福建省南安市成功中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

第 1页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 成功中学 2024-2025学年度高二年下学期期末数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求的.） 1. 已知集合� = �∣�2 − � − 2 < 0 , � = �∣3� − 1 > 0 ，则 A B  （ ） A.  , 0 B.  0,2 C.  1,0 D.  1,2 【答案】B 【详解】� = �∣�2 − � − 2 < 0 = −1,2 ，� = �∣3� − 1 > 0 = 0, + ∞ ， 则  0,2A B  ， 故选：B. 2. i为虚数单位， i 1 iz   ，则 z （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B 【详解】因为 i 1 iz   ，所以 2 2 1 i i i 1 i i i z      ，则  221 1 2z     . 故选：B. 3. 已知向量 ( 1, )a m   ，向量 ( , 2)b n   ，向量 (1,1)c   ，若 a与 b  共线，b c   ，则（ ） A. 1m   B. 2n   C. 3m n  D. 1m n  【答案】C 【详解】因为 a与 b  共线，所以 ( 1) ( 2)    0mn  ，解得 2mn  . 又b c   ，所以 1 ( 2) 1 0n     ，解得 2n  ，所以 1m  ，所以 3m n  . 故选：C. 4. 已知 ,a bR，那么 2 2log loga b 是 1 1 2 2 a b            的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为 0, 0a b  ，且 2logy x 在 0, + ∞ 上单调递增，所以 2 2log log 0a b a b    ， 第 2页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 又 1 2 x y       在 R上单调递减, 所以 1 1 , , 2 2 a b a b a b             R , 所以 2 2 1 1log log 0 2 2 a b a b a b                 ， 0b a  时， 1 1 2 2 a b            不能得出 2 2log loga b 成立. 故选：A. 5. 已知 π 1tan 6 2       ，则 πcos 2 3       （ ） A. 3 5 - B. 3 5 C. 4 5  D. 4 5 【答案】B 【详解】因为 πsin π 16tan π6 2cos 6                    且 2 2π πsin cos 1 6 6                ， 解得 2 π 1sin 6 5       ，所以 2π π π 1 3cos 2 cos 2 1 2sin 1 2 3 6 6 5 5                             . 故选：B 6. “二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四 节气有关的古诗．他准备在春季的 6个节气与夏季的 6个节气中共选出 3个节气，若春季的节气和夏季的 节气各至少选出 1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ） A. 90 B. 180 C. 270 D. 360 【答案】B 第 3页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】根据题意可知，小明可以选取 1春 2夏或 2春 1夏， 其中 1春 2夏的不同情况有： 1 26 6C C 90  种； 2春 1夏的不同情况有： 2 16 6C C 90  种， 所以小明选取节气的不同情况有：90 90 180  种． 故选：B． 7. 7 2 1 ( )x x y y        的展开式中 5 2x y 的系数为（ ） A. 91 B. 21 C. 14 D. 49 【答案】D 【详解】 7( )x y 的展开式的通项为 71 7C r r r rT x y    ， 则 3 4 3 4 3 4 7C 35T x y x y  ， 2 5 2 5 2 3 7C 21T x y x y  ， 则展开式中 5 2x y 的系数为 2 35 1 21 49    ， 故选：D. 8. 已知直线 y kx b  是曲线 2 ( 1)y x a   的切线，也是曲线 ln 1y a x  的切线，则 k的最大值是 （ ） A. 2 e B. 4 e C. 2e D. 4e 【答案】B 【详解】因为 y kx b  是   2 ( 1)f x x a   和   ln 1g x a x  的公切线， 设切点分别为 2 1 1( , ( 1))x x a  和 2 2( , ln 1)x a x  ，则    1 2f x g x k   ， 由   2 ( 1)f x x a   ，可得   2f x x  ，则  1 12k f x x  又由   ln 1g x a x  ，可得   ag x x   ，且 0x  ，则  2 2 ak g x x   ， 所以 2 2 1 1 2 2 1 ln2 a x x aax k x x x       ，可得 2 1 1 1 1 1 ln 22 2 aa x a xx ka x x      ， 即 2 1 1 n 0 2 l a x x a   ，显然 1,a x 同号，不妨设 10, 0a x  ， 第 4页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 设   21 12 lnh a a a x x  ，（其中 10, 0a x  ）， 可得   11 ln ln(2 )h a a x    ，令   0h a  ，可得 1 2 e xa  ， 当 1 2(0, ) e xx 时，   0h a  ，  h a 单调递减； 当 1 2( , ) e xx  时，   0h a  ，  h a 单调递增， 要使得   0h a  有解，则需要 12( ) 0 e xh  ，即 2 1 1 1 1 1 2 2 2 e( ) ln 0 e e 2 x x x x xh    即 21 1 2 0 e x x   ，解得 1 2 e x  ，所以 1 42 e k x  ，即 k的最大值为 4 e . 故选：B. 二、多选题(本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分) 9. 六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据 相比不变的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 第 25百分位数 【答案】BC 【详解】从 6个原始评分中去掉 1个最高分、1个最低分，得到 4个新数据为：18，20，20，22， 极差为： 22 18 4  ， 众数为： 20， 平均数为： 18 20 20 22 20 4     ， 因为0.25 4 1  ，所以第 25百分位数为 18 20 19 2   ， 而原数据：16，18，20，20，22，24， 极差为： 24 16 8  ， 众数为： 20， 平均数为： 16 18 20 20 22 24 20 6       ， 因为0.25 6 1.5  ，所以第 25百分位数为18， 所以所得新数据与原数据相比不变的是：众数和平均数. 故选：BC. 第 5页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 10. 若 6 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6( 1)x a a x a x a x a x a x a x        ，则（ ） A. 0 1a  B. 3 20a  C. 1 2 3 4 5 62 4 8 16 32 64 0a a a a a a      D. 0 2 4 6 1 3 5a a a a a a a      【答案】ACD 【详解】将 0x  代入 6 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6( 1)x a a x a x a x a x a x a x        得   6 00 1 a  ，解得 0 1a  ，A 正确； 由二项式定理可知  61x  展开式的通项为  61 6C 1 rr r rT x     ， 令6 r 3  得 3r  ，所以  333 6C 1 20a     ，B错误； 将 2x  代入 6 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6( 1)x a a x a x a x a x a x a x        得  6 0 1 2 3 4 5 62 1 2 4 8 16 32 64a a a a a a a        ， 即 1 2 3 4 5 62 4 8 16 32 64 0a a a a a a      ，C正确； 将 1x  代入 6 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6( 1)x a a x a x a x a x a x a x        得  6 0 1 2 3 4 5 61 1 a a a a a a a        ， 即 0 1 2 4 5 63 0a a a a a a a      ①， 将 = 1x  代入 6 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6( 1)x a a x a x a x a x a x a x        得  6 0 1 2 3 4 5 61 1 a a a a a a a         ， 即 0 1 2 3 4 5 6 64a a a a a a a       ②， ①+②得  0 2 4 62 64a a a a    ，所以 0 2 4 6 32a a a a    ， ①-②得  1 3 52 64a a a    ，所以 1 3 5 32a a a   ， 所以 0 2 4 6 1 3 5a a a a a a a      ，D正确； 第 6页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 故选：ACD 11. 投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量 1, , ( 1,2,3) 1, ,n n X n n     第 次投出正面 第 次投出反面 ．记 A表示事件 “ 1 2 0X X  ”， B表示事件“ 2 1X  ”，C表示事件“ 1 2 3 1X X X   ”，则（ ） A. B和C互为对立事件 B. 事件A和C不互斥 C. 事件A和 B相互独立 D. 事件 B和C相互独立 【答案】BC 【详解】根据题意，A表示事件“ 1 2 0X X  ”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则  P A 1 22 1 1C ( ) 2 2   ， B表示事件“ 2 1X  ”，即第二次抛掷中，正面向上，则  P B 12 ， C表示事件“ 1 2 3 1X X X   ”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，  P C 1 23 1 1 3C ( ) 2 2 8     ， 依次分析选项： 对于 A，事件 B、C可能同时发生，则事件 B、C不是对立事件，A错误； 对于 B，事件A、C可能同时发生，则事件A和C不互斥，B正确； 对于 C，事件 AB，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面， 1 1 1( ) 2 2 4 P AB    ， 由于    P A P B ( )P AB ，则事件A和 B相互独立，C正确； 对于 D，事件 BC，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面， 1 1 1 1( ) 2 2 2 8 P BC     ，    P B P C ( )P BC ，事件 B、C不是相互独立事件，D错误． 故选：BC． 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.） 12. 已知  1, 3a  ， 2a b   ，则向量b在向量 a方向上的投影向量为_________. 【答案】 1 3, 2 2        【详解】向量b  在向量a  方向上的投影， 即    2 22 2 1 3cos , 1, 3 , 2 2 1 3 a a b ab a b a a a                       . 第 7页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 故答案为： 1 3, 2 2        . 13. 有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占 40%，乙工厂生产的占60% .已知甲、乙两工厂生产的 该型号产品的次品率分别为3%， 2%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是______. 【答案】0.024 【详解】设 1A， 2A 分别表示甲、乙厂生产的产品， B表示取到次品， 则 1( ) 0.4P A  ， 2( ) 0.6P A  ， 1( | ) 0.03P B A  ， 2( | ) 0.02P B A  ， 从中任取一件产品取到次品的概率为：   1 1 2 2( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A  0.4 0.03 0.6 0.02 0.024     ， 故答案为：0.024． 14.若关于 x的不等式 e ln 0xax x x   对任意 ,( )0x  恒成立，则实数 a的取值范围为_______． 【答案】 1 , e     【详解】 e ln 0xax x x   ，即  e ln ln e ln ln ex x xax x x x x    ， ,( )0x  ，设 ext x ，  1 e 0xt x    恒成立，函数单调递增，故 0t  ， 故 ln ta t ≥ ，设   ln tg t t  ，  0,t  ，故   2 1 ln tg t t   ， 当  0,et 时，   0g t  ，函数单调递增； 当  e,t  时，   0g t  ，函数单调递减； 故    max 1e e g t g  ，故 1 e a  ， 故答案为： 1 , e     【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和 综合应用能力，其中，利用同构的思想，变换得到  e ln ex xax x 是解题的关键. 第 8页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题（本小题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. （本题 13分） 在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c，且 2sin sin , 3 a C c B C   ． （1）求 B； （2）若 ABC 面积为 3 3 4 ，求 BC边上中线的长． 解：【小问 1详解】 sin sina C c B ，由正弦定理边化角得 sin sin sin sinA C C B ，----------------2 分 sin 0C  ， sin sinA B  ， ----------------4 分 A B  或 πA B  （舍）， 又 2π 3 C  ， π 6 B  ； --------------- 6 分 【小问 2详解】  π 6 B  ， 2π 3 C  ， π 6 A  ， a b  ， --------------7 分  1 sin 2ABC S ab C ，即 2 3 3 1 3 4 2 2 a  ，解得 3a b  ， -------------------8 分 由正弦定理 sin sin a c A C  ， 得 sin 3 sin a Cc A   ， ---------------------10 分 设 BC边的中点为D，连接 AD，如下图：  2AD AB AC     ，即 2 2(2 ) ( )AD AB AC     ， -------------------11 分 即 2 2 2 34 2 cos 9 3 2 3 3 2 AD c b bc A         ， 第 9页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 解得 21 2 AD  ． 1------------------13 分 16. （本题 15分） 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产 40件同一类型产品，所得合格品情况如表 1， 该企业对甲生产工艺研发投入 x（亿元）与总收益 y（亿元）的数据统计如表 2. 表 1： 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 20 乙 8 合计 40 表 2： 研发投入 x（亿元） 1 2 3 4 收益 y（亿元） 6.5 7 8 8.5 （1）完成列联表，并根据 0.05  的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？ （2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入 10亿元时，总收益将达到多少亿元？ 附：①           2 2 n ad bc a b c d a c b d        ， n a b c d    . ②临界值表： α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ③参考公式： 1 22 1 n i i i n i i x y nx y b x nx         ，a y bx $ $ . 第 10页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 解： 2 2 列联表为： 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 2 20 乙 12 8 20 合计 30 10 40 零假设 0H ：两种工艺生产的配件与合格率无关， ------------3 分 由列联表中数据得 2 2 0.05 40(18 8 12 2) 24 4.8 3.841 30 10 20 20 5 x           ，----------5 分 根据小概率值 0.05  的独立性检验，我们推断 0H 不成立， 即认为产品合格率与生产工艺有关，此推断犯错误的概率不大于 0.05. ---------------7 分 【小问 2详解】 显然 1 2 3 4 6.5 7 8 8.52.5, 7.5 4 4 x y         ，------------8 分 4 1 6.5 14 24 34 78.5i i i x y       ， 4 2 1 1 4 9 16 30i i x       ，---------10 分 则 4 1 4 222 1 78.5 4 2.5 7.5 0.7 30 4 2.5 i i i i i x y nx y b x nx               ， 7.5 0.7 2.5 5.75a y bx     $ $ ，---------13 分 因此 y关于 x的线性回归方程为 ˆ 0.7 5.75y x  ，-------------14 分 令 10x  ，得 0.7 10 5.75 .ˆ 12 75y     ， 所以预估研发投入 10亿元，收益将达到 12.75亿元.--------------15分 17. （本题 15分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， / /AB CD，CD BC ， 2 4AB CD  ， 45BAD  ， 2 2PD  ， PBC 为等边三角形. 第 11页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 （1）若Q为 PB的中点，求证： / /CQ 平面 PAD； （2）求二面角 A PD C  的正弦值. 解：【小问 1详解】 取 PA中点H ，连接 ,DH HQ， ---------1 分 因为Q为 PB的中点，所以 / /QH AB且 1 2 QH AB ，--------------2 分 又 / /AB CD且 1 2 AB CD ， 所以 / /QH CD且QH CD ，----------3 分 所以DHQC 是平行四边形，----------------4 分 得到 / /DH CQ， -------------5 分 又DH 面 PAD，CQ 面 PAD，所以 / /CQ 平面 PAD .-----------------6 分 【小问 2详解】 过D作DM AB 于M ，因为 / /AB CD，CD BC ， 2 4AB CD  ， 45BAD  ， 所以 2AM DM BC   ，又 PBC 为等边三角形，所以 2PC  ， 又 2 2PD  ，所以 2 2 2PC CD PD  ，得到CD PC ， 又CD BC ，  PC CB C， ,PC CB 面 PBC， 所以CD 面 PBC， 又CD 面 ABCD，所以面 PBC 面 ABCD， 第 12页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 取 BC中点 E，连接 PE，则 PE BC ，又面 PBC 面 ABCD，面 PBC面 ABCD BC ， PE 面 PBC，所以 PE 面 ABCD， 过C作 / /l PE，以 , ,CD CB l所在的直线为 , ,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，---------8 分 由 2 4AB CD  ， 2BC  ， 知  0,0,0 ,C (4, 2,0), (2,0,0), (0,1, 3)A D P ， 所以 (2, 1, 3)PD     ， ( 2, 2,0)AD     ， (0,1, 3)CP   ，-------------9 分 设平面 APD的一个法向量为 ( , , )n x y z  ， 由 0 0 n PD n AD         ，得到 2 3 0 2 2 0 x y z x y         ，取 1x  ，得到 1, 3y z   ， 所以 (1, 1, 3)n   ， -------------11 分 设平面CPD的一个法向量为 ( , , )m a b c  ， 由 0 0 m PD m CP         ，得到 2 3 0 3 0 a b c b c        ，取 1c  ，得到 0, 3a b   ， 所以 (0, 3,1)m    ， --------------13 分 设二面角 A PD C  的平面角为 ，  0,π  ， 因为 2 3 3cos , 5 4 5 n mn m n m            ， -----------14 分 所以 2 3 10sin 1 cos , 1 5 5 n m       . ---------------15分 18.（本题 17分） 为了迎接 4月 23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下， 得分在 70,80 内的学生获三等奖，得分在 80,90 内的学生获二等奖，得分在 90,100 内的学生获一等奖， 其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取 100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制 了如下样本频率分布直方图. 第 13页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求 a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； （2）若我市所有参赛学生的成绩 X 近似服从正态分布 2( , )N   ，其中 15  ，为样本平均数的估计值， 利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有 10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000)随机抽取 3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在 64分以 上的学生数为，求随机变量的分布列. 附参考数据：若随机变量 X 服从正态分布 2( , )N   ，则 0( ) .6827P X        ， ( 2 2 ) 0.9545P X        ， 3 3 0 9( ) .9 73P X        . 解：【小问 1详解】 由频率分布直方图性质可得：  0.006 0.012 0.018 0.016 0.008 0.006 10 1a        ， 所以 0.034a  ， ----------------2 分 由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有10 0.006 100 6   人， 获二等奖的有10 0.008 100 8   人，获三等奖的有10 0.016 100 16   人， 共有 30人获奖，70人没有获奖， -----------------2 分 从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为 2 100C ， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A， 则事件A包含的基本事件的个数为 1 170 30C C ，因为每个基本事件出现的可能性都相等， 所以   1 1 70 30 2 100 C C 14 C 33 P A   ， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为 14 33 .-------------6 分 【小问 2详解】 由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值， 第 14页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 35 0.006 10 45 0.012 10 55 0.018 10 65 0.034 10             75 0.016 10 85 0.008 10 95 0.006 10 64          ， 则所有参赛学生的成绩 X 近似服从正态分布  264,15N ，------------8 分 ①因为 79   ，   0.6827P X        ， 所以 1 0.6827( 79) ( ) 0.15865 2 P X P X         ， 故参赛学生中成绩超过 79分的学生数约为0.15865 10000 1587  ．------12 分 ②由 64  ，得 1( 64) 2 P X   ， 即从所有参赛学生中随机抽取 1名学生，该生竞赛成绩在 64分以上的概率为 12 ， 所以随机变量服从二项分布 13, 2 B      ，----------------14 分 所以   3 0 3 1 10 C 2 8 P         ，   3 1 3 1 31 C 2 8 P         ，   3 2 3 1 32 C 2 8 P         ，   3 3 3 1 13 C 2 8 P         ， 所以随机变量的分布列为：  0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 -----------------------17分 19. （本题 17分） （本题 17分)已知函数   21ln 2 f x a x x  ，  a R （1)讨论函数函数  f x 的的单调性； （2)若函数  f x 有极值点， 第 15页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 （i)求实数 a的取值范围； （ii)判断  f x 的零点个数． 解：（1)函数  f x 的定义域为 0|x x  -------------1 2 ( ) a x af x x x x      ， ------------2 ①当 0a  时，   0f x  恒成立，  f x 在 (0, ) 上单调递减--------3 ②当 0a  时，令   0f x  ，得 1x a  （舍去) 2x a x  0, a a  ,a   f x + 0 -  f x 递增 极大值 递减  f x 的单调递增区间为  0, a ，单调递减区间为  ,a  -------------6 综上所述：当 0a  时  f x 在定义域 (0, ) 上单调递减； 当 0a  时  f x 的单调递增区间为  0, a ，单调递减区间为  ,a  ．---------7 （2)解：（i)由（1)知 0a  -----------9 （ii)由（1)知  f x 的极大值为  f a 21 1 1 1( ) ln ln (ln 1) 2 2 2 2 f a a a a a a a a a      ---------------10 当 ln 1 0a   即0 a e  时，   0f a  ，则  f x 无零点； 当 ln 1 0a   即 a e 时，   0f a  ，则  f x 有 1个零点：------------12 当 ln 1 0a   即 a e 时，   0f a  ---------------13 1 1(1) ln1 0 2 2 f a    Q ， 21 1( ) ln (ln ) 2 2 f a a a a a a a    令 1( ) ln 2 g a a a  ， ( )a e ， 1 1( ) 0 2 g a a     ，  g a 在 ( ),e  上单调递减--------15 1 1( ) ( ) ln 1 0 2 2 g a g e e e e       ， ( ) 0f a   f x 有 2个零点； ---------17 第 16页/共 16页 学科网（北京）股份有限公司 （注：当 a e 时的情况，没有给出函数值为负值的 2个特殊点，直接得出 2个零点，给 1分) 综上所述：当0 a e  时，  f x 无零点；， 当 a e 时，  f x 有 1个零点；当 a e 时，  f x 有 2个零点 成功中学2024-2025学年度高二年下学期期末数学试卷 考试时间：120分钟：满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求的) L.已知集合A={x1x2-x-2<0,B=x3*-1>01,则A∩B=() A.(-∞，0) B.(0,2) C.（-1,0 D.（-1,2 2i为虚数单位，iz=1+i,则2=() A.1 B.√2 C.5 D.2 3.已知向最ā=（-1，m),向量i=(m,-2),向量=(1,1)，若ā与共线，61，则() A.m=-1 B.n=-2 C.m+n=3 D.m-n=1 4.己知a,beR,那么log2a>log2b是 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知tan a+则aa+引 4.、3 3 B. D. 5 5 c 5 6.“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示.小明打算在网上搜集一些与二十四 节气有关的古诗。他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若卷季的节气和夏季的 节气各至少选出】个，则小明选取节气的不同情况的种数是() 小满立夏谷雨 芒 清明 夏 春分 小署人 春 惊蛰 大人夏 季雨水 二十四节 立秋 气与四季 立卷 秋 季 大寒 处暑 白露 汗 小寒 秋分 摇 霜降立冬小雪 多 A.90 B.180 C.270 D.360 第1页共7页 A.-91 B.-21 C.14 D.49 8.已知直线y=x+b是曲线y=x2-(a+)的切线，也是曲线y=anx一1的切线，则k的最大值是 A.2 B.4 C.2e D.4e e 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分) 9.六位评委给某选手的评分分别为：16,18,20,20,22,24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据 相比不变的是（) A.极差 B.众数 C.平均数 D.第25百分位数 10.若(x-1)°=+ax+a2x2+ax23+a4x+ax3+a6x,则() A.a6=1 B.a3=20 C.2a+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0 D.a+a2+a4+a6=a1+a+a5 11,投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量X。 第n次投出正面， -L,第n次投出反面， n=1,2,3).记A表示事件 “X+X2=0,B表示事件“X2=1”,C表示事件“X+X2+X3=-1",则() AB和C互为对立事件 B.事件A和C不互斥 C.事件A和B相互独立 D.事件B和C相互独立 第2页共7页 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知a=山5)，a万=2，则向量方在向量a方向上的投影向量为 13.有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占40%，乙工厂生产的占60%.已知甲、乙两工厂生产的 该型号产品的次品率分别为3%，2%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是 14.若关于x的不等式axe*-x-lnx之0对任意x∈(0，+o)恒成立，则实数a的取值范围为 四、解答题（本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本题13分) 在△MBC中，角4，B,C的对边分别是a,b,c,且asinC=csinB,.C=2 (1)求B: (2)若ABC面积为35，求BC边上中线的长。 4 第3页/共7页 16.(本题15分) 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1， 该企业对甲生产工艺研发投入x(亿元)与总收益y(亿元)的数据统计如表2 表1 合格情况 工艺 合计 合格品 不合格品 甲 18 20 Z 8 合计 40 表2： 研发投入x(亿元) 1 2 3 收益y(亿元) 6.5 8.5 (1)完成列联表，并根据α=0.05的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？ (2)用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？ 附：①X2= n(ad-bc月 n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ②临界值表： a 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 x。 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 ③参考公式： 8=y-8x 第4页/共7页 17.(本题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB1/CD,CD1BC,AB=2CD=4,∠BMD=45°，PD=2W2, △PBC为等边三角形 ○ (1)若Q为PB的中点，求证：CQ/平面PAD: (2)求二面角A-PD-C的正弦值， 第5页/供7页 18.(本题17分) 为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下， 得分在[70.80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在90,100)内的学生获一等奖， 其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的举握情况，随机抽取10名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制 了如下样本频率分布直方国. 频率 组距 Q 030405060708090100竞赛成绩/分 (1)求α的值：若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率： (2)若我市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(4,σ2)，其中σ≈15,4为样本平均数的估计值， 利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成锁超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）： ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以 上的学生数为5，求随机变量5的分布列. 附参考数据：若随机变量X服从正态分布N(4,G),则P(“-G≤X≤4+o)≈0.6827， P(μ-2a≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(4-3G≤X≤+3o)≈0.9973 第6页/共7页 19.(本题17分) (本题17分)已知函数f(x)=a血x- 1x.(aeR) (1)讨论函数函数∫(x)的的单调性： (2)若函数f(x)有极值点， (i)求实数a的取值范围： (的判断f(x)的零点个数， 第7页共7页