山西省大同市2026届高三第一次学情调研教学质量监测（高二期末）数学试题

2026届高三年级第一次学情调研教学质量监测试题（卷） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数a的取值是（ ） A. 或 B. 2或 C. 2或或0 D. 或或0 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 6种 D. 12种 4. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据上述信息，如下判断正确的是（ ） 价格 2 需求量 12 10 7 A. 商品的价格和需求量存在正相关关系 B. 与不具有线性相关关系 C. D. 价格定为万元，预测需求量大约为 5. 已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，（ ） A. B. 1 C. D. 7. 若是奇函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知抛物线，，O为坐标原点，过点A的直线l与C交于M，N不同的两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 在区间上单调递减 C. 的最小正周期为 D. 的图象关于点对称 10. 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（ ） A. B. 乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C. D. 11. 设正实数m、n满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. mn的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，若边上的高为，则________． 13. 如图，正方体的棱长为，点P在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是________． 14. 已知函数对任意的实数x，y都有，且当时，，，则当时，的值域为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式： （2）若，，求． 16. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，且． （1）证明：平面； （2）若，，．求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某市为发展旅游业，市旅游局提出“历史从未远去，它一直在我们身边”“一砖一瓦皆故事，一饭一蔬皆成诗”的文化创意主题，围绕这一主题开展了一系列丰富多彩的文艺活动．为了了解人们对活动的喜爱程度，现随机抽取400人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 180 240 女性 50 合计 400 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对该活动的喜爱程度是否与性别有关联； （2）为宣传历史文化知识，当地文化局组织了历史知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；乙只能正确完成其中的6道题． ①求甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量X表示乙可以正确完成题的个数，求变量X的分布列及数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，求证：． 2026届高三年级第一次学情调研教学质量监测试题（卷） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） 如图，取的中点F，连接，， 由中位线定理得，，又，， 得到，且，即四边形为平行四边形， 则，又因为平面，平面， 所以平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1）列联表如下 不喜爱 喜爱 合计 男性 60 180 240 女性 50 110 160 合计 110 290 400 认为人们对该活动的喜爱程度与性别无关； （2）①；②X的分布列为 X 2 3 4 P 3. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）①；②存在，. 【19题答案】 【答案】（1）1； （2）当时，在定义域上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间，上单调递增． （3）证明：由整理可得， 因为，，所以，因此， 因为，所以， 令，则，所以，， 所以， 要证，需证，即证，即， 由（2）知时，在上单调递增，所以时，， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $