广东省汕头市金平区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

广东省汕头市金平区2024—2025学年七年级数学下学期期末试卷 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑. 1． 下列各数是无理数的是（　　） A． B． C． D． 2． 如图，下列条件中能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 3． 在平面直角坐标系中，将点P(3， 5)向下平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　） A．(1， 5) B．(5， 5) C．(3， 3) D．(3， 7) 4． 方程组的解是（　　） A． B． C． D． 5． 若，则下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6． 为了解汕头市2025年各区(县)初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，最适合使用的统计图是（　　） A．折线统计图 B．条形统计图 C．扇形统计图 D．复式条形图 7． 垂直式停车位形状为长方形，若一个停车位长比宽多3m，周长为16m，设长为xm，宽为ym，则由题意可列得方程组为：（　　） A． B． C． D． 8． 某商场停车场出入口折叠拦道闸，可其抽象为如图所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（　　） A． B． C． D． 9． 不等式 的最小整数解是 (　　) A．3 B．2 C．1 D．0 10． 如图，在正六边形中，，，，，点A在正六边形的边上，一束光从点A发出，经过多次反射（A - B - C - D - E - F）后到达点F，已知由光的反射原理（入射角等于反射角）可得：，根据此原理，若，则 (　　) A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11． 在平面直角坐标系中，点M的坐标是(3， -5)，则点M到x轴的距离是　 　. 12． 2025年1月30日(大年正月初二)晚上8点汕头在内海湾举办了“已如意 美美至汕”迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏.市民小王也是现场观众之一，如图，他家住P处，观赏地点海滨路可以看成直线l，则小王赶往观赏地点的最近路线是线段PC，理由是　 　. 13． 已知一个正数x的两个平方根分别为3和，则a的值为　 　. 14． 已知不等式组的解集是 ，则关于 x 的方程 的解为　 　. 15． 在平面直角坐标系中，有一系列的点 ，，，，，， 其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点 ， 则 ， 若点 的坐标为 (2， 0)，则点 的坐标为　 　. 三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16． 计算：. 17． 解方程组：. 18． 解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上. 四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 19． 近年来，随着自媒体的兴起，潮汕地区各个非遗项目逐渐广为人知，其中包括被誉为“中华歌舞”的英歌舞、剪纸、潮剧、嵌瓷、抽纱等.某校为了解同学们对非遗项目的喜爱程度，随机抽查部分学生进行调查，把同学们最喜爱的项目分成4类，分别是：A（剪纸），B（英歌舞），C（潮剧），D（其他），将分类的调查结果制成如下两幅统计图（尚不完整）. 根据以上信息，回答下列问题： （1） 本次抽样的样本容量为　 　； （2） 补全条形统计图，扇形统计图中表示“D类”的扇形圆心角的度数为 ▲ ； （3） 若该校有1000名学生，估计最喜爱英歌舞的学生有多少名？ 20． 已知：如图，，. （1） 证明 . （2） 若 ，垂足为点A，，求 的度数. 21． 根据以下信息，探索完成任务： 素材1 某酒店提供三种标准房供顾客入住；单人间、双人间、三人间，已知三人间每间 每晚400元； 素材2 4间单人间和3间双人间每晚共需付房费1700元， 3间单人间和4间双人间每晚共需要付房费1800元. 素材3 某旅游团共33人入住该酒店时，由于正值游客高峰期，该酒店双人间均已住满， 只剩下单人间和三人间. 问题解决 ⑴任务1 单人间和双人间每晚每间房费分别是多少元？ ⑵任务2 该旅游团为节省经费，安排每间客房均住满，且计划每晚总房费不超过4800元，则该旅游团有哪几种入住方案？ 五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22． 阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即 ， 的整数部分为 2，小数部分为 . 【材料二】若正方形面积为 105，则它的边长为 . 我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即 ， 设，其中 ， 如图 1，画出边长为 的正方形，根据图中面积，得 ， 较小， 忽略，得：，解得 ，. 【探究问题】 （1） 利用材料一中的方法， 的整数部分是　 　，小数部分是　 　； （2） 利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； （3）【思维拓展】 a是的小数部分，b是的小数部分，则 的值是多少？ （4） 探究 的近似值，直接写出结果：　 　（结果精确到 0.01） 23． 【问题背景】 综合与实践活动课上，林老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动. 如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，. （1）【探索发现】 如图2，林老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线AB和CD上，则　 　.(填写度数) （2） 如图3，摆放两块三角板，让PQ和MN分别落在直线AB、CD上，且使直角顶点与重合（以下称为点R），求的度数； （3）【迁移运用】 如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使AB与NR交于点E，CD与PQ交于点F，若，，请求出和的数量关系； （4）【拓展创新】 在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒， ① 三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），存在三角板的一条边与直线AB平行，请直接写符合条件的t值； ② 在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束. 在旋转过程中，存在射线RN、RQ、RP，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值. 答案解析部分 广东省汕头市金平区2024—2025学年七年级数学下学期期末试卷 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑. 1． 下列各数是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：Ａ、Ｃ、Ｄ为有理数，Ａ、Ｃ、Ｄ都错误． Ｂ、无理数是无限不循环的小数，而π是无限不循环小数， 是无限不循环小数，B正确． 故答案为：Ｂ . 【分析】根据无理数是无限不循环的小数，其中开方开不尽的，含有的，有规律不循环的小数等都是无理数． 2． 如图，下列条件中能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：A、B、C选项中的，，都不是直线和被第三条直线所截形成的同位角或内错角， 不能判断，A、B、C都错误． D、与是直线和被第三条直线所截形成的同旁内角，且， 能判断，D正确． 故答案为：Ｄ 【分析】根据平行线的判定定理，看所给的条件是否是直线和被第三条直线所截形成的同旁内角、同位角或内错角，进一步可确定能不能判断． 3． 在平面直角坐标系中，将点P(3， 5)向下平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　） A．(1， 5) B．(5， 5) C．(3， 3) D．(3， 7) 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化﹣平移 【解析】【解答】解：是由向下平移2个单位长度后得到， 的横坐标不变，纵坐标为：， ． 故答案为：C 【分析】根据由平移方式确定点的坐标规律：左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变，上加下减，左减右加．易得的坐标． 4． 方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】加减消元法解二元一次方程组 【解析】【解答】解： 由得：③ 由得：解得 把代入①得：解得 原方程的解为 故答案为：A 【分析】本题考查加减消元法解方程组，将①方程乘2后和②相减可消去求出，进一步可求出，从而得方程组的解．​ 5． 若，则下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【解析】【解答】解：A、在不等式的左右两边同时加，不等号方向不变，成立，A正确． B、在不等式的左右两边同时乘，不等号方向改变，成立，B正确． C、在不等式的左右两边同时乘，不等号方向不变，成立，C正确． D、在不等式的左右两边同时乘方， 不知道、是正数还是负数， 不一定成立，D错误． 故答案为：D 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式现性质可以分别判断A、B、C正确，但是D不知道、是正数还是负数，故不一定成立．​ 6． 为了解汕头市2025年各区(县)初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，最适合使用的统计图是（　　） A．折线统计图 B．条形统计图 C．扇形统计图 D．复式条形图 【答案】C 【知识点】统计图的选择 【解析】【解答】解：根据题目要了解汕头市2025年各区(县)初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，而扇形统计图反映的就是某部分占总体的百分比关系，C正确． 故答案为：C 【分析】本题考查选择合适的统计图，根据不条形统计图、扇形统计图、折线统计图等统计图的意义可以得正确选项．​ 7． 垂直式停车位形状为长方形，若一个停车位长比宽多3m，周长为16m，设长为xm，宽为ym，则由题意可列得方程组为：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列二元一次方程组 【解析】【解答】解：设长为m，宽为m． 停车位的长比宽多3m，周长为16m， 可列方程组为 故答案为：C 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据题意找出等量关系：长宽，2（长+宽）＝16，可列出方程组．​ 8． 某商场停车场出入口折叠拦道闸，可其抽象为如图所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度 【解析】【解答】解：如图， 过点作， ， ， ，． ， ． ． ． 故答案为：C 【分析】本题考查平行线的性质在生活中的应用，过点作，则，再根据平行线的性质可求出的度数．​ 9． 不等式 的最小整数解是 (　　) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的特殊解 【解析】【解答】解：移项得：， 系数化为1得：， 此不等式的最小整数解为2． 故答案为：B 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，根据解一元一次不等式的方法和步骤：去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可求解． 10． 如图，在正六边形中，，，，，点A在正六边形的边上，一束光从点A发出，经过多次反射（A - B - C - D - E - F）后到达点F，已知由光的反射原理（入射角等于反射角）可得：，根据此原理，若，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形的内角和公式 【解析】【解答】解：如图， 在四边形中，． ，， ． 由光的反射原理得：，，， ． 在四边形中，， ，， ， ． 在四边形中，， ，， ， ． 同理可得：． ． 故答案为：D 【分析】本题考查多边形内角和公式，根据光的反射原理得：，，，．进一步由多边形内角和公式求出，，， ，最后可得出度数．​ 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11． 在平面直角坐标系中，点M的坐标是(3， -5)，则点M到x轴的距离是　 　. 【答案】5 【知识点】点的坐标；点到直线的距离 【解析】【解答】解： 点M的坐标是，点到到轴的距离为纵坐标的绝对值， 点到到轴的距离为：. 故答案为： 5 【分析】根据点到到轴的距离为纵坐标的绝对值即，到轴的距离为横坐标的绝对值即可求解. 12． 2025年1月30日(大年正月初二)晚上8点汕头在内海湾举办了“已如意 美美至汕”迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏.市民小王也是现场观众之一，如图，他家住P处，观赏地点海滨路可以看成直线l，则小王赶往观赏地点的最近路线是线段PC，理由是　 　. 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】解：直线外的点与直线上的点A、B、C、D的连线段中，是垂线段． 根据垂线段最短，小王赶往观赏地点的最近路线是线段PC． 故答案为：垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短及其应用，根据图形，点与直线上的点A、B、C、D的连线段中，是垂线段．根据垂线段最短可得答案． 13． 已知一个正数x的两个平方根分别为3和，则a的值为　 　. 【答案】-1 【知识点】平方根的概念与表示 【解析】【解答】解：正数的两个平方根分别为3和 解得： 故答案为：-1 【分析】本题考查平方根的概念及表示，根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，再根据互为相反数的数和为0，可列方程解得的值． 14． 已知不等式组的解集是 ，则关于 x 的方程 的解为　 　. 【答案】​​​​ 【知识点】一元一次不等式组的含参问题 【解析】【解答】解： 解①得：， 解②得：， 此不等式组的解是． 此不等式组的解是， ， ， 　解的： 故答案为： 【分析】本题考查一元一次不等式组的含参问题和不等式组和一元一次方程的综合应用，先解不等式组得不等式组的解，再结合题目所给的不等式组的解可求出a、b的值，把a、b的值代入方程可得其解． 15． 在平面直角坐标系中，有一系列的点 ，，，，，， 其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点 ， 则 ， 若点 的坐标为 (2， 0)，则点 的坐标为　 　. 【答案】(2，0) 【知识点】点的坐标；探索数与式的规律 【解析】【解答】解：根据题意得： 即 即 即 即 即 即 即 即 　　　　　…… 由此可知，的坐标成周期性变化，周期为4 故答案为： 【分析】本题考查点的坐标和探索数与式的规律，先根据题意求出一系列点的坐标，由此可知的坐标成周期性变化，周期为4，进一步可求坐标． 三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16． 计算：. 【答案】解：原式＝ ＝ ＝ 【知识点】实数的混合运算（含开方） 【解析】【分析】本题考查实数混合运算（含开方）和二次根式混合运算，分别去第一个括号，绝对值符号，再求出的立方根，的值，最后按混合运算法则可求出结果． 17． 解方程组：. 【答案】解： 由得：， 由得： 把代入②得：， 解得：. 这个方程组的解为： 【知识点】加减消元法解二元一次方程组 【解析】【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，把后可以消去x求出y，把y代入任意一个方程可以求出x，从而得到方程组的解． 18． 解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上. 【答案】解： 解①得： 解②得： 原不等式组的解集为：． 把该不等式组的解集在数轴上表示为： 【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组 【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，分别解两个不等式，求出公共解，再把解在数轴上表示即可． 四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 19． 近年来，随着自媒体的兴起，潮汕地区各个非遗项目逐渐广为人知，其中包括被誉为“中华歌舞”的英歌舞、剪纸、潮剧、嵌瓷、抽纱等.某校为了解同学们对非遗项目的喜爱程度，随机抽查部分学生进行调查，把同学们最喜爱的项目分成4类，分别是：A（剪纸），B（英歌舞），C（潮剧），D（其他），将分类的调查结果制成如下两幅统计图（尚不完整）. 根据以上信息，回答下列问题： （1） 本次抽样的样本容量为　 　； （2） 补全条形统计图，扇形统计图中表示“D类”的扇形圆心角的度数为 ▲ ； （3） 若该校有1000名学生，估计最喜爱英歌舞的学生有多少名？ 【答案】（1）50 （2）解：如图，补全条形统计图如下： 扇形统计图中表示“D类”的扇形圆心角的度数为：36°； （3）解：根据题意得： （人）， 答：该校最喜爱英歌舞的学生约有440名. 【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量 【解析】【解答】解：（1）根据题意得： 样本容量为：． 故答案为：50 （2）由（1）得本次抽样人数为50人， 类的人数为：（人） 类的百分数为：， 扇形统计图中表示“D类”的扇形圆心角的度数为：． 故答案为： 【分析】（1）用的人生除以的百分数就可以求出样本容量． （2） D类的人数可以用抽样人数减去、、的人数求得，先求出扇形统计图中表示“D类”的百分数，再乘以可求得D类的扇形圆心角的度数． （3） 先求出喜爱英歌舞的学生的百分数，再乘以该校总学生人数便可求出该校喜爱英歌舞的学生人数． 20． 已知：如图，，. （1） 证明 . （2） 若 ，垂足为点A，，求 的度数. 【答案】（1）证明：如图， ， ． ， ． ． ． （2）解： 如图， ， ． ， ． ， ， ， ． ． ． 【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题 【解析】【分析】（1）由平行线性质得，进一步根据平行线判定定理可证明，最后可证明． （2）先根据垂线的定义得，再根据，得：，，从而求出度数，最后根据角的和、差、倍，分知识点可以求出的度数． 21． 根据以下信息，探索完成任务： 素材1 某酒店提供三种标准房供顾客入住；单人间、双人间、三人间，已知三人间每间 每晚400元； 素材2 4间单人间和3间双人间每晚共需付房费1700元， 3间单人间和4间双人间每晚共需要付房费1800元. 素材3 某旅游团共33人入住该酒店时，由于正值游客高峰期，该酒店双人间均已住满， 只剩下单人间和三人间. 问题解决 ⑴任务1 单人间和双人间每晚每间房费分别是多少元？ ⑵任务2 该旅游团为节省经费，安排每间客房均住满，且计划每晚总房费不超过4800元，则该旅游团有哪几种入住方案？ 【答案】解：（1）设单人间每晚每间房费是x元，双人间每晚每间房费是y元，由题意可得： 解得： 答：单人间每晚每间房费是200元，双人间每晚每间房费是300元． （2）设该旅游团入住三人间m间，则单人间为(33-3m)间，由题意可得： 解得： 为正整数 的取值为：9、10、11． 该旅行团共有3种入住方案，分别如下： ①三人间9间，单人间为6间， ②三人间10间，单人间为3间， ③三人间11间，单人间为0间. 【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题 【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系：4间单人间费用3间双人间费用＝1700元， 3间单人间费用4间双人间费用＝1800元，设未知数列方程组即可求解． （2）根据题意找出不等式关系：单人间的费用三人间的费用4800元，可列出不等式，根据不等式的解可得方案．​​​​​​​​ 五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22． 阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即 ， 的整数部分为 2，小数部分为 . 【材料二】若正方形面积为 105，则它的边长为 . 我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即 ， 设，其中 ， 如图 1，画出边长为 的正方形，根据图中面积，得 ， 较小， 忽略，得：，解得 ，. 【探究问题】 （1） 利用材料一中的方法， 的整数部分是　 　，小数部分是　 　； （2） 利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； （3）【思维拓展】 a是的小数部分，b是的小数部分，则 的值是多少？ （4） 探究 的近似值，直接写出结果：　 　（结果精确到 0.01） 【答案】（1）5； （2）解：当正方形面积为149，则它的边长为. ， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， . （3）解：， ， ， ，， ，. （4）14.93 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：（1）， 的整数部分为：5，小数部分为：． 故答案为：5； （4）， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， ， ，，，， 故答案为：14.93 【分析】（1）根据材料一的信息，认真观察解答过程，然后对比方法便可以求解． （2）本题考查阅读材料，分析材料，提取材料信息解题的能力，根据材料的解题方法便可以求解． （3）根据材料一的方法求出的范围，在结合不等式性质就可以求出、的值，代式子可解得答案． （4）综合材料一、二的方法，可求得，但是通过验证发现，所以逐个验证14.96以下的数值，可得到，本题考查探究能力，要求比较高． 23． 【问题背景】 综合与实践活动课上，林老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动. 如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，. （1）【探索发现】 如图2，林老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线AB和CD上，则　 　.(填写度数) （2） 如图3，摆放两块三角板，让PQ和MN分别落在直线AB、CD上，且使直角顶点与重合（以下称为点R），求的度数； （3）【迁移运用】 如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使AB与NR交于点E，CD与PQ交于点F，若，，请求出和的数量关系； （4）【拓展创新】 在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒， ① 三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），存在三角板的一条边与直线AB平行，请直接写符合条件的t值； ② 在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束. 在旋转过程中，存在射线RN、RQ、RP，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值. 【答案】（1）150° （2） 解：如图， 过点作， ， ． ，， ，， ，． ． （3）解： 如图， 延长，于，交于． ， ． 由题意得：，，， ． 是的外角， ， ， ． （4）解：① 符合条件的t值为：6秒或24秒. ②符合条件的t值为8秒或17秒或23秒. 【知识点】平行线的判定与性质的应用-三角尺问题 【解析】【解答】解：（1）如图， 　　 ， ， ， ． 故答案为： （4）①ａ、如图， 当旋转至时，，旋转角， （秒） ｂ、如图， 当旋转至时，，旋转角， （秒）． 符合条件的t值为6或24秒． ②a、如图， 当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则： ，，，， ， ， . 平分， ， 解得：（秒）. 符合条件的t值为8秒. b、如图， 当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则： ，，，，， ， ， . ，. 平分， ， 解得：（秒）. 符合条件的t值为17秒. c、如图， 当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则： ，，，， . 平分， ， ， ， ， 解得：（秒） 符合条件的t值为23秒. 综上所述，符合条件的t值为8秒或17秒或23秒. 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可以求得. （2） 过点作，根据平行线公理及推理，平行线性质可得． （3） 延长，于，交于，根据平行线性质和三角形外角性质可得，进而得． （4） ①当旋转至时，，旋转角，当旋转至时，，旋转角，进一步可得时间． ②根据三角板的度数不变，结合初始位置的度数，旋转的性质可得t=8或17或23时，射线RN、RQ、RP，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角． 学科网（北京）股份有限公司 $$