第五章 数列 章末测试-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 一 、 单选题 1. 等比数列 {a n } 的公比 q= 1 2 ， a 2 =- 1 4 ， 则 a 5 = （ ） A. 1 32 B. - 1 32 C. 1 64 D. - 1 64 2. 等比数列 {a n } 中 ， a 1 =1 ， a 5 =4a 3 ， S n 为 {a n } 的前 n 项和 . 若 S m =63 ， 则 m 的值是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 不存在 3. 数列 {a n } 满足 a 1 = 1 2 ， a n+1 =1- 1 a n ， 则 a 2 022 = （ ） A. -1 B. 1 2 C. 2 D. 3 4. 若一数列为 a -6 ， 1 ， a 6 ， a 12 ， a 18 ， …， 其中 a≠0 ， 则 a 2 022 是这个数列的 （ ） A. 不在此数列中 B. 第 337 项 C. 第 338 项 D. 第 339 项 5. 标准对数视力表 （ 如图 ） 采用的 “ 五分记录法 ” 是我国独创的视力记 录方式 . 标准对数视力表各行为正方形 “ E ” 字视标 ， 且从视力 5.1 的视标所 在行开始往上 ， 每一行 “ E ” 的边长都是下方一行 “ E ” 的边长的 10 10 姨 倍 ， 若视力 4.0 的视标边长为 a ， 则视力 4.9 的视标边长为 （ ） A. 10 4 5 a B. 10 9 10 a C. 10 - 4 5 a D. 10 - 9 10 a 6. 已知无穷等差数列 {a n } 为递增数列 ， S n 为数列的前 n 项和 ， 则以下结 论正确的是 （ ） A. S n+1 >S n B. 数列 {S n } 有最大项 C. 数列 {na n } 为递增数列 D. 存在正整数 N 0 ， 当 n>N 0 时 ， a n >0 7. 已知数列 1 ， 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 4 ， 1 ， 2 ， 4 ， 8 ， 1 ， 2 ， 4 ， 8 ， 16 ， …， 此数列第 1 项是 2 0 ， 接下来 2 项是 2 0 ， 2 1 ， 再接下来 3 项是 2 0 ， 2 1 ， 2 2 ， …， 设 S n 是数列的前 n 项和 ， 则 S 2 020 = （ ） A. 2 64 -50 B. 2 63 -50 C. 2 64 -2 6 D. 2 63 -2 6 8. 在数列 {a n } 中 ， a n =n+ 25 n ， 则 ｜a 1 -a 2 ｜+｜a 2 -a 3 ｜+ … ｜a 24 -a 25 ｜= （ ） A. 25 B. 32 C. 62 D. 72 二 、 多选题 9. 已知 {a n } 为等差数列 ， 满足 2a 2 -a 4 =1 ， {b n } 为等比数列 ， 满足 b 3 =-8 ， b 6 =64 ， 则下列 第五章章末测试 第 5 题图 44 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 说法正确的有 （ ） A. 数列 {a n } 的首项比公差多 1 B. 数列 {a n } 的首项比公差少 1 C. 数列 {b n } 的首项为 2 D. 数列 {b n } 的公比为 -2 10. 已知数列 {a n } 满足 a 1 =- 1 2 ， a n+1 = 1 1-a n ， 则下列各数是 {a n } 的项的有 （ ） A. -2 B. 2 3 C. 3 2 D. 3 11. 若 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和 ， 且 S n =2a n +1 （ n∈N * ）， 则下列说法正确的有 （ ） A. a 5 =-16 B. S 5 =-63 C. 数列 {a n } 是等比数列 D. 数列 {S n +1} 是等比数列 12. 两个等差数列 {a n } 和 {b n } 的公差分别为 d 1 和 d 2 ， 其前 n 项和分别为 S n 和 T n ， 则下 列命题中正确的有 （ ） A. 若 { S n 姨 } 为等差数列 ， 则 d 1 =2a 1 B. 若 {S n +T n } 为等差数列 ， 则 d 1 +d 2 =0 C. 若 {a n b n } 为等差数列 ， 则 d 1 =d 2 =0 D. 若 b n ∈N * ， 则 {a b n } 也为等差数列 ， 且公差为 d 1 +d 2 三 、 填空题 13. 已知数列 {a n } 为等差数列 ， 其前 n 项和为 S n ， 若 S 5 S 2 +S 3 =2 ， 则 a 5 a 2 +a 3 = . 14. 已知函数 f （ x ） = 2 x 2 x +1 （ x∈R ）， 等差数列 {a n } 满足 a 2 022 =0 ， 则 f （ a 1 ） +f （ a 2 ） +f （ a 3 ） + … + f （ a 4 043 ） = . 15. 在数列 {a n } 中 ， a 1 =1 ， a 2 =3 ， 且对任意的 n∈N * 都有 a n+2 =3a n+1 -2a n ， 则数列 {a n } 的通 项公式为 . 16. 设 {a n } 为等比数列 ， 其前 n 项和为 S n ， a 2 =2 ， S 2 -3a 1 =0 ， 则 {a n } 的通项公式为 ； 若 S n +a n >48 ， 则 n 的最小值为 . 四 、 解答题 17. （ 1 ） 在等差数列 {a n } 中 ， 已知 a 5 ＝10 ， a 12 ＝31 ， 求首项 a 1 与公差 d ； （ 2 ） 已知数列 {a n } 为等差数列 ， a 15 ＝8 ， a 60 ＝20 ， 求 a 75 . 45 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 18. 已知数列 {a n } 为等差数列 ， 其前 n 项和为 S n ， 且 a 5 ＝5 ， S 5 ＝15. （ 1 ） 求数列 {a n } 的通项公式 ； （ 2 ） 设 a n ＝log 2 b n ， 求数列 {b n } 的前 n 项和 T n . 19. 记 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和 ， 已知 2S n n +n=2a n +1. （ 1 ） 证明 ： {a n } 是等差数列 ； （ 2 ） 若 a 4 ， a 7 ， a 9 成等比数列 ， 求 S n 的最小值 . 20. 已知数列 {a n } 为单调递增的等比数列 ， 且 a 1 a 4 =32 ， a 2 +a 3 =12. （ 1 ） 求数列 {a n } 的通项公式 ； （ 2 ） 记 b n =a n log 2 a n ， 求数列 {b n } 的前 n 项和 T n . 46 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 21. 已知数列 {a n } 满足 a 1 = 1 2 且 a n+1 =3a n +1. （ 1 ） 证明 ： 数列 a n + 1 2 2 " 是等比数列 ； （ 2 ） 设数列 {b n } 满足 b 1 =1 ， b n+1 -b n =a n + 1 2 ， 求数列 {b n } 的通项公式 . 22. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 满足 a n +S n =2n. （ 1 ） 求证 ： 数列 {a n -2} 是等比数列 ， 并求数列 {a n } 的通项公式 ； （ 2 ） 若不等式 2λ-λ 2 > （ 2n-3 ）（ 2-a n ） 对任意的正整数 n 恒成立 ， 求实数 λ 的取值范围 . 47 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 （ 2 ） 设新建住房面积形成数列 {b n } ， 由题意可知 {b n } 是等比数列 ， 其中 b 1 =400 ， q=1.08 ， 则 b n =400× （ 1.08 ） n-1 . 由题意可知 a n >0.85b n ， 有 250+ （ n-1 ） ×50>400× （ 1.08 ） n-1 ×0.85. ∵n 是正整数 ， 则 n 的最小值为 6. ∴ 到 2030 年底 ， 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 11. 解 ： （ 1 ） 设此人在 A ， B 公司第 n 年的月工资分别为 a n 元 、 b n 元 ， 则 a n =3 000+ （ n-1 ） ×300=300n+2 700 （ n∈N * ）， b n =3 500× （ 1+5% ） n-1 =3 500×1.05 n-1 （ n∈N * ） . （ 2 ） 若此人在 A 公司连续工作 10 年 ， 则他的工资总收入为 12 （ a 1 +a 2 + … +a 10 ） =12× 3 000×10+ 10× （ 10-1 ） 2 ×30 0 # 0 = 522 000 （ 元 ） . 若此人在 B 公司连续工作 10 年 ， 则他的工资总收入为 12 （ b 1 +b 2 + … +b 10 ） =12× 3 500× （ 1-1.05 10 ） 1-1.05 ≈528 360 （ 元 ） . ∵522 000<528 360 ， ∴ 此人应该选择 B 公司 . 第五章章末测试 1. B 2. A 3. C 4. D 5. D 6. D 7. A 8. B 9. AD 10. BD 11. AC 12. AB 13. 22 19 14. 4 043 2 15. a n =2 n -1 16. a n =2 n-1 6 17. （ 1 ） a 1 =-2 ， d=3 （ 2 ） 24 18. （ 1 ） a n =n （ 2 ） T n =2 n+1 -2 19. （ 1 ） 证明 ： ∵ 2S n n +n=2a n +1 ， 即 2S n +n 2 =2na n +n ① ， 当 n≥2 时 ， 2S n-1 + （ n-1 ） 2 =2 （ n-1 ） a n-1 + （ n-1 ） ② ， ①-② 得 ， 2S n +n 2 -2S n-1 - （ n-1 ） 2 =2na n +n-2 （ n-1 ） a n-1 - （ n-1 ）， 即 2a n +2n-1=2na n -2 （ n-1 ） a n-1 +1 ， 即 2 （ n-1 ） a n -2 （ n-1 ） a n-1 =2 （ n-1 ）， ∴a n -a n-1 =1 ， n≥2 且 n∈N * ， ∴ {a n } 是以 1 为公差的等差数列 . （ 2 ） 解 ： 方法一 ： 二次函数的性质 由 （ 1 ） 可得 a 4 =a 1 +3 ， a 7 =a 1 +6 ， a 9 =a 1 +8 ， 又 ∵a 4 ， a 7 ， a 9 成等比数列 ， ∴a 7 2 =a 4 a 9 ， 即 （ a 1 +6 ） 2 = （ a 1 +3 ）（ a 1 +8 ）， 解得 a 1 =-12 ， ∴a n =n-13 ， ∴S n =-12n+ n （ n-1 ） 2 = 1 2 n 2 - 25 2 n= 1 2 n- 25 2 2 ' 2 - 625 8 ， ∴ 当 n=12 或 n=13 时 ， （ S n ） min =-78. 方法二 ： 【 最优解 】 邻项变号法 由 （ 1 ） 可得 a 4 =a 1 +3 ， a 7 =a 1 +6 ， a 9 =a 1 +8 ， 又 ∵a 4 ， a 7 ， a 9 成等比数列 ， ∴a 7 2 =a 4 a 9 ， 即 （ a 1 +6 ） 2 = （ a 1 +3 ）（ a 1 +8 ）， 解得 a 1 =-12 ， ∴a n =n-13 ， 即有 a 1 <a 2 < … <a 12 <0 ， a 13 =0. 则当 n=12 或 n=13 时 ， （ S n ） min =-78. 20. （ 1 ） a n =2 n （ 2 ） T n = （ n-1 ）· 2 n+1 +2 21. （ 1 ） 证明 ： ∵a n+1 =3a n +1 ， ∴a n+1 + 1 2 =3 a n + 1 2 2 ' ， 即 a n+1 + 1 2 a n + 1 2 =3 ， ∴ a n + 1 2 2 ) 是首项为 1 、 公比为 3 的等比数列 . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可知 a n + 1 2 =3 n-1 ， ∴a n =3 n-1 - 1 2 . ∵b n+1 -b n =a n + 1 2 ， ∴b n+1 -b n =3 n-1 ， ∴b 2 -b 1 =3 0 ， b 3 -b 2 =3 1 ， …， b n -b n-1 =3 n-2 ， n≥2 ， 各式相加得 b n -b 1 =1+3 1 +3 2 + … +3 n-2 = 1 （ 1-3 n-1 ） 1-3 = 3 n-1 -1 2 . 又 ∵b 1 =1 ， ∴b n = 3 n-1 -1 2 +1= 3 n-1 +1 2 . 又 ∵ 当 n=1 时 ， b 1 =1 满足上式 ， ∴b n = 3 n-1 +1 2 （ n∈N * ） . 22. 解 ： （ 1 ） ∵a n +S n =2n ① ， ∴a n-1 +S n-1 =2n-2 ， n≥2 ② ， ①-② 得 a n -a n-1 +a n =2 ， 即 2a n =a n-1 +2 ， 73 暑 假 作 业 新课程 变形可得 a n -2 a n-1 -2 = 1 2 . 又 ∵a 1 +S 1 =2 ， 得 a 1 =1 ， 故数列 {a n -2} 是以 -1 为首项 ， 1 2 为公比的等比数列 . 由等比数列的通项公式可得 a n -2=- 1 2 n-1 ， ∴a n =2- 1 2 n-1 （ n∈N * ） . （ 2 ） 令 f （ n ） = （ 2n-3 ）（ 2-a n ）， 则 f （ n ） = 2n-3 2 n-1 ， ∴f （ n+1 ） -f （ n ） = 2n-1 2 n - 2n-3 2 n-1 = 5-2n 2 n . 当 n=1 或 n=2 时 ， f （ n+1 ） -f （ n ） >0 ， 当 n≥3 ， n∈N * 时 ， f （ n+1 ） -f （ n ） <0. 又 ∵f （ 3 ） = 3 4 ， ∴f （ n ） max = 3 4 . ∵ 不等式 2姿-姿 2 > （ 2n-3 ）（ 2-a n ） 对任意的正整数 n 恒成立 ， ∴2姿-姿 2 > 3 4 ， 解得 1 2 <姿< 3 2 . 第六章 导数及其应用 6.1 导 数 6.1.1 函数的平均变化率 1. D 2. A 3. A 4. B 5. A 6. D 7. ABD 8. －1 9. 12 10. （ 1 ） 总利润为 5 000 600 元 ， 平均利润为 5 000.6 元 / 台 （ 2 ） 2 000 元 / 台 （ 3 ） c′ （ 1 000 ） =3 000 ， c′ （ 1 500 ） =1 000. 6.1.2 导数及其几何意义 1. B 2. C 3. B 4. C 5. D 6. D 7. D 8. BD 9. -1 10. 5x-y+2=0 11. 3 e 2 e 12. （ 1 ） a= 1 4 （ 2 ） （ -∞ ， 5 2 姨 -1 ） 6.1.3 基本初等函数的导数 1. B 2. B 3. A 4. B 5. B 6. B 7. BCD 8. -3 9. 1 10. 1 11. f （ x ） =-cosx （ 答案不唯一 ） f （ x ） =-cosx+1 （ 答案不唯一 ） 12. 3x+y-20=0 13. （ 1 ） 3a＋1 （ 2 ） （ -∞ ， 0 ） 6.1.4 求导法则及其应用 1. B 2. B 3. A 4. D 5. B 6. D 7. C 8. D 9. AB 10. 8 11. 2 3ln3 12. （ 1 ） y′=2xsinx+x 2 cosx （ 2 ） y′= 1 x - 1 x 2 （ 3 ） y′=tanx+ x cos 2 x （ 4 ） y′=3x 2 +12x+11 （ 5 ） y′=18x 2 -8x+9 （ 6 ） y′=- sinx+cosx e x 13. 1 2 ， ， % 1 2 022 14. 解 ： 选 ①. （ 1 ） f （ x ） =x 3 -3x 2 +3. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， f ′ （ 1 ） =-3 ， f （ 1 ） =1 ， 则有切线 l 的方程为 y-1=-3 （ x-1 ）， 当 x=0 时 ， y=4 ， 当 y=0 时 ， x= 4 3 ， ∴ 切线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S= 1 2 ×4× 4 3 = 8 3 . 选 ②. （ 1 ） f （ x ） =2x 2 +2x+1. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， f ′ （ x ） =4x+2 ， 则 f ′ （ 1 ） =6 ， 又 f （ 1 ） =5 ， 则有切线 l 的方程为 y-5=6 （ x-1 ）， 当 x=0 时 ， y=-1 ， 当 y=0 时 ， x= 1 6 ， ∴ 切线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S= 1 2 × 1 6 ×1= 1 12 . 74