精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题（B卷）

丰城九中期末考试初二年级数学B卷 出题人： 一、单选题（共6题，每小题3分，共18分） 1. 已知2x﹣5y＝0，则x：y的值为（　　） A. 2：5 B. 5：2 C. 3：2 D. 2：3 2. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5 m，则y与x的函数关系式为(　　) A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝ 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数（b为常数），当时，y随x的增大而增大，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 数学中，把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分割比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD是黄金矩形，若我们把一个正方形AEFD嵌入黄金矩形ABCD中（正方形的边长等于黄金矩形的宽），这样就创造了一个新的黄金矩形BEFC．如果把这个过程重复数次，接着我们要在每个正方形内画一条圆弧，让每个圆弧的半径等于它所在正方形的边长就会得到下面这张图，若，则图中弧HF的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 7. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为______． 8. 如果，那么的值等于_______． 9. 如图，O是的重心，相交于点O，那么与面积的比是___________． 10. 如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为______． 11. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感.已知某女士的身高为，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为______．（精确到） 12. 反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则___________． 三、解答题（共5题，每小题6分，共30分） 13. 已知函数． （1）若y是关于x的正比例函数，求m的值； （2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式． 14. ，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： （1）边上的中线的长； （2）的周长； （3）的面积． 15. 如图，在中，为边上一点，为边上一点，且． （1）求的值． （2）求与四边形的面积比． 16. 如图，内接于于是的直径．若, 求的长． 17. 如图，已知D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，若∠A＝35°，∠C＝85°，∠ADE＝60°． （1）请说明：△ADE∽△ABC； （2）若AD＝4，AE＝3，BE＝5，求AC的长． 四、解答题（共3题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F． （1）求证：； （2）当时，求的长． 19. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 20. 如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）． （1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式； （2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标． 五、解答题（共2题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点． （1）填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________． （2）若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值． （3）直接写出满足 的的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）． （1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2． （3）在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标． 六、解答题（共1题，12分） 23. 如图1，抛物线经过，两点，与y轴相交于点C，连接，点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点G，交x轴于点E． （1）求抛物线的表达式． （2）过点C作直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与相似？并求出此时点P的坐标． （3）如图2，连接，请问的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中期末考试初二年级数学B卷 出题人： 一、单选题（共6题，每小题3分，共18分） 1. 已知2x﹣5y＝0，则x：y的值为（　　） A. 2：5 B. 5：2 C. 3：2 D. 2：3 【答案】B 【解析】 【分析】移项后，利用比例的性质可得出结果. 【详解】∵2x﹣5y＝0 ∴2x=5y ∴x:y=5:2 故选B. 【点睛】本题考查比例的基本性质，熟记比例的性质将等式进行变形是关键. 2. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5 m，则y与x的函数关系式为(　　) A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝ 【答案】A 【解析】 【分析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y=，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值． 【详解】由题意，设y＝， 由于点(0.5,200)适合这个函数解析式，则k＝0.5×200＝100， ∴y＝. 故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y＝. 故选A. 【点睛】本题考查根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若两个图形和以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可． 【详解】解：， ， ∴相似比为 ∵， 点的坐标为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据电流与电阻之间函数关系可知图象为双曲线，并且在第一象限，即可得到答案． 【详解】∵反比例函数的图象是双曲线，且，， ∴图象是第一象限双曲线的一支． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，并结合实际意义去判断图象，数形结合思想是关键． 5. 已知反比例函数（b为常数），当时，y随x的增大而增大，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性可知，根据一次函数图象与系数的关系可得一次函数的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数（b为常数），当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与其系数之间的关系，反比例函数与其系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大； 对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键． 6. 数学中，把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分割比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD是黄金矩形，若我们把一个正方形AEFD嵌入黄金矩形ABCD中（正方形的边长等于黄金矩形的宽），这样就创造了一个新的黄金矩形BEFC．如果把这个过程重复数次，接着我们要在每个正方形内画一条圆弧，让每个圆弧的半径等于它所在正方形的边长就会得到下面这张图，若，则图中弧HF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金矩形的定义，求出BE长，再用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵矩形ABCD是黄金矩形，， ∴，， ∵矩形BEFC是黄金矩形， ∴，， 弧HF的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割和弧计算，解题关键是利用黄金分割求出半径，再熟练运用弧长公式进行计算． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 7. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】把点代入反比例函数中，可求解 从而可得答案． 【详解】解： 点在反比例函数的图象上， 故答案为： 【点睛】本题考查的是代数式的值，反比例函数的点的坐标特点，掌握反比例函数图像上点的坐标特点是解题的关键． 8. 如果，那么的值等于_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质．根据比例的性质的，设,其中，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 设,其中， ∴， 故答案为：． 9. 如图，O是的重心，相交于点O，那么与面积的比是___________． 【答案】##1:4 【解析】 【分析】根据三角形的重心的性质，得出，，再根据相似三角形的判定，得出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：∵O是的重心， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形重心的性质、三角形相似的性质与判定，熟知三角形的重心将中线分为1：2两部分是解本题的关键． 10. 如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．过点C作轴于点D，根据反比例函数的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D， ∵函数与函数的图象交于点A，C， ∴点A，C两点关于坐标原点对称， ∵轴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为： 11. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感.已知某女士的身高为，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金比例的问题，熟练掌握黄金分割点是解题的关键，根据某女士的身高、下半身长与身高的比例即可求出她下半身的长度，再根据列方程求解，注意要检验结果是否符合题意． 【详解】解：由题可得： 某女士的下半身长为， ∴， 要接近黄金比例，设鞋高为， ∴， 解之得：， 经检验是方程的解， 故答案为：． 12. 反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．此题考查反比例函数的增减性：当>时，在每个象限内随的增大而减小，当时，在每个象限内随的增大而增大，以及正确解一元一次方程． 【详解】解：当>时，在每个象限内随的增大而减小， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； ∴或， 故答案为：或． 三、解答题（共5题，每小题6分，共30分） 13. 已知函数． （1）若y是关于x的正比例函数，求m的值； （2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数的定义，可得且，进而即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵是关于x的正比例函数， ∴且，解得． 【小问2详解】 ∵是关于x的反比例函数， ∴且，解得． 此时y与x的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查正比例函数与反比例函数的定义，掌握正比例函数，反比例函数是关键． 14. ，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： （1）边上的中线的长； （2）的周长； （3）的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． （1）根据相似三角形中对应中线比等于相似比求解即可； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，边上的中线， ∴， ∴， ∴边上的中线的长为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的周长为， ∴， 即的周长为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵的面积是， ∴， 即的面积为． 15. 如图，在中，为边上一点，为边上一点，且． （1）求的值． （2）求与四边形的面积比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及相似三角形的判定与性质，先由题意，根据相似三角形的判定得到，再利用相似三角形的性质即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由题中条件，利用两个三角形相似的判定与性质即可得到答案； （2）由相似三角形的性质得到，从而即可得到答案． 【小问1详解】 解：且， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）中可得， ． 16. 如图，内接于于是的直径．若, 求的长． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理，得，由为直径，，得，从而证明，利用相似比求． 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的运用．关键是由圆周角定理推出相似三角形． 17. 如图，已知D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，若∠A＝35°，∠C＝85°，∠ADE＝60°． （1）请说明：△ADE∽△ABC； （2）若AD＝4，AE＝3，BE＝5，求AC的长． 【答案】（1）解：∵∠A＝35°，∠C＝85° ∴∠B＝60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝∠B， 又∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC； （2）6 【解析】 【分析】（1）根据∠A＝35°，∠C＝85°利用三角形内角和定理求得∠B＝60°，再根据∠A是公共角即可求证△ADE∽△ABC； （2）根据△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例，将已知条件代入即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）由相似知：， ∵AD＝4，AE＝3，BE＝5， ∴AB＝8 ∴， ∴AC＝6． 【点睛】此题主要考查三角形内角和定理和相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，比较简单，要求学生应熟练掌握． 四、解答题（共3题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：是矩形 （2）1． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，利用余角的性质得到，即可证得； （2）根据矩形的性质得到，求出，利用相似三角形的性质得到，代入数值求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 由（1）可知 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质；熟练掌握各定理并进行推理论证是解题的关键． 19. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）点，直线l平移的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； 【小问2详解】 解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 20. 如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）． （1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式； （2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标． 【答案】（1）y1＝（x＞0），y2＝﹣2x+12；（2）点P的坐标为（0，）． 【解析】 【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（2，8），利用待定系数法求函数的解析式； （2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝4， ∴AD＝2， ∵四边形OABC是矩形，BC＝8， ∴D（2，8）， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴k＝2×8＝16， ∴反比例函数的解析式为y1＝（x＞0）， 当x＝4时，y＝4， ∴E（4，4）， 把D（2，8）和E（4，4）代入y2＝mx+n（m≠0）得，， ∴， ∴直线DE的解析式为y2＝﹣2x+12； （2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD， 此时，△PDE的周长最小， ∵点D的坐标为（2，8）， ∴点D′的坐标为（﹣2，8）， 设直线D′E的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得：， ∴直线D′E的解析式为， 令x＝0，得， ∴点P的坐标为（0，）． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键． 五、解答题（共2题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点． （1）填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________． （2）若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值． （3）直接写出满足 的的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式.也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力． （1）根据题意，把代入得；由也在该反比例函数图象上，得，再把分别代入，利用待定系数法可得结论； （2）如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，所以，解得.将代入解析式可得，； （3）直线与关于原点对称，所以直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，结合图象可知满足不等式的x的取值范围 【小问1详解】 解：若，则， 根据题意，把代入得． ∵也在该反比例函数图象上， ∴， 解得． 再把，分别代入， 得∶ ， 解得∶ ． ∴． 【小问2详解】 解：如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上， ∴， 解得． ∴，解得 ． 【小问3详解】 解：∵， 移项可得， 如图，直线与关于原点对称， ∴直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点， 结合图象可知满足不等式的的取值范围是或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）． （1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2． （3）在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求； （3）（0，4），（0，﹣4）． 【解析】 【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）直接利用关于位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案； （3）直接利用三角形面积求法得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图所示：当△OB2P的面积为6时，点P的坐标为：（0，4）， （0，﹣4）． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 六、解答题（共1题，12分） 23. 如图1，抛物线经过，两点，与y轴相交于点C，连接，点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点G，交x轴于点E． （1）求抛物线的表达式． （2）过点C作直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与相似？并求出此时点P的坐标． （3）如图2，连接，请问的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能，，的面积的最大值为8 【解析】 【分析】（1）将点，的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到为等腰直角三角形，可得此当时，以P，C，F为顶点的三角形与相似． 设设点P的坐标为，则，可得， 可列出列出关于m的方程，从而可求得m的值，于是可求得点P的坐标； （3）连接．设点P的坐标为，则，，．然后依据列出的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积． 【小问1详解】 解：将点，的坐标代入函数表达式，得： ， 解得，， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴当时，以P，C，F为顶点的三角形与相似． 设点P的坐标为，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：S能取得最大值 如图2所示，连接． 设点P的坐标为，则，， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴当时，的面积S有最大值． ∴此时，的面积的最大值为8． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，（3）问中用含a的式子表示相关线段的长度，然后列出的面积与a的函数关系式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $