精品解析：贵州省铜仁市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷

铜仁市2024年7月期末质量监测试卷 高一数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设样本数据的均值和方差分别为2和4，若（为非零常数，），则的均值和方差分别为（ ） A. ，4 B. ， C. 2，4 D. 2， 5. 如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若在底面棱长为4，侧棱长为正三棱柱内放置一个球，则此球能达到的最大体积是（ ） A B. C. D. 7. 已知点，向量，，点是线段的三等分点，则在上的投影向量的坐标表示为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 丙与丁相互独立 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 已知定义在上的奇函数满足，且在上是增函数，则下列判断正确的是（ ） A. 的周期是4 B. 是函数的最大值 C. 的图象关于点对称 D. 在上是增函数 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 11. 如图是一个棱长为2的正方体的展开图.若将它还原为正方体，则下列结论正确的是（ ） A. 平面与平面平行 B. 线段和线段所在的直线是异面直线且所成角为 C. 点到平面的距离为 D. 线段与平面所成角的余弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设且，则的最小值为______． 13. 若，且，则______. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，.若满足条件的三角形有两个，则边的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数单调递增区间； （2）若将整体向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数，求使得成立的的取值集合. 16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； （3）若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率. 17. 2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 18. 已知在边长为2的正方形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），且. （1）当时，如图沿，和把这个正方形折成一个四面体，使得，，三点重合于点，则在四面体中： （i）证明：； （ii）求二面角的平面角的余弦值. （2）如图，若正方形的对角线与和分别交于点，两点，证明：三条线段，和一定可以构成一个三角形，并且这个三角形中一定有一个角等于. 19. 任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： （1）试将写成三角形式； （2）已知，，，求的值； （3）设，，，当时，求的最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 铜仁市2024年7月期末质量监测试卷 高一数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集和补集的定义计算. 【详解】，. 故选：A. 2. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用指数对数函数的单调性，借助中间值可解. 【详解】根据对数函数单调递减知道，； 根据指数函数单调递减知道，； 根据指数函数单调递增知道，； 故. 故选：A. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式计算可得. 【详解】因为，又，所以（负值已舍去）. 故选：B 4. 设样本数据的均值和方差分别为2和4，若（为非零常数，），则的均值和方差分别为（ ） A. ，4 B. ， C. 2，4 D. 2， 【答案】A 【解析】 【分析】结合期望，方差的线性公式，即可求解. 【详解】样本数据的均值和方差分别为2和4， （为非零常数，）， 则的均值为，方差为； 故选：A 5. 如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为正三角形，，可得，再由，可得，利用勾股定理求出母线长，再结合圆台的表面积公式求解即可． 【详解】因为为正三角形，，所以， 又因为，所以， 即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆的高为， 可得圆台的母线长为， 所以圆台的表面积为． 故选：C． 6. 若在底面棱长为4，侧棱长为正三棱柱内放置一个球，则此球能达到的最大体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】比较底面正三角形内切圆的直径与侧棱长的大小，即可求解. 【详解】因为边长为4的正三角形的内切圆的半径为，而， 且正三棱柱，侧棱长为，所以所放球能达到的最大半径为侧棱长的一半，即， 所以此球能达到的最大体积是， 故选：B 7. 已知点，向量，，点是线段的三等分点，则在上的投影向量的坐标表示为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用等分点的坐标公式求出点的坐标，再用投影向量公式即可求解. 【详解】已知点，向量，，点是线段的三等分点，设，则，， 当，即，解得：，，即， 所以，则在上的投影向量的坐标为， 当，即，解得：，，即， 所以，则在上的投影向量的坐标为， 故选：D 8. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 丙与丁相互独立 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出各个事件的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答. 【详解】甲、乙、丙、丁事件分别记为，则有，， 对于A，显然甲丙不可能同时发生，即，A不正确； 对于B，显然丙丁不可能同时发生，即，B不正确； 对于C，，甲与丁相互独立，C正确； 对于D，，D不正确. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 已知定义在上的奇函数满足，且在上是增函数，则下列判断正确的是（ ） A. 的周期是4 B. 是函数的最大值 C. 的图象关于点对称 D. 在上是增函数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意可得函数的周期为8，从而判断A选项；由函数关于对称，在上是增函数，可得函数在上是增函数，从而判断D，根据函数的对称性及周期性，可得函数图象的大致走势，从而判断B、C. 【详解】对于A，因为为定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以函数关于对称，且， 所以，则， 所以函数的周期是8，故A错误； 对于D，因为函数在上是增函数，所以函数在上是增函数， 则函数在上是增函数，故D正确； 对于B，因为函数关于对称，所以函数在上单调递减， 又因为函数周期为8，将的图象左右平移(每次平移8个单位)即可得函数的全部图象， 由此可得是函数的最大值，故B正确； 对于C，因为函数在上单调递增，在处取最小值，， 所以函数不关于对称，故C错误； 故选：BD. 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图是一个棱长为2的正方体的展开图.若将它还原为正方体，则下列结论正确的是（ ） A. 平面与平面平行 B. 线段和线段所在的直线是异面直线且所成角为 C. 点到平面的距离为 D. 线段与平面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】把正方体的展开图还原为正方体，画出直观图，结合面面平行，异面直线所成角，点到面的距离，线面所成角的知识依次判断选项即可. 【详解】根据正方体的展开图画出该正方体的原图，如下图所示： 对于A：因为在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，则，同理可得， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面 又因为，，平面， 所以平面与平面平行，故A正确 对于B，连接，，如图所示： 因为平面，，平面，平面，所以直线与直线为异面直线； 在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，则， 所以异面直线与直线所成角等于，又因为，所以，故B正确； 对于C，由于在正方体中，，所以三棱锥为正三棱锥， 则在平面的投影为外接圆圆心，即平面，且，则，所以在中，，故C错误； 对于D，因为与重合，所以线段与平面所成角的余弦值等价于线段与平面所成角的余弦值， 由C选项知平面，所以为所求角，由于，，所以，故D正确； 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用基本不等式可求最小值. 【详解】, 因为，由基本不等式可得， 当且仅当即时等号成立， 故，故的最小值为. 故答案为：. 13. 若，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将平方，代入已知条件即可求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 故答案为： 14. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，.若满足条件的三角形有两个，则边的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，代入数据化简得，然后根据三角形有两解，结合正弦函数的性质建立关于的不等式，解之可得边的取值范围. 【详解】因为在中，，， 所以根据正弦定理， 可得，由，得， 若满足条件的三角形有两个，则，即， 解得：，即边的取值范围为； 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若将整体向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数，求使得成立的的取值集合. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）结合和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数单调性即可求解； （2）结合三角函数图象平移求出，然后结合三角函数定义即可求解不等式． 【小问1详解】 ， 令，， 解得，，， 故的单调递增区间为，； 【小问2详解】 若将整体向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数， 由，可得， 解得，，， 故的范围为 16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； （3）若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，设甲获胜为事件，则，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案； （2）设投篮结束时，甲只投2个球为事件，则，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案； （3）设第3次投篮结束后，投篮结束为事件，按甲和乙谁先投篮分2中情况讨论，进而由互斥事件概率的加法公式计算可得答案. 【小问1详解】 根据题意，设，分别表示甲、乙在第次投篮投中， 则，， 设甲获胜为事件，则，而，，互斥， 故 【小问2详解】 根据题意，设投篮结束时，甲只投2个球为事件， 则，而，互斥， 所以 【小问3详解】 根据题意，设第3次投篮结束后，投篮结束为事件， 分两种情况讨论： 若甲先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件， 若乙先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件， 故 17. 2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计这100名候选者面试成绩平均数和第80百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）计算出的值，根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （2）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由图得， 解得， 则， ， ， 设第80百分位数为，则， ，解得， 故这100名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. 【小问2详解】 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为： ， 故第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 18. 已知在边长为2正方形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），且. （1）当时，如图沿，和把这个正方形折成一个四面体，使得，，三点重合于点，则在四面体中： （i）证明：； （ii）求二面角的平面角的余弦值. （2）如图，若正方形的对角线与和分别交于点，两点，证明：三条线段，和一定可以构成一个三角形，并且这个三角形中一定有一个角等于. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）先证明且，从而得平面，进而得证；（ii）由（i）得是二面角的平面角，接着求出线段的长即可得解. （2）先设，接着由且得，再求证、和以及即可得证. 【小问1详解】 （i）连接正方形中的交于点， 则由正方体性质得， 又因为，， 所以，即分别为在对应边的中点， 所以，故，即且， 又平面， 所以平面，又平面， 所以. （ii）由（i）及题意可得是二面角的平面角， 且， 所以，又， 所以， 即二面角的平面角的余弦值为. 【小问2详解】 由题意可设， 则，， 由正方体性质可知且， 所以且， ①且②， 所以由①②得， 因为， 所以； 因为， 所以； 因为在上单调递减， 而当时，，故时， 所以， 所以由线段，和一定可以构成一个三角形，记该三角形为， 又， 即，又，所以， 所以线段，和一定可以构成一个三角形，并且这个三角形中一定有一个角等于. 【点睛】思路点睛：判断三条线段能否构成一个三角形的依据是三角形两边之和大于第三边，所以要证明线段，和一定可以构成一个三角形需求证、和，可先设，接着由且求得，再一一计算求证、和即可得证；再计算求证即可得证这个三角形中一定有一个角等于. 19. 任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： （1）试将写成三角形式； （2）已知，，，求的值； （3）设，，，当时，求最大值和最小值. 【答案】（1） （2） （3）的最大值是3，最小值是0. 【解析】 【分析】（1）运用复数的三角形式得到； （2）数形结合，运用余弦定理求出，进而求出，结合定义求解即可. （3）设，，依题意，可得，从而可求得的最大值和最小值. 【小问1详解】 运用复数的三角形式得到. 【小问2详解】 如图，设复数对应向量为，设复数对应向量为， 则在，运用余弦定理，， 又， 【小问3详解】 ，设，， 则， ，，， ，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是转化，从而得到三角函数问题，进而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$