精品解析：2025年陕西省普通高中学业水平合格性考试数学试卷

2025年陕西省普通高中学业水平合格性考试 数学 注意事项： 1．本试卷分第一部分和第二部分.第一部分为选择题，第二部分为非选择题. 2．考生领到试卷后，必须按规定在试卷上填写姓名、考籍号、座位号. 3． 所有答案必须在答题卡上指定区域内作答.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 （选择题 共48分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（ ） A. 是奇函数且为递增函数 B. 的值域为且为周期函数 C. 若，则的最小值为 D. ，满足的实数的取值范围是 二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平行四边形中，对角线，相交于点，则（ ） A. B. 与共线的单位向量为 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是菱形 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12. 如图，已知圆锥，，为圆的直径，，分别为线段，的中点，过作平行于底面的平面交圆锥的侧面于圆.（ ） A. 圆锥的轴截面面积为 B. 沿着该圆锥表面从到的最短距离为 C. 圆台的体积为 D. 圆台的外接球表面积为 第二部分 （非选择题 共52分） 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.） 13. 函数的零点是_________(写出满足条件的一个零点即可). 14. 已知锐角满足，则_________. 15. 一个袋中装有大小和质地相同的个小球，标号分别为，从袋中不放回的依次摸出两个小球的标号分别记为. 设事件“为偶数”，事件“”，则_________. 16. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过_________可以达到最高点（精确到1s）. 四、解答题（本题共3小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． （1）若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； （2）求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 18. 如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，． （1）若，解不等式； （2）函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省普通高中学业水平合格性考试 数学 注意事项： 1．本试卷分第一部分和第二部分.第一部分为选择题，第二部分为非选择题. 2．考生领到试卷后，必须按规定在试卷上填写姓名、考籍号、座位号. 3． 所有答案必须在答题卡上指定区域内作答.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 （选择题 共48分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】设集合，，则. 故选：B. 2. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平均数的定义计算即可. 【详解】由题意数据的平均数为. 故选：A. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件即可列方程求解. 【详解】已知平面向量，，若，则，解得. 故选：C. 4. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 故选：B 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理、三角形内角和定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，，即，解得， 因为，所以. 故选：D. 6. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，由答案不完备即可判断错误；对于D，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理即可判断正确. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，则或相交或，故C错误； 对于D， 如图，，点是平面内一点， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 因为，，且， 所以，，又， 所以，又， 所以，故正确. 故选：D. 7. 命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据原命题的否定命题为真命题可将问题转化为二次函数恒成立为题，利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即对恒成立， 因为，所以. 故选：A 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（ ） A. 是奇函数且为递增函数 B. 的值域为且为周期函数 C. 若，则的最小值为 D. ，满足的实数的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】通过举例可判断A；取，求出值域可判断；依据，可得，利用基本不等式可判断C；使用等价转换得，然后利用基本不等式以及题干定义可知D. 【详解】对A，，所以函数不是增函数，故错误； 对B，当，，且，故错误； 对C，由，所以，， 由，所以，则， 当且仅当时，取等号，故正确； 对D，，满足恒成立，等价于，恒成立, 由，当且仅当，即处取等号， 所以，所以，故错误. 故选：C 二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由模的计算公式判断A，由共轭复数的概念判断B，由复数乘法、减法判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB. 10. 在平行四边形中，对角线，相交于点，则（ ） A. B. 与共线的单位向量为 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是菱形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量加法的平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分即可判断；对于B，与共线的单位向量可能同向，可能反向，从而可判断；对于C，两边平方之后化简，再结合矩形的特征即可判断；对于D，根据数量积的运算展开，再结合菱形的特征即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量为和，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为矩形，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为菱形，故D正确. 故选：ACD. 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取特值可判断A；利用函数单调性判断BC；作差法判断D. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题； 对于B，因为函数在上单调递增，若，则，故B是真命题； 对于C，若，因为函数在上单调递增， 所以，故C是真命题； 对于D，若，则， 所以，故D是真命题. 故选：BCD. 12. 如图，已知圆锥，，为圆的直径，，分别为线段，的中点，过作平行于底面的平面交圆锥的侧面于圆.（ ） A. 圆锥的轴截面面积为 B. 沿着该圆锥表面从到的最短距离为 C. 圆台的体积为 D. 圆台的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】圆锥的轴截面为等腰，求之判断A；由已知得圆锥的侧面展开图的圆心角，由展开图求线段判断B；直接出圆台的体积判断C；设圆台的外接球球心为，且在上，半径为，根据可得的值，从而可解. 【详解】圆锥的轴截面为等腰， ，A正确； 由已知得圆锥的侧面展开图的圆心角， 如图为圆锥侧面展开图，接，    可得，，，则，故B正确. 圆台的体积为，C错误； 设圆台的外接球球心为，且在上，半径为， 设，则， 则，解得， 所以， 所以圆台的外接球表面积为，D正确. 故选：ABD 第二部分 （非选择题 共52分） 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.） 13. 函数的零点是_________(写出满足条件的一个零点即可). 【答案】（或填，答案不唯一） 【解析】 【分析】求出函数的零点，写出一个即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得. 故答案为：（或填，答案不唯一） 14. 已知锐角满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先由同角三角函数的基本关系得出；再根据二倍角的正切公式得出；最后根据两角和的正切公式可求解. 【详解】由锐角满足可得：，， 则， 所以. 故答案为： 15. 一个袋中装有大小和质地相同的个小球，标号分别为，从袋中不放回的依次摸出两个小球的标号分别记为. 设事件“为偶数”，事件“”，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由列举法解决古典概型概率问题即可. 【详解】记摸出两个小球的标号对应的有序数组为， 样本空间， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 16. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过_________可以达到最高点（精确到1s）. 【答案】 【解析】 【分析】根据实际含义分别求的值，列方程，解简单三角方程得结果. 【详解】振幅即为半径，即； 因为逆时针方向每分转1.5圈，所以； ； ， 所以，将代入， 可得， 得， 当时，. 故答案为： 四、解答题（本题共3小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． （1）若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； （2）求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 【答案】（1）元 （2） 【解析】 【分析】（1）由百分位数的定义即可求解； （2）由互斥加法、独立乘法公式即可求解. 【小问1详解】 将已知数据由小到大排序，可得，，，，，． 由，得数据，，，，，的第75百分位数为， 所以，这六种不同类型电影票价的第75百分位数为元． 【小问2详解】 设事件“甲观看科幻类电影”，事件“乙观看科幻类电影”， 事件“丙观看科幻类电影”，则事件，，相互独立， 且，． 设事件“恰有两人观看科幻类电影”，则， 且事件，，两两互斥． 所以， ． 所以，恰有两人观看科幻类电影的概率为． 18. 如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：，， ，是直角三角形，        又为的外心，为的中点. 连接，又为的中点，所以中， 又平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由等体积法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，又由已知平面，所以，， 因为，平面，平面， 平面，. 不妨设，， ，，，. 又，为的中点， ， 是边长为的等边三角形，. 设点到平面的距离为， ，，即， ，. 设直线与平面所成的角为，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知函数，． （1）若，解不等式； （2）函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据对数型函数的单调性解不等式即可； （2）（i）由题意转化为方程无解，分离参数后，根据指数、对数函数的单调性求值域及可得参数取值范围（ii）分离参数后，由对数函数的性质及基本不等式求出的最大值为，再由推出函数的周期即可得，据此结合单调性即可比较大小. 【小问1详解】 当时，，由， 得，所以， 解得， 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 （i）的图象过点，，解得， 所以． 又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解． 令，，则， ，，则，， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为． （ii）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为． 由已知，得，所以，即． 所以． 又在上单调递增，， 所以，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $