精品解析： 重庆八中宏帆中学 2024-2025学年七年级上学期能力测试数学试卷

2024-2025学年重庆八中宏帆中学七年级（上）能力测试数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将正确答案的代号填涂在答题卡上的相应位置． 1. 在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是(　) A. 4 B. 33 C. 51 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】因为挂历上同一列的数都相对于前一个数相差7，所以设第一个数为x，则第二个数、第三个数分别为x+7、x+14，求出三数之和，发现其和为3的倍数，对照四选项即可求解． 【详解】设圈出的第一个数为x，则第二数为x+7，第三个数为x+14， ∴三个数的和为：x+（x+7）+（x+14）=3（x+7） ∴三个数的和为3的倍数 由四个选项可知只有A不是3的倍数， 故选A． 【点睛】本题考查的知识点是列代数式，解题关键是找出三数的关系，然后根据三数之和与选项对照求解． 2. 时钟9点30分时，分针和时针之间形成的角的大小等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上每大格代表计算即可得解． 【详解】解：时钟9点30分时，分针和时针之间形成的角的大小等于， 故选：C． 3. 小明解方程,去分母时,方程右边的-3忘记乘6,因而求出的解为x=2,问原方程正确的解为(　) A. x=5 B. x=7 C. x=-13 D. x=-1 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据错误算法，去分母得2（2x-1）=3（x+a）-3， 把x=2代入可得6=3（2+a）-3， 解得a=1， 然后代入原方程为， 去分母得2（2x-1）=3（x+1）-18， 去括号得4x-2=3x+3-18， 移项得4x-3x=2+3-18， 合并同类项得x=-13. 故选C. 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解法，解题时先按照错误解法求出系数a的值是解题关键. 4. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“宏帆数”．如（因为，，所以8，16均为“宏帆数”），在不超过800的正整数中，所有的“宏帆数”之和为（ ） A. 40400 B. 40401 C. 40201 D. 40200 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，一元一次不等式的应用，弄清题中“宏帆数”的定义是解题关键．设两个连续的奇数为和，根据“宏帆数”的定义得到不等式，求出，再依此列式计算即可求解． 【详解】解：设两个连续的奇数为和， 则，即， 解得：， 在不超过800的正整数中，所有的“宏帆数”之和为 ， 故选：A． 5. 如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，过点作，则，由平行线的性质结合角平分线的定义可得，，设，，则，，表示出，结合，计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴由①②可得：， 故选：C． 6. 如图三个正方形连在一起，正方形的边长为10，点在上，则阴影部分的面积为（ ） A. 50 B. 75 C. 100 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、平行线的性质，连接，，，由正方形的性质可得，从而得出，由平行线的性质可得，，求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，，， ， ∵三个正方形连在一起，，，分别是三个正方形的对角线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为10， ∴， 故选：C． 7. 能整除任意三个连续整数之和的最大整数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解 设三个连续整数为，n，（n为整数），则能被3整除． 虽能被6整除，但不能被6整除． 故选C． 8. 若k为整数，则使关于x的一元一次方程（k-2009）x=2012-2010x的解也是整数的k的值有（ ）个． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】把k看作常数,利用一元一次方程的解法解出x的表达式,然后再根据x与k都是整数进行讨论求解. 【详解】解:(k-2009)x=2012-2010x, 去括号得,kx-2009x=2012-2010x, 移项得,(k+1)x=2012, k为整数,方程的解也为整数, 而, k的值共有12个. 故选C. 【点睛】本题考查了解一元一次方程,先把k看作常数进行运算,然后对2012的分解是求解的关键,本题比较灵活,难度中等. 9. 能被整除的正整数的最大值是（ ） A. 90 B. 890 C. 900 D. 990 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式除法的应用，因式分解的应用，根据得出，然后根据能被整除，得出为整数，即为整数，求出最大整数值即可． 【详解】解：∵ ， ∵能被整除， ∴为整数， 即为整数， ∴正整数的最大值是890． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 10. 若方程是关于的一元一次方程，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得，，求解即可，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，， 解得：， 故答案为：． 11. 计算：，按以上式子，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律和有理数的混合运算，把写成，然后利用求和公式计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知点C在直线上，，点D为线段的中点，若，则线段_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查线段的和差计算，解题的关键是结合题意画出图形，应充分运用分类讨论和数形结合的思想方法． 根据题意分当点C在点B的右侧时和当点C在点B的左侧时两种情况进行讨论，并结合题意画出图形，根据线段之间的和差关系进行求解即可． 【详解】解：当点C在点B的右侧时，如图1， ∵， ∴，即， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， 解得， ∴， 当点C在点B的左侧时，如图2， ∵， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， 解得， 综上所述，长为或． 故答案为：或． 13. 如图，若，，，求的度数为_______________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，设，则，，根据求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若是互不相等的整数，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，把169分解成四个整数的乘积形式，从而确定代表的数即可得到答案. 【详解】解：∵，且是互不相等的整数， ∴代表的是这四个数， ∴， 故答案为：． 15. 已知正数，满足，则_____． 【答案】1000 【解析】 【分析】根据已知等号每一侧都同时加上1，因式分解可得从而得到从而得到所求的值. 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 因为为正数，等式两边同时开方得， ． 故答案是：1000. 16. 已知m是有理数，则的最小值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】该题主要考查了绝对值的意义以及化简绝对值，解题的关键是进行分类讨论． 根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值． 【详解】解：∵绝对值最小的数是0， ∴分别当等于0时，有最小值． ∴m的值分别为2，4，6，8． ∵①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ∴的最小值是8． 故答案为：8． 17. 一批旅客决定分乘几辆大汽车；并且要使每辆车有相同的人数．起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车．若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车．已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有____________辆汽车，这批旅客有____________人． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了数的整除、二元一次方程的应用，设原有辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐个人，显然，，由题意可得旅客人数为，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示出，从而可得，求出，再结合数的整除计算即可得解． 【详解】解：设原有辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐个人，显然，， 由题意可得：旅客人数为，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示出， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴必为正整数， ∵为质数，只有和两个因数，且， ∴或， 如果，则，，不满足，不符合题意； 如果，则，，符合题意； ∴旅客人数为（人）， 故答案为：，． 三、简答题（19题12分，其余每小题12分，共42分） 18. 计算 （1） （2） （3） （4）为正整数） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据乘法分配律的逆运算法则把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （3）先利用积的乘方计算法则把原式变形为，再利用平方差公式分别计算得到，再利用多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （4）利用平方差公式把原式变形，然后计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式的混合运算进行化简，再代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 求方程的所有解的和． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的性质及一元一次方程的解法，先根据绝对值的性质求出的值，再求出x的值，再求和即可解答． 【详解】解：， ，， ，， 或或或， 所有解的和为：． 故答案为：． 21. 已知，，求，的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值、完全平方公式的应用，由完全平方公式得出，代入计算即可得出的值，再由计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ． 22. 已知x，y，z均为整数，若，求证． 【答案】 证明 ：由， 又因，， 则． 又因11，4互质，故． 【解析】 【分析】 【详解】略 23. 设满足，，证明． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式根据题意可得，则由完全平方公式得到，由非负数的性质得到，，据此可证明结论． 【详解】略 四、解答题：（本大题4个小题，25题、26题8分，27题、28题10分，共36分） 24. 重庆某植物园中现有A、B两个园区，已知园区为长方形，长为米，宽为米；园区为正方形，边长为米． 改造前 改造后 投入（元/平方米） 36 30 收益率 （1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简； （2）为增加植物园收益，现对园区进行改造，对于园区，若长增加米，宽减少米，则园区面积将变为3200平方米；对于园区，若边长减少米，则园区面积将会是A、B两园区改造完成后总面积的． ①求园区改造前的面积； ②园区改造前后的每平米投入与收益率如表：求改造后园区比改造前多出的收益．（收益率=总利润占总投入的百分比） 【答案】（1） （2）①改造后园区的面积为平方米；②改造后园区比改造前多出的收益为元 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、多项式乘以多项式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据完全平方公式、多项式乘以多项式计算即可得解； （2）①求出改造后园区、园区的边长，根据面积的计算方法即可得出答案；②求出园区改造前的面积，再列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， ∴A、B两园区的面积之和为； 【小问2详解】 解：①改造后园区的长为米，宽为米， 故面积为，即， 改造后园区的边长为，故面积为平方米， 由题意可得， 解得：， 即改造后园区的面积为平方米； ②改造前园区的面积为（平方米）， ∴改造后园区比改造前多出的收益为（元）， 故改造后园区比改造前多出的收益为元． 25. 若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数为“永恒数”．将“永恒数”的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数，并规定． （1）求的值； （2）若一个“永恒数”的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，求的最大值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据定义确定，代入定义式求的值即可； （2）设个位数字为，十位数字为，百位数字为，千位数字为，根据题意，得，，， 得 ，变形解答即可． 本题考查了新定义，数的整除问题，熟练掌握定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ∴． 【小问2详解】 解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为，千位数字为，根据题意，得，，， ∴ ， ∵的百位数字与个位数字之差恰为千位数字， ∴，且，即， ∴ ， ∵， ∴， 要想最大， 故取得最小值， 当时，最小为c, 由为整数， ∴， 当时，，是整数， 此时， 故最大值为9． 26. 【背景引入】数轴是数形结合思想的重要工具．如图，某数学兴趣小组利用“希沃白板”模拟研发了一条类似数轴的“弯折数轴”，创设以下条件：点表示数，点表示数为原点，点表示数12，点表示数24．并规定：表示A、B两点间线段（或折线段）的长度，如： 【问题情境】若点从点沿弯折数轴以2个单位长度/秒的速度向正方向运动，同时点从点沿弯折数轴以4个单位长度/秒的速度向负方向运动，且P、Q两点在CO段的速度变为在水平线上的一半，在上的速度变为在水平线上的倍．当点运动到点时即停止运动，此时点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． 【初步认知】 （1）当时，_________； （2）P、Q两点在线段_________上相遇，请求出它们相遇时的运动的时间； 【深入探究】 （3）当满足条件时，点的运动时间是多少？ 【答案】（1）；（2）；它们相遇时的运动的时间；（3）点的运动时间为秒． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值以及数轴，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，先求出当时，，然后计算即可； （2）根据题意，分别求出点在的用时，点在上的用时，然后进行判断即可； （3）分三种情况分析：①当秒时，点在上，点在上；当，点在上，点在上；当时，点在上，点在上，在这三种情况中分别求出和，根据题意，列出一元一次方程，求解后进行判断即可． 【详解】解：（1）当时，，， ∴， 故答案为：； （2）点在上用时：（秒）， ∵，点在上的速度是（个单位长度/秒）， ∴点在上用时：（秒）， ∵，点在上的速度是（个单位长度/秒）， ∴点在上用时：（秒）， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴点在上用时：（秒）， ∵，点在上的速度是（个长度单位/秒）， ∴点在上用时：（秒）， ∵，点在上的速度是 (个单位长度/秒）， ∴点在上用时：（秒）， ∵点从到用时为：（秒），点到用时为：（秒），秒时，点在上， ∴、两点在线段上相遇， ∵点在上运动的速度是个单位长度/秒，点在上运动的速度是（个单位长度/秒），， ∴， 解得：， 故答案为：；它们相遇时的运动的时间； （3）分以下情况： ①当秒时，点在上，点在上， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得：， ②当，点在上，点在上 ∵ ， ， ∵， ∴， 解得：（舍去）； ③当时，点在上，点在上， ， ， ∵， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，点的运动时间为秒． 27. 已知，直线交于点E，交于点F，点M在线段上，过M作射线、分别交射线、于点N、Q． AI （1）如图1，当时，求的度数． （2）如图2，若和的角平分线交于点G，求和的数量关系． （3）如图3，当，且，时，作的角平分线．把三角板的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与和重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板立即以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点N以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）5或或或或 【解析】 【分析】（1）过点M作，可得，而，得，故； （2）设与交于点T，利用（1）的结论，平行线的性质，三角形外角性质，变形计算解答即可． （3）分四种情况，分别画出图形，列方程即可解得答案： ①若，到达前有，返回时有， ②当时，； ③当时，； ④当时，，求出t即可． 【小问1详解】 解：过M作．如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，设与交于点T，根据（1）的证明，得， ∵和的角平分线交于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①当时，则， 当到达前，如图： ∵， ∴， 解得； 返回时，如图： ∵， ， ∴， 解得； ②当时，如图： ∵， ∴， 解得； ③当时，如图： 同理可得：， 解得：； ④当，如图： ∴， 解得：， 综上所述，t的值为5或或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，旋转的性质，角的平分线，分类思想，熟练掌握判定和性质，分类思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年重庆八中宏帆中学七年级（上）能力测试数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将正确答案的代号填涂在答题卡上的相应位置． 1. 在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是(　) A. 4 B. 33 C. 51 D. 27 2. 时钟9点30分时，分针和时针之间形成的角的大小等于（ ） A. B. C. D. 3. 小明解方程,去分母时,方程右边的-3忘记乘6,因而求出的解为x=2,问原方程正确的解为(　) A. x=5 B. x=7 C. x=-13 D. x=-1 4. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“宏帆数”．如（因为，，所以8，16均为“宏帆数”），在不超过800的正整数中，所有的“宏帆数”之和为（ ） A. 40400 B. 40401 C. 40201 D. 40200 5. 如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图三个正方形连在一起，正方形的边长为10，点在上，则阴影部分的面积为（ ） A. 50 B. 75 C. 100 D. 150 7. 能整除任意三个连续整数之和的最大整数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 8. 若k为整数，则使关于x的一元一次方程（k-2009）x=2012-2010x的解也是整数的k的值有（ ）个． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 能被整除的正整数的最大值是（ ） A. 90 B. 890 C. 900 D. 990 二、填空题（每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 10. 若方程是关于的一元一次方程，则____________． 11. 计算：，按以上式子，那么____________． 12. 已知点C在直线上，，点D为线段的中点，若，则线段_______． 13. 如图，若，，，求的度数为_______________． 14. 若是互不相等的整数，且，则____________． 15. 已知正数，满足，则_____． 16. 已知m是有理数，则的最小值是_______． 17. 一批旅客决定分乘几辆大汽车；并且要使每辆车有相同的人数．起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车．若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车．已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有____________辆汽车，这批旅客有____________人． 三、简答题（19题12分，其余每小题12分，共42分） 18. 计算 （1） （2） （3） （4）为正整数） 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 求方程的所有解的和． 21. 已知，，求，的值． 22. 已知x，y，z均为整数，若，求证． 23. 设满足，，证明． 四、解答题：（本大题4个小题，25题、26题8分，27题、28题10分，共36分） 24. 重庆某植物园中现有A、B两个园区，已知园区为长方形，长为米，宽为米；园区为正方形，边长为米． 改造前 改造后 投入（元/平方米） 36 30 收益率 （1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简； （2）为增加植物园收益，现对园区进行改造，对于园区，若长增加米，宽减少米，则园区面积将变为3200平方米；对于园区，若边长减少米，则园区面积将会是A、B两园区改造完成后总面积的． ①求园区改造前的面积； ②园区改造前后的每平米投入与收益率如表：求改造后园区比改造前多出的收益．（收益率=总利润占总投入的百分比） 25. 若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数为“永恒数”．将“永恒数”的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数，并规定． （1）求的值； （2）若一个“永恒数”的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，求的最大值． 26. 【背景引入】数轴是数形结合思想的重要工具．如图，某数学兴趣小组利用“希沃白板”模拟研发了一条类似数轴的“弯折数轴”，创设以下条件：点表示数，点表示数为原点，点表示数12，点表示数24．并规定：表示A、B两点间线段（或折线段）的长度，如： 【问题情境】若点从点沿弯折数轴以2个单位长度/秒的速度向正方向运动，同时点从点沿弯折数轴以4个单位长度/秒的速度向负方向运动，且P、Q两点在CO段的速度变为在水平线上的一半，在上的速度变为在水平线上的倍．当点运动到点时即停止运动，此时点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． 【初步认知】 （1）当时，_________； （2）P、Q两点在线段_________上相遇，请求出它们相遇时的运动的时间； 【深入探究】 （3）当满足条件时，点的运动时间是多少？ 27. 已知，直线交于点E，交于点F，点M在线段上，过M作射线、分别交射线、于点N、Q． AI （1）如图1，当时，求的度数． （2）如图2，若和的角平分线交于点G，求和的数量关系． （3）如图3，当，且，时，作的角平分线．把三角板的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与和重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板立即以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点N以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $