第四章 概率与统计 章末测试-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 一 、 单选题 1. 某单位为了了解办公楼用电量 y （ 度 ） 与气温 x （ ℃ ） 之间的关系 ， 随机统计了四个工 作日用电量与当天平均气温 ， 并制作了对照表 . 由表中数据得到线性回归方程 y=-2x+a ， 当气温为 -4 ℃ 时 ， 预测用电量为 （ ） A. 66 度 B. 68 度 C. 70 度 D. 72 度 2. 2022 年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可爱 ， 某教师用吉祥物的小挂件作 为奖品鼓励学生学习 ， 设计奖励方案如下 ： 在不透明的盒子中放有大小 、 形状完全相同的 6 张卡片 ， 上面分别标有编号 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 现从中不放回地抽取两次卡片 ， 每次抽取一 张 ， 只要抽到的卡片编号大于 4 就可以中奖 ， 已知第一次抽到卡片中奖 ， 则第二次抽到卡片 中奖的概率为 （ ） A. 1 15 B. 1 5 C. 1 3 D. 2 5 3. 下列说法正确的是 （ ） A. 在做回归分析时 ， 残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 某地气象局预报 ： 6 月 9 日本地降水概率为 90% ， 结果这天没下雨 ， 这表明天气预报 并不科学 C. 数据 2 ， 3 ， 4 ， 5 的方差是数据 4 ， 6 ， 8 ， 10 的方差的一半 D. 在回归直线方程 y=0.1x+10 中 ， 当观测值每增加 1 个单位时 ， 预测值增加 0.1 个单位 4. 已知随机变量 X 的分布列如右表 ， 若 E （ X ） = 5 3 ， 则 m= （ ） A. 1 6 B. 1 3 C. 2 3 D. 5 6 5. 设随机变量 X~B （ n ， p ）， 当正整数 n 很大 ， p 很小 ， np 不大时 ， X 的分布接近泊松分 布 ， 即 P （ X=i ） ≈ e -np （ np ） i i ！ （ n∈N ） . 现需 100 个正品元件 ， 该元件的次品率为 0.01 ， 若要有 95% 以 上的概率购得 100 个正品 ， 则至少需购买的元件个数为 （ ） 已知 1 e =0.367 879 9 $ … A. 100 B. 101 C. 102 D. 103 6. 袋中有 5 个球 ， 其中红 、 黄 、 蓝 、 白 、 黑球各一个 ， 甲 、 乙两人按序从袋中有放回地 随机摸取一球 ， 记事件 A ： 甲和乙至少一人摸到红球 ， 事件 B ： 甲和乙摸到的球颜色不同 ， 第四章章末测试 气温 /℃ 18 13 10 -1 用电量 / 度 24 34 38 64 X 1 2 P m n 23 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 则条件概率 P （ B|A ） = （ ） A. 9 25 B. 2 5 C. 4 5 D. 8 9 7. 将 x ， x ， y ， y ， z ， z 填入 2 行 3 列的表格中 （ 注 ： 横为行 ， 竖为列 ）， 每格填一个字 母 ， 若随机变量 X 表示列字母相同的数量 ， 则 （ ） A. X 的可能取值有 0 ， 1 ， 2 ， 3 B. P （ X=0 ） = 1 3 C. E （ X ） = 3 5 D. D （ X ） = 12 25 8. 某中学志愿者小分队中有 3 名男同学 、 2 名女同学 ， 现随机选派 2 名同学前往社区参 加志愿服务活动 ， 在已知抽取的 1 名志愿者是女同学的情况下 ， 2 名志愿者都是女同学的概 率是 （ ） A. 1 4 B. 1 5 C. 1 7 D. 1 10 二 、 多选题 9. 下列命题正确的有 （ ） A. 在回归分析中 ， 相关指数 R 2 越小 ， 说明回归效果越好 B. 已知 P （ 字 2 ≥3.841 ） =0.05 ， 若根据 2×2 列联表得到 字 2 的观测值为 4.1 ， 则有 95% 的把握 认为两个分类变量有关 C. 已知由一组样本数据 （ x i ， y i ） （ i=1 ， 2 ， …， n ） 得到的回归直线方程为 y=4x+20 ， 且 1 n n i=1 移 x i =10 ， 则这组样本数据中一定有 （ 10 ， 60 ） D. 若随机变量 X~N （ μ ， 4 ）， 则不论 μ 取何值 ， P （ μ-4<X<μ+6 ） 都为定值 10. 已知甲盒中有 1 个白球和 2 个黑球 ， 乙盒中有 2 个白球和 3 个黑球 ， 从乙盒中随机 抽取 i （ i=1 ， 2 ） 个球放入甲盒中 . 放入 i 个球后 ， 甲盒中含有黑球的个数记为 x i （ i=1 ， 2 ）， 现从甲盒中取 1 个球是黑球的概率记为 P i （ i=1 ， 2 ）， 则 （ ） A. P 1 <P 2 B. P 1 >P 2 C. E （ x 2 ） <E （ x 1 ） D. E （ x 2 ） >E （ x 1 ） 11. 已知随机事件 A ， B 发生的概率分别为 P （ A ） =0.3 ， P （ B ） =0.6 ， 下列说法正确的有 （ ） A. 若 P （ AB ） =0.18 ， 则 A ， B 相互独立 B. 若 A ， B 相互独立 ， 则 P （ B|A ） =0.6 C. 若 P （ B|A ） =0.4 ， 则 P （ AB ） =0.12 D. 若 A哿B ， 则 P （ A|B ） =0.3 24 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 12. 中国蹴鞠已有两千三百多年的历史 ， 于 2004 年被国际足联正式确认为世界足球运动 的起源 . 为弘扬中华传统文化 ， 某市四所高中各自组建了蹴鞠队 （ 分别记为甲队 、 乙队 、 丙 队 、 丁队 ） 进行单循环比赛 （ 即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛 ）， 最后按各队 的积分排列名次 （ 积分多者名次靠前 ， 积分同者名次并列 ）， 积分规则为每队胜一场得 3 分 ， 平一场得 1 分 ， 负一场得 0 分 . 若每场比赛中两队胜 、 平 、 负的概率都为 1 3 ， 则在比赛结束 时 （ ） A. 四支球队的积分总和可能为 15 分 B. 甲队胜 3 场且乙队胜 1 场的概率为 2 3 5 C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 D. 丙队在输了第一场的情况下 ， 其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 8 3 5 三 、 填空题 13. 已知甲每次来渝乘坐飞机和高铁的概率分别为 0.6 和 0.4 ， 飞机和高铁正点到达的概 率分别为 0.8 和 0.9 ， 若甲已正点抵渝 ， 则甲此次来渝乘坐高铁的概率为 . 14. A ， B 分别是事件 A ， B 的对立事件 ， 如果 A ， B 两个事件独立 ， 那么以下四个概率 等式一定成立的是 . （ 填写所有成立的等式序号 ） ①P （ A∪B ） =P （ A ） +P （ B ） ②P （ A∩B ） =P （ A ） P （ B ） ③P （ A∩B ） = ［ １-P （ A ）］［ １-P （ B ）］ ④P （ A∪B ） =P （ A ） +P （ B ） 15. 在一次抽奖活动中 ， 某同学在标有 “ 1 ” “ 1 ” “ 4 ” “ 5 ” “ 1 ” “ 4 ” 的六张卡片中 依次不放回地抽取一张卡片 ， 直到抽完全部卡片 . 记事件 A i （ i=1 ， 2 ， 3 ） 表示第 i 次抽到标 号为 “ 1 ” 的卡片 ， X 表示抽到标号为 “ 5 ” 的卡片需要的次数 ， 则下列说法正确的是 （ 填序号 ） . ①P （ A 1 ） =P （ A 2 ） ②P （ A 1 |A 2 ） = 2 5 ③E （ X ） = 7 2 16. 已知一箱产品中含有 2 件次品和 3 件正品 ， 现需要通过检测将其区分 . 每次随机检测 一件产品 ， 检测后不放回 ， 直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束 ， 则第一次 检测出的是次品且第二次检测出正品的概率是 ； 已知每检测一件产品需花费 100 元 ， 设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 （ 元 ）， 则 E （ X ） = . 四 、 解答题 17. 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口 ， 设各路口信号灯工作相互独立 ， 且在各路口遇 到红灯的概率分别为 1 2 ， 1 3 ， 1 4 . 25 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 （ 1 ） 求一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯的概率 ； （ 2 ） 求一辆车从甲地到乙地遇到一个红灯的概率 ； （ 3 ） 若有 2 辆车独立地从甲地到乙地 ， 求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 . 18. 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示 ， 其中成绩分组区间是 ［ 40 ， 50 ）， ［ 50 ， 60 ）， ［ 60 ， 70 ）， ［ 70 ， 80 ）， ［ 80 ， 90 ）， ［ 90 ， 100 ］ . （ 1 ） 求图中 x 的值和学生成绩的中位数 ； （ 2 ） 从成绩低于 60 分的学生中随机选取 2 人 ， 该 2 人中成绩在 50 分以下的人数记为 X ， 求 X 的分布列与数学期望 . 19. 某单位有 A ， B 两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务 ， 甲 、 乙两位员工每个工作日 午餐和晚餐都在单位就餐 ， 近 100 个工作日选择餐厅就餐情况统计如下 ： 假设甲 、 乙员工选择餐厅相互独立 ， 用频率估计概率 . （ 1 ） 分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择 A 餐厅就餐的概率 ， 乙员工午餐和晚餐都 选择 B 餐厅就餐的概率 ； 第 18 题图 选择餐厅情况 （ 午餐 ， 晚餐 ） （ A ， A ） （ A ， B ） （ B ， A ） （ B ， B ） 甲员工 30 天 20 天 40 天 10 天 乙员工 20 天 25 天 15 天 40 天 40 50 60 70 80 90 频率 组距 O 100 成绩 0.030 0.018 0.006 0.026 x 26 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 （ 2 ） 记 X 为甲 、 乙两员工在一天中就餐餐厅的个数 ， 求 X 的分布列和数学期望 E （ X ）； （ 3 ） 试判断甲 、 乙员工在晚餐选择 B 餐厅就餐的条件下 ， 哪位员工更有可能午餐选择 A 餐厅就餐 ， 并说明理由 . 20. 冰壶是 2022 年 2 月在中国举行的第 24 届冬季奥运会的比赛项目之一 . 冰壶比赛的场 地如图所示 ， 其中左端 （ 投掷线 MN 的左侧 ） 有一个发球区 ， 运动员在发球区边沿的投掷线 MN 将冰壶掷出 ， 使冰壶沿冰道滑行 ， 冰道的右端有一圆形的营垒 ， 以场上冰壶最终静止时 距离营垒区圆心 O 的远近决定胜负 . 甲 、 乙两人进行投掷冰壶比赛 ， 规定冰壶的重心落在圆 O 中 ， 得 3 分 ， 冰壶的重心落在圆环 A 中 ， 得 2 分 ， 冰壶的重心落在圆环 B 中 ， 得 1 分 ， 其 余情况均得 0 分 . 已知甲 、 乙投掷冰壶的结果互不影响 ， 甲 、 乙得 3 分的概率分别为 1 3 ， 1 4 ； 甲 、 乙得 2 分的概率分别为 2 5 ， 1 2 ； 甲 、 乙得 1 分的概率分别为 1 5 ， 1 6 . （ 1 ） 求甲 、 乙两人所得分数相同的概率 ； （ 2 ） 设甲 、 乙两人所得的分数之和为 X ， 求 X 的分布列和期望 . 第 20 题图 发球区 营垒区 M N O P A B A 27 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 21. 某企业为改进生产 ， 对某产品生产成本等相关数据进行统计 . 现收集了该产品的成本 费 y （ 万元 /t ） 及同批次产品生产数量 x （ t ） 的 20 组数据 . 分别用两种模型 ①y=bx+a ， ②y= d x +c 进行拟合 ， 据收集到的数据 ， 计算得到如下值 ： 表中 t i = 1 x i ， t = 1 20 20 i=1 移 t i . 若用 R 2 =1- n i=1 移 （ y i -y ） 2 n i=1 移 （ y i -y ） 2 刻画回归效果 ， 得到模型 ①② 的 R 2 值分别为 R 1 2 =0.789 1 ， R 2 2 = 0.948 5. （ 1 ） 利用 R 1 2 和 R 2 2 比较模型 ①② 的拟合效果 ， 应选择哪个模型 ？ 请说明理由 . （ 2 ） 根据 （ 1 ） 中所选择的模型 ， 求 y 关于 x 的回归方程 ， 并求同批次产品生产数量为 25 t 时 y 的预报值 . 附 ： 对于一组数据 （ x 1 ， y 1 ）， （ x 2 ， y 2 ）， …， （ x n ， y n ）， 其回归直线 y = a + β x 的斜率和截 距的最小二乘法估计分别为 β = n i=1 移 （ x i -x ）（ y i -y ） n i=1 移 （ x i -x ） 2 ， a =y- β x. x y t 20 i=1 移 （ x-x ） 2 20 i=1 移 （ t i -t ） 2 20 i=1 移 （ y i -y ）（ x i -x ） 20 i=1 移 （ y i -y ）（ t i -t ） 14.5 10 0.08 665 0.04 -450 4 28 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 22. 某电视台举行冲关直播活动 ， 该活动共有四关 ， 只有一等奖和二等奖两个奖项 ， 参 加活动的选手从第一关开始依次通关 ， 只有通过本关才能冲下一关 . 已知第一关的通过率为 0.7 ， 第二关 、 第三关的通过率均为 0.5 ， 第四关的通过率为 0.2 ， 四关全部通过可以获得一等 奖 （ 奖金为 500 元 ）， 通过前三关就可以获得二等奖 （ 奖金为 200 元 ）， 如果获得二等奖又获 得一等奖 ， 奖金可以累加 . 假设选手是否通过每一关相互独立 ， 现有甲 、 乙两位选手参加本 次活动 . （ 1 ） 求甲获得奖金的期望 ； （ 2 ） 已知甲和乙最后所得奖金之和为 900 元 ， 求甲获得一等奖的概率 . 29 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 4.3.2 独立性检验 1. B 2. D 3. D 4. AD 5. BC 6. 电离辐射的剂量与人体受损程度无关 7. ②③ 8. 解 ： （ 1 ） 补充完整表格略 ， 没有 99.9% 的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关 . （ 2 ） ∴E （ X ） =0× 1 84 +1× 3 14 +2× 15 28 +3× 5 21 =2. 第四章章末测试 1. B 2. B 3. D 4. B 5. D 6. D 7. C 8. C 9. BD 10. BD 11. ABC 12. ACD 13. 3 7 14. ②③ 15. ①②③ 16. 3 10 350 17. （ 1 ） 1 4 （ 2 ） 11 24 （ 3 ） 11 48 18. 解 ： （ 1 ） 由频率分布直方图知 （ 0.006+2x+0.018+0.026+0.030 ） ×10=1 ， 解得 x=0.010. 设成绩的中位数为 m ， 有 （ 0.006+0.010+0.018 ） ×10+ （ m-70 ） ×0.030=0.5 ， 解得 m=75 1 3 . （ 2 ） 由频率分布直方图知成绩低于 60 分的学生人数为 （ 0.010+0.006 ） ×10×50=8 ， 成绩在 50 分以下的人数为 0.006×10×50=3. 因此 X 可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ， P （ X=0 ） = C 0 3 C 2 5 C 2 8 = 5 14 ， P （ X=1 ） = C 1 3 C 1 5 C 2 8 = 15 28 ， P （ X=2 ） = C 2 3 C 0 5 C 2 8 = 3 28 ， ∴X 的分 布列为 故 X 的数学期望为 E （ X ） =0× 5 14 +1× 15 28 +2× 3 28 = 3 4 . 19. 解 ： （ 1 ） 设事件 C= “ 一天中甲员工午餐和晚餐都选择 A 餐厅就餐 ”， 事件 D= “ 一天中乙员工午餐和晚餐都 选择 B 餐厅就餐 ” . 由于 100 个工作日中甲员工午餐 、 晚餐都选择 A 餐厅就餐的天数为 30 ， 乙员工午餐 、 晚餐都选择 B 餐厅就餐的天数为 40 ， ∴P （ C ） = 30 100 =0.3 ， P （ D ） = 40 100 =0.4. （ 2 ） 甲员工午餐 、 晚餐都选择 A 餐厅就餐的概率为 0.3 ， 甲员工午餐 、 晚餐都选择 B 餐厅就餐的概率为 0.1 ； 乙 员工午餐 、 晚餐都选择 A 餐厅就餐的概率为 0.3 ， 乙员工午餐 、 晚餐都选择 B 餐厅就餐的概率为 0.4. 依题意 X 的所 有可能取值为 1 ， 2 ， ∴P （ X=1 ） =0.3×0.2+0.1×0.4=0.1 ， P （ X=2 ） =1-P （ X=1 ） =0.9. ∴X 的分布列为 ∴E （ X ） =1×0.1+2×0.9=1.9. （ 3 ） 设 N 1 = “ 甲员工晚餐选择 B 餐厅就餐 ”， N 2 = “ 乙员工晚餐选择 B 餐厅就餐 ”， M 1 = “ 甲员工在午餐时选择 A 餐厅就餐 ”， M 2 = “ 乙员工在午餐时选择 A 餐厅就餐 ”， 则 P （ M 1 |N 1 ） = 20 30 = 2 3 ， P （ M 2 |N 2 ） = 25 65 = 5 13 . ∵P （ M 1 |N 1 ） >P （ M 2 |N 2 ）， ∴ 在已知晚餐选择 B 餐厅就餐的条件下 ， 甲员工更有可能在午餐时选择 A 餐厅就餐 . 20. 解 ： （ 1 ） 由题意知甲得 0 分的概率为 1- 1 3 - 2 5 - 1 5 = 1 15 ， 乙得 0 分的概率为 1- 1 4 - 1 2 - 1 6 = 1 12 ， ∴ 甲 、 乙两 X 0 1 2 3 P 1 84 3 14 15 28 5 21 X 0 1 2 P 5 14 15 28 3 28 X 1 2 P 0.1 0.9 69 暑 假 作 业 新课程 人所得分数相同的概率为 1 3 × 1 4 + 2 5 × 1 2 + 1 5 × 1 6 + 1 15 × 1 12 = 29 90 . （ 2 ） X 可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 则 P （ X=0 ） = 1 15 × 1 12 = 1 180 ， P （ X=1 ） = 1 15 × 1 6 + 1 5 × 1 12 = 1 36 ， P （ X=2 ） = 1 15 × 1 2 + 1 5 × 1 6 + 2 5 × 1 12 = 1 10 ， P （ X=3 ） = 1 15 × 1 4 + 1 5 × 1 2 + 2 5 × 1 6 + 1 3 × 1 12 = 19 90 ， P （ X=4 ） = 1 5 × 1 4 + 2 5 × 1 2 + 1 3 × 1 6 = 11 36 ， P （ X=5 ） = 2 5 × 1 4 + 1 3 × 1 2 = 4 15 ， P （ X=6 ） = 1 3 × 1 4 = 1 12 ， ∴ 随机变量 X 的分布列为 ∴E （ X ） =0× 1 180 +１× 1 36 +２× 1 10 +３× 19 90 +４× 11 36 +５× 4 15 +６× 1 12 = 47 12 . 21. 解 ： （ 1 ） 应该选择模型 ②. 由题意可知 ， R 2 2 >R 1 2 ， 则模型 ② 中样本数据的残差平方和 n i=1 移 （ y i -y 赞 ） 2 比模型 ① 中样 本数据的残差平方和小 ， 即模型 ② 拟合效果好 . （ 2 ） 由已知 t= 1 x ， 成本费 y 与 t 可用线性回归来拟合 ， 有 y 赞 =d 赞 t+c 赞 . 由已知可得 ， d 赞 = 20 i=1 移 （ y i -y）（t i -t ） 20 i=1 移 （ t i -t ） 2 = 4 0.04 =100 ， ∴ c 赞 =y-d 赞 t=10-100×0.08=2 ， 则 y 关于 t 的线性回归方程为 y 赞 =100t+2 ， ∴ 成本费 y 与同批次产品生产数量 x 的回归方程为 y 赞 = 100 x +2. 当 x=25 t 时 ， y 赞 = 100 25 +2=6 （ 万元 /t ）， ∴ 同批次产品生产数量为 25 t 时 y 的预报值为 6 万元 /t. 22. 解 ： （ 1 ） 设甲获得的奖金为 X 元 ， 则 X 可能的取值为 0 ， 200 ， 700. P （ X=200 ） =0.7×0.5×0.5×0.8=0.14 ， P （ X=700 ） =0.7×0.5×0.5×0.2=0.035 ， P （ X=0 ） =1-0.14-0.035=0.825 ， ∴ 甲获得的奖 金的概率分布列为 ∴E （ X ） =0.825×0+0.14×200+0.035×700=52.5. （ 2 ） 设事件 A= “ 甲和乙最后所得奖金之和为 900 元 ”， 设事件 B= “ 甲选手获得一等奖 ” . 由 （ 1 ） 知获得二等奖的概率为 0.14 ， 获得一等奖的概率为 0.035 ， ∴P （ A ） =0.14×0.035×2=0.009 8 ， P （ AB ） =0.14×0.035=0.004 9 ， ∴ 所求的概率 P （ B|A ） = P （ AB ） P （ A ） = 0.035×0.14 0.035×0.14×2 = 1 2 . 第五章 数 列 ５.１ 数列基础 5.1.1 数列的概念 1. C 2. A 3. B 4. A 5. B 6. A 7. ABC 8. 3 2 9. 7 10. 13 17 5 11. （ 1 ） -6 （ 2 ） 是 ， 第 16 项 X 0 1 6 P 1 180 1 36 1 12 2 1 10 5 4 15 4 11 36 3 19 90 X 700 P 0.035 0 0.825 200 0.14 70