江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年高二数学暑期培优试卷5

镇江市扬中市第二高级中学2025-2026高二数学暑期培优试卷5 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 7 2．在下面的四组向量中，能作为一组基底的是 （ ） A. B. C. D. 3．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则 （ ） A. B. C. D. 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为 （ ） A. 2 B. C. 6 D. 5．已知向量 （ ） A． B． C． D． 6．已知是边上的点，且为的外心，则的值为（ ） A. B. 10 C. D. 9 7．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为 （ ） A B. C. D. 8．已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．已知向量，满足，，，则下列说法错误的是 （ ） A 若，则 B. 若，则 C. 的取值范围为 D. 若与夹角为钝角，则实数的取值范围为 10．已知向量，则下列结论正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D. 的最大值为3 11. 记是的外接圆，且，，，则 （ ） A. B. C. 的面积为 D. 圆O的周长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ． 13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______. 14．如图，在和中，是的中点，，， 若，则与的夹角的余弦值等于______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知四边形是平行四边形，且，，. （1）求点的坐标； （2）求平行四边形的面积. 16．已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17．如图所示，在中，，，，，． （1）求的值； （2）线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．如图，在中，，点为外接圆上的一个动点（点在直线两侧）． （1）若，求的值； （2）若，求四边形周长的最大值； （3）若，求． 19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇江市扬中市第二高级中学2025-2026高二数学暑期培优试卷5 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则 （ D ） A. 0 B. 1 C. D. 7 2．在下面的四组向量中，能作为一组基底的是 （ A ） A. B. C. D. 3．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则 （ A ） A. B. C. D. 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为 （ D ） A. 2 B. C. 6 D. 5．已知向量 （ A ） A． B． C． D． 6．已知是边上的点，且为的外心，则的值为（ A ） A. B. 10 C. D. 9 【详解】因为，所以， 因此， 取、中点分别为、，则，， 因此，， 所以. 故选：A 7．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为 （ A ） A B. C. D. 【详解】由得，即，即对任意的恒成立，所以，解得，又因为，所以，故选：A. 8．已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是 （ A ） A. B. C. D. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为菱形得边长为1，，所以，，， 设，则，，， 所以 ， ，，当且仅当时，取等号，所以的取值范围是.故选：A. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．已知向量，满足，，，则下列说法错误的是 （ABD ） A 若，则 B. 若，则 C. 的取值范围为 D. 若与夹角为钝角，则实数的取值范围为 10．已知向量，则下列结论正确的是 （ ACD ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D. 的最大值为3 【详解】对于A，由，得，因此，故A正确； 对于B，若，则，所以，所以，故B错误； 对于C，因，，由在上的投影向量为，解得， 又，，故C正确； 对于D，因为， 故， 当，即时，也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确.故选：ACD. 11. 记是的外接圆，且，，，则 （ BCD ） A. B. C. 的面积为 D. 圆O的周长为 【详解】对于A，因为，所以 即，即，故A错误； 对于B，因为是的外心，所以在的中垂线上， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，解得，故，， 所以的面积为，故C正确； 对于D，由余弦定理可得，解得，由正弦定理，， 所以圆的半径为，其周长为，故D正确.故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 2 ． 13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______. 【详解】由题可知， 所以 . 故答案： 14．如图，在和中，是的中点，，， 若，则与的夹角的余弦值等于______. 【详解】由图知： ，， ∴ ， 又，且，， ∴， ∴，而，即， 又，∴.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何图形，结合向量加减法的几何应用及数量积的运算律，得到，进而求向量夹角余弦值. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知四边形是平行四边形，且，，. （1）求点的坐标； （2）求平行四边形的面积. 15．解：（1）设点D的坐标为． 由题意得，． 因为，所以，解得， 所以点D的坐标为． （2）由，， 则，，， 则， 所以， 则平行四边形的面积为 . 16．已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．解：（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 17．如图所示，在中，，，，，． （1）求的值； （2）线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． 17．解：（1）由题意可知，， ， 所以， 由，，，得， （2）存在，设，则， 可得， ， 当时，， 化简得， 得，解得，此时. 18．如图，在中，，点为外接圆上的一个动点（点在直线两侧）． （1）若，求的值； （2）若，求四边形周长的最大值； （3）若，求． 18．解：（1）根据向量数量积公式可得： . （2）因为， 所以， 所以，所以 根据余弦定理， 所以. 因为四点共圆，，所以. 设，在中，根据余弦定理， 即，当且仅当时等号成立. 所以解得. 所以四边形的周长为. （3）由得， 所以且， 即，， 所以，得到四边形为等腰梯形，. 设，在中，， 在中，， 所以. 所以. 19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 19．解：（1）由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． （2）当时，，，， 所以， ， ， 所以． （3）， ， ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$