精品解析：山东省青岛市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期期末考试 高二数学试题 2025.07 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的概念即可求解. 【详解】已知集合，，则. 故选：C. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得， 即函数的定义域为. 故选：D. 3. 二项式展开式的第3项的系数为（ ） A. 21 B. 35 C. 42 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】二项式展开式的第3项的系数为. 故选：A. 4. 为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 男 30 总计 40 90 则的值最接近（附：，）（ ） A. 18 B. 11 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】完善列联表，计算得解. 【详解】由题意可得列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 20 50 男 10 30 40 总计 40 50 90 所以， 所以的值最接近11， 故选：B 5. 设，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用指数函数､幂函数的单调性，得出结论． 【详解】解：∵， 函数是增函数，，∴，∴，且 又，即， 综上可得，， 故选：C. 6. 已知随机变量，随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式及期望的性质求解. 【详解】因为，随机变量， 所以， 所以， 故选：A 7. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值. 【详解】由题意得：， 所以或，即或， 因为，所以， 即， 取等号条件为，此时， 故选: D 8. 已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知数据求原数据的样本中心，再确定新数据的样本中心，进而得出新的回归直线方程，再结合残差的定义计算即可. 【详解】由题意可知，旧数据，则， 增加数据后，，， 将点代入中得， ，即，则， 当时，，故残差为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性及方差的性质逐项判断即可得解. 【详解】由，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B正确； ，故C错误； 由方差性质，，故D正确. 故选：ABD 10. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则（ ） A. 他第2天去餐厅的概率为 B. 他连续两天都去餐厅的概率为 C. 他连续两天都不去餐厅的概率为 D. 若他第2天去餐厅，则他第1天去餐厅的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件概率、全概率公式以及概率的加法公式，由题意设出事件，可得答案. 【详解】设事件{第一天到餐厅用餐}，则其对立事件{第一天到餐厅用餐}， 设事件{第二天到餐厅用餐}，则其对立事件{第二天到餐厅用餐}， 由题意可得，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数的性质，代入，即可得. 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于的不等式的解集为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解法以及韦达定理即可求出. 【详解】由题意可知，是一元二次方程的两根，且， 则由韦达定理可得，，得. 故答案为： 13. 若函数则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接计算即可. 【详解】， 故答案为： 14. 函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得. 【详解】由函数， 因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 则， 所以可得函数关于点成中心对称图形， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形， 即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极值点但不是零点，求的单调区间. 【答案】（1）切线方程：. （2）单调递增区间：，单调递减区间：. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定，求出和导数，根据求出切线斜率，从而得到切线方程; （2）求函数的导数，结合是的极值点但不是零点判断出值，再根据函数单调递增，函数单调递减，解不等式求出相应单调区间. 【小问1详解】 当时，，则. 求导：. 切线斜率. 则切线过点，斜率为1，方程为：. 【小问2详解】 已知，导数为： . 已知是极值点，则： 或. 又不是零点： 若，则，矛盾，舍去; 若，则，符合条件. 所以. 当，即时，函数递增： 解得：； 当，即时，函数递减： 解得： 故函数的单调递增区间：，单调递减区间：. 16. 某企业调研后，得到研发投入（万元）与产品收益（万元）的数据如下： 1 2 3 4 5 9 12 17 21 26 （1）若与线性相关，请根据样本相关系数推断它们的相关程度；（若，则相关程度一般；若，则相关程度很强） （2）求出关于的经验回归方程，并预测当研发投入6万元时的产品收益. 参考数据： 参考公式：，，. 【答案】（1）变量与的相关程度很强 （2），约为万元 【解析】 【分析】（1）根据所给数据，求出相关系数，即可判断； （2）由公式求出，得出线性回归方程，再由方程预测收益即可. 【小问1详解】 由表格数据可得，， 所以， ， 所以， 可知变量与的相关程度很强. 【小问2详解】 由（1）可知，， ， 所以， 则， 可得关于的经验回归方程为， 令，可得， 即预测研发投入6万元时，产品收益约为万元. 17. 已知函数，. （1）求的零点； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】（1）确定函数的单调性，再求出其零点. （2）利用导数求出的极小值并建立不等式，再利用（1）的信息求出的取值范围即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 函数在上单调递增，而， 所以的零点是1. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 依题意，，即， 由（1）知，在上单调递增，且， 因此不等式的解集为， 所以a的取值范围为. 18. 系统中每个元件正常工作的概率均为，各个元件正常工作的事件相互独立.如果系统中多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.记表示“系统中共有个元件时，系统正常工作的概率”. （1）若，求； （2）若，系统中共有3个元件，记系统中正常工作的元件数与非正常工作的元件数之差为，求的均值； （3）若，，证明：. 【答案】（1） （2）1 （3）证明：令， 则， 所以， 所以， 所以. 注解： . 【解析】 【分析】（1）当时，有3个或4个元件正常工作时系统正常工作，利用独立重复试验及互斥事件概率求和公式得解； （2）记正常工作的元件个数为，根据二项分布的期望公式及期望的性质求解； （3）由题意可得，将表达式中部分式子可转化为， 移项后由作差比较即判断二者大小，命题得证. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 记正常工作的元件个数为，则， 所以， 又因为， 所以. 【小问3详解】 略 19. 已知函数的图象在定义域上连续不断，，，在区间上单调递减，是的导数. （1）证明：是周期函数； （2）给定，设，证明：存在，使得； （3）若，，，设函数. （i）求的最大值； （ii）若存在，使得对恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）证明：由题知：， 所以， 所以， 所以是以4为周期的周期函数. （2）证明：，所以是偶函数， ①取代入①得，所以是周期为的周期函数，取代入①得，所以的图象关于直线轴对称， 所以，在[0,1]单调递减，在[1,2]单调递增，在 [0,2]的最小值为， 根据周期性，不妨设， 若，即，则，所以取，有， ②若，即，则 （i）若时，则，所以在单调递减，所以取，有, （ii）若时，则在上的最小值为，所以取，有, （iii）若时，直线关于直线的对称直线为，则，在上单调递增，且，所以取，有， 综上，对，存在，使得. （3）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）变形得，则； （2）通过其周期性、对称性和单调性得为的最小值，再取即可得； （3）（i）求导得，令，再合理赋值即可得到其最值； （ii）分和讨论，当时，转而证明总存在，使得成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）因为， 且， 所以是周期为4的偶函数，不妨设， 因为， 令，则，又因为， 所以或； 即或， 解得：或或或 因为，得， 又因为， ， ， ， 所以的最大值为. (ii)设， 一方面，若存在，使得对任意恒成立， 所以，对任意恒成立， 所以， 令， 同理， 所以，、、均不超过 假设 则，，（I） 根据（2）的周期为 2，我们取，又在[0,1][2,3]递减，在递增， 当时，由（I）的三个不等式得，它的解集为空集， 当时，由（I）的三个不等式得，它的解集为空集， 这就是说，假设不成立，即一定有成立， 因为在[0,2]单调递减，所以， 另一方面，当取时，由（i）知，取满足对任意的恒成立， 综合得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末考试 高二数学试题 2025.07 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 二项式展开式的第3项的系数为（ ） A. 21 B. 35 C. 42 D. 70 4. 为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 男 30 总计 40 90 则的值最接近（附：，）（ ） A. 18 B. 11 C. 8 D. 6 5. 设，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则（ ） A. 他第2天去餐厅的概率为 B. 他连续两天都去餐厅的概率为 C. 他连续两天都不去餐厅的概率为 D. 若他第2天去餐厅，则他第1天去餐厅的概率为 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于的不等式的解集为，则________. 13. 若函数则________. 14. 函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极值点但不是零点，求的单调区间. 16. 某企业调研后，得到研发投入（万元）与产品收益（万元）的数据如下： 1 2 3 4 5 9 12 17 21 26 （1）若与线性相关，请根据样本相关系数推断它们的相关程度；（若，则相关程度一般；若，则相关程度很强） （2）求出关于的经验回归方程，并预测当研发投入6万元时的产品收益. 参考数据： 参考公式：，，. 17. 已知函数，. （1）求的零点； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 18. 系统中每个元件正常工作的概率均为，各个元件正常工作的事件相互独立.如果系统中多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.记表示“系统中共有个元件时，系统正常工作的概率”. （1）若，求； （2）若，系统中共有3个元件，记系统中正常工作的元件数与非正常工作的元件数之差为，求的均值； （3）若，，证明：. 19. 已知函数的图象在定义域上连续不断，，，在区间上单调递减，是的导数. （1）证明：是周期函数； （2）给定，设，证明：存在，使得； （3）若，，，设函数. （i）求的最大值； （ii）若存在，使得对恒成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $