， ， 分布列如下： 0 1 2 期望为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 【答案】（1） 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面. 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得. （2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函数值. （3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求它的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图： 取中点，连接. 因为平面，平面，所以. 在四边形中，，且， 所以四边形为矩形.所以平面. 又在和中，，，. 所以（）. 所以，. 故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 当为中点时，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以. 所以二面角的正弦值为：. 【小问3详解】 设，（） ，则，，. 设平面的法向量为，则 ，取. 则到平面的距离为：， 到平面的距离为：， 所以 设，则 那么（当且仅当即时取“”） 所以. 【点睛】结论点睛：点为平面外一点，点为平面内一点，平面的法向量为，则点到平面的距离为：. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． （1）求椭圆E的方程； （2）设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 【答案】（1） （2）①点Q在定直线上；②的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率公式、焦半径范围和求出、即可得解. （2）①先由（1）得，，，设直线、、， 则可得，，结合点、在直线上联立直线与直线得点横坐标是一个定值从而得解. ②由①以及，可分别求出和，结合（1）中韦达定理将其直接带入计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得，， 所以椭圆E的方程为. 【小问2详解】 ①由（1），，，故可设直线， 联立， 则，设， 则，，， 由题意可知直线与直线斜率存在， 则，， 联立 ， 所以，故点Q在定直线上. ②由上以及，得： ，， 故，， 即，， 所以， 因为，故，所以最大值为，即的最大值为. 【点睛】思路点睛：证明点Q在定直线上只需本着求点即求直线与直线的交点的方向去即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南航附中2024—2025学年度第二学期期末考试 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若关于的不等式的解集为或，则（ ） A. 70 B. 90 C. 180 D. 495 3. 下表是某企业在2023年1月—5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格（单位：千元）与月份代码的统计数据．由表中数据计算得到经验回归方程为，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为（ ） 月份代码 1 2 3 4 5 碳酸锂价格 0.5 0.7 1 1.2 1.6 A. 2.41千元 B. 2.38千元 C. 2.35千元 D. 2.32千元 4. 已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 函数的大致图象为　　 A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③ 7. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（ ） A. ，是对立事件 B. ，是独立事件 C. D. 11. 已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 若直线与平面所成角为，则点的轨迹是椭圆 C. 存在点，使得 D. 正方体的外接球被平面所截得的截面面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. “，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值________． 13. 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是___________. 14. 将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 （1）完成列联表.根据小概率值的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？ （2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数的分布列及期望.（对应值见下表.，） 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知函数且. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，当时，求的值域. 17. 2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． （1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； （2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． （1）求椭圆E的方程； （2）设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $