第六章 导数及其应用 章末测试-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 一 、 单选题 1. 曲线 y=- 1 x 在点 1 2 ， - - " 2 处的切线方程是 （ ） A. y=-4x B. y=4x-4 C. y=4x+4 D. y=-4x+4 2. 函数 f （ x ） =2x-sinx 在 （ -∞ ， +∞ ） 上是 （ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 不确定 3. 函数 f （ x ） = 1 3 x 3 -x 2 +ax-5 在区间 ［ -1 ， 2 ］ 上不单调 ， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A. （ -∞ ， -3 ］ B. （ -3 ， 1 ） C. ［ 1 ， +∞ ） D. （ -∞ ， -3 ］ ∪ ［ 1 ， +∞ ） 4. 已知函数 f （ x ） 的导函数为 f ′ （ x ）， 且满足 f （ x ） =lnx+x 2 f ′ （ 1 ） +x ， 则 f ′ （ 3 ） = （ ） A. 32 3 B. - 32 3 C. 15 2 D. - 15 2 5. 已知函数 f （ x ） =2 x -x-1 ， 则不等式 f （ x ） >0 的解集是 （ ） A. （ -1 ， 1 ） B. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） C. （ 0 ， 1 ） D. （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） 6. 下列求导运算正确的是 （ ） A. （ a x -1 ） ′=a x B. 1 x 2 - " ′ =- 1 x 3 C. （ lnx+3 ） ′= 1 x +3 D. （ cosx ） ′=-sinx 7. 函数 f （ x ） =x （ lnx ） 2 的减区间是 （ ） A. 0 ， 1 e 2 - " B. 0 ， 1 e - " C. 1 e 2 ， - " 1 D. 1 e ， - " 1 8. 设函数 f （ x ） 在 R 上可导 ， 其导函数为 f ′ （ x ）， 且函数 y= （ 2-x ） f ′ （ x ） 的图象如图所示 ， 则下列结论中一定成立的是 （ ） A. 函数 f （ x ） 有极大值 f （ 2 ） 和极小值 f （ 1 ） B. 函数 f （ x ） 有极大值 f （ -2 ） 和极小值 f （ 1 ） C. 函数 f （ x ） 有极大值 f （ 2 ） 和极小值 f （ -2 ） D. 函数 f （ x ） 有极大值 f （ -2 ） 和极小值 f （ 2 ） 二 、 多选题 9. 若函数 f （ x ） 的导函数的部分图象如图所示 ， 则 （ ） A. x 1 是 f （ x ） 的一个极大值点 B. x 2 是 f （ x ） 的一个极小值点 第六章章末测试 x y O 1 2-2 第 8 题图 x y O x 1 x 2 x 3 x 4 第 9 题图 62 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 C. x 3 是 f （ x ） 的一个极大值点 D. x 4 是 f （ x ） 的一个极小值点 10. 已知 e 是自然对数的底数 ， 则下列不等关系中不正确的有 （ ） A. ln2> 2 e B. ln3< 3 e C. ln仔> 仔 e D. ln3 ln仔 < 3 仔 11. 已知函数 f （ x ） =lnx- x+1 x-1 ， 下列结论成立的有 （ ） A. 函数 f （ x ） 在定义域内无极值 B. 函数 f （ x ） 在点 A （ 2 ， f （ 2 ）） 处的切线方程为 y= 5 2 x+ln2-8 C. 函数 f （ x ） 在定义域内有且仅有一个零点 D. 函数 f （ x ） 在定义域内有两个零点 x 1 ， x 2 ， 且 x 1 · x 2 =1 12. 给定函数 f （ x ） = （ x+1 ） e x ， 下列说法正确的有 （ ） A. 函数 f （ x ） 在区间 （ -∞ ， -2 ） 上单调递减 ， 在区间 （ -2 ， +∞ ） 上单调递增 B. 函数 f （ x ） 的图象与 x 轴有两个交点 C. 当 - 1 e 2 <a<0 时 ， 方程 f （ x ） =a 有两个不同的解 D. 若方程 f （ x ） =a 只有一个解 ， 则 a≥0 三 、 填空题 13. 物体的运动方程为 s=6t+7t 2 （ s 的单位 ： m ， t 的单位 ： s ）， 则此物体在 t＝10 的瞬时速 度是 . 14. 设函数 f （ x ） = e x x+a . 若 f ′ （ 1 ） = e 4 ， 则 a= . 15. 若函数 f （ x ） =x 3 -3x-1 在区间 （ a-2 ， 2a+3 ） 上有最大值 ， 则实数 a 的取值范围是 . 16. 若函数 f （ x ） = （ x 2 +mx ） e x 的单调递减区间是 - 3 2 ， ， # 1 ， 则其单调递增区间为 ， 实数 m 的值为 . 四 、 解答题 17. 已知函数 f （ x ） =3 x ， 求曲线 y=f （ x ） 在点 （ 2 ， 9 ） 处的切线方程 . 63 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 18. 已知函数 f （ x ） =3x 3 -9x+5. （ 1 ） 求函数 f （ x ） 的单调递减区间 ； （ 2 ） 求函数 f （ x ） 在 ［ -3 ， 3 ］ 上的最大值和最小值 . 19. 已知函数 f （ x ） =e x -ax-1. （ 1 ） 当 a=2 时 ， 求曲线在 （ 1 ， f （ 1 ）） 处的切线方程 ； （ 2 ） 若 g （ x ） =f （ x ） -x 2 ， 且 g （ x ） 在 ［ 0 ， +∞ ） 上的最小值为 0 ， 求 a 的取值范围 . 20. 已知函数 f （ x ） = x 2 -a e x ， 从 ①x=-1 是函数 f （ x ） 的一个极值点 ， ② 函数 f （ x ） 的图象在 x=0 处的切线方程为 3x-y-3=0 这两个条件中任选一个作为已知条件 ， 并回答下列问题 . （ 1 ） 求 a 的值 ； （ 2 ） 求 f （ x ） 的单调区间 . 64 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 21. 已知函数 f （ x ） =x 3 +ax 2 -6x+1 （ a∈R ）， 且 f ′ （ 1 ） =-6. （ 1 ） 求函数 f （ x ） 的图象在点 （ 1 ， f （ 1 ）） 处的切线方程 ； （ 2 ） 求函数 f （ x ） 在区间 ［ -2 ， 4 ］ 上的值域 . 22. 已知函数 f （ x ） =e x -ax. （ 1 ） 求函数 f （ x ） 的单调性 ； （ 2 ） 当 a>0 时 ， 记函数 f （ x ） 的最小值为 g （ a ）， 证明 ： g （ a ） ≤1. 65 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性 1. B 2. A 3. B 4. B 5. B 6. C 7. B 8. AC 9. - 1 9 ， + ! " ∞ 10. （ -5 ， 0 ） 11. - 1 4 ， + " ∞ ∞ 12. -1 （ -∞ ， 0 ］ 13. （ 1 ） （ -∞ ， 3 ］ （ 2 ） a=3 14. 当 a≤0 时 ， 函数 f （ x ） 在 （ -∞ ， +∞ ） 上单调递增 ； 当 a>0 时 ， 函数 f （ x ） 在 （ -∞ ， lna ） 上单调递减 ， 在 （ lna ， +∞ ） 上单调递增 . 6.2.2 导数与函数的极值 、 最值 1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A 7. B 8. D 9. BC 10. （ -1 ， 0 ） 11. -2-sin2 12. （ 1 ） f （ x ） 单调增区间为 （ 0 ， 1 ）， 单调减区间为 （ 1 ， +∞ ） （ 2 ） （ -∞ ， 0 ］ 6.3 利用导数解决实际问题 1. A 2. B 3. B 4. B 5. A 6. AC 7. 17 姨 -1 8 8. π 2 -1+ 2 2 姨 3 9. 26π 27 10. 解 ： 如图 ， 设梯形的上底长为 2x （ 0<x<r ）， 高为 h ， 面积为 S. ∵h= r 2 -x 2 姨 ， ∴S= （ r+x）· r 2 -x 2 姨 ， 得 S′= r 2 -x 2 姨 - x （ r+x ） r 2 -x 2 姨 = （ r-2x ）（ r+x ） r 2 -x 2 姨 . 令 S′=0 ， 解得 x= r 2 . 当 x∈ 0 ， r 2 ! " 时 ， S′>0 ； 当 x∈ r 2 ， ! " r 时 ， S′<0. 因此当 x= r 2 时 ， S 取极大值也是最大值 ， 此时梯形的上底长为 r. 第六章章末测试 1. B 2. A 3. B 4. B 5. D 6. D 7. C 8. B 9. AB 10. ACD 11. ABD 12. AC 13. 146 m/s 14. 1 15. -2<a≤- 1 2 16. -∞ ， - 3 2 ! " ， （ 1 ， +∞ ） - 3 2 17. y= （ 9ln3 ） x+ （ 9-18ln3 ） 18. （ 1 ） （ -1 ， 1 ） （ 2 ） 最大值为 59 ， 最小值为 -49 19. 解 ： （ 1 ） （ e-2 ） x-y-1=0. （ 2 ） ∵g （ 0 ） =f （ 0 ） -0=0 ， ∴ 原条件等价于在 （ 0 ， +∞ ） 上 ， g （ x ） =e x -x 2 -ax-1≥0 恒成立 ， 即 a≤ e x -x 2 -1 x 在 （ 0 ， +∞ ） 上恒成立 . 令 h （ x ） = e x -x 2 -1 x ， 则 h′ （ x ） = x （ e x -2x ） - （ e x -x 2 -1 ） x 2 = （ x-1 ）（ e x -x-1 ） x 2 . 令 m （ x ） =e x -x-1 ， 则 m′ （ x ） =e x -1 在 （ 0 ， +∞ ） 上 m′ （ x ） >0 ， ∴ 在 （ 0 ， +∞ ） 上 ， e x -x-1>0 ， 故在 （ 0 ， 1 ） 上 ， h′ （ x ） <0 ； 在 （ 1 ， +∞ ） 上 ， h′ （ x ） >0 ， ∴h （ x ） 的最小值为 h （ 1 ） =e-2 ， ∴a≤e-2. 20. 解 ： （ 1 ） 选 ①. 由题意知 ， f ′ （ x ） = 2x · e x -e x （ x 2 -a ） （ e x ） 2 = 2x-x 2 +a e x ， 依题意得 f ′ （ -1 ） =-e （ 1+2-a ） =0 ， 即 a=3 ， 经检验 a=3 符合题意 . 选 ②. 由题意知 ， f ′ （ x ） = 2x · e x -e x （ x 2 -a ） （ e x ） 2 = 2x-x 2 +a e x ， ∵ 函数 f （ x ） 的图象在 x=0 处的切线方程为 3x-y-3=0 ， ∴ f ′ （ 0 ） = a=3 ， 得 a=3. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 f （ x ） =e -x （ x 2 -3 ）， f ′ （ x ） =-e -x （ x 2 -2x-3 ） =-e -x （ x-3 ）（ x+1 ）， 令 f ′ （ x ） =0 得 ， x=-1 或 x=3. 列表 ： 2x x r h 第 10 题答图 75 暑 假 作 业 新课程 ∴ f （ x ） 的单调递减区间为 （ -∞ ， -1 ） 和 （ 3 ， +∞ ）， 单调递增区间为 （ -1 ， 3 ） . 21. （ 1 ） 12x+2y-1=0 （ 2 ） ［ -9 ， 17 ］ 22. 解 ： （ 1 ） a≤0 时 ， f （ x ） 在 （ -∞ ， +∞ ） 上单调递增 ； a>0 时 ， f （ x ） 在 （ -∞ ， lna ） 上单调递减 ， 在 （ lna ， +∞ ） 上单调递增 . （ 2 ） 证明 ： 由 （ 1 ） 得 f （ x ） 的最小值为 g （ a ） =e lna -alna=a-alna （ a>0 ） . 设 g （ x ） =x-xlnx ， x>0 ， 则 g′ （ x ） =-lnx ， 令 g′ （ x ） =0 ， 得 x=1 ， 当 g′ （ x ） >0 时 ， 0<x<1 ； 当 g′ （ x ） <0 时 ， x>1. ∴g （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上单调递增 ， 在 （ 1 ， +∞ ） 上单调递减 ， ∴g （ x ） 的最大值为 g （ 1 ） =1-ln1=1 ， ∴g （ a ） ≤1. x （ -∞ ， -1 ） -1 （ -1 ， 3 ） 3 （ 3 ， +∞ ） f ′ （ x ） - 0 + 0 - f （ x ） 坨 -2e 坭 6 e 3 坨 76