6.3 利用导数解决实际问题-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 已知球体的半径为 3 ， 当球内接正四棱锥的体积最大时 ， 正四棱锥的高和底面边长的 比值是 （ ） A. 1 B. 2 姨 C. 3 姨 D. 2 2. 若函数 f （ x ） = 1 3 x 3 -ax 2 +x-5 无极值点 ， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A. （ -1 ， 1 ） B. ［ -1 ， 1 ］ C. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） D. （ -∞ ， -1 ］ ∪ ［ 1 ， +∞ ） 3. 已知运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比 ， 当速度为 10 n mile/h 时 ， 燃料费是 6 元 /h ， 而其他与速度无关的费用是 96 元 /h ， 问当轮船的速度是 （ ） 时 ， 航行 1 n mile 所需的费用总和最小 . A. 15 n mile/h B. 20 n mile/h C. 25 n mile/h D. 30 n mile/h 4. 某厂生产 x 万件某产品的总成本为 C （ x ） 万元 ， 且 C （ x ） =1 200+ 2 75 x 3 . 已知产品单价 （ 元 ） 的平方与 x 成反比 ， 且生产 100 万件这样的产品时 ， 单价为 50 元 ， 则为使总利润 y （ 万元 ） 最大 ， 产量应定为 （ ） A. 23 万件 B. 25 万件 C. 50 万件 D. 75 万件 5. “ a>2 ” 是 “ 函数 f （ x ） = （ x-a ） e x 在 （ 0 ， +∞ ） 上有极值 ” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. （ 多选题 ） 对于函数 f （ x ） = x e x ， 下列说法正确的有 （ ） A. f （ x ） 在 x=1 处取得极大值 B. f （ x ） 有两个不同的零点 C. f （ 4 ） <f （ 仔 ） <f （ 3 ） D. 仔e 2 >2e 仔 7. 为创建全国文明城市 ， 市政府决定对某小区内一个近似半圆形 的场地进行改造 ， 场地如图 ， 以 O 为圆心 ， 半径为 1 个单位长度 ， 现 规划出以下三块场地 ， 在扇形 AOC 区域铺设草坪 ， △OCD 区域种花 ， △OBD 区域养殖观赏鱼 ， 若 ∠AOC=∠COD ， 且使这三块场地面积之和 最大 ， 则 cos∠AOC= . 夯实 · 基础 6.3 利用导数解决实际问题 O D A B C 第 7 题图 能力 · 提升 60 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 8. 某商家计划设计一圆形图标 ， 图标内部有一杠铃形图案 （ 如图中 阴影部分 ）， 圆的半径为 1 m ， AC ， BD 是圆的直径 ， E ， F 在弦 AB 上 ， H ， G 在弦 CD 上 ， 圆心 O 是矩形 EFGH 的中心 . 若 EF= 2 3 m ， ∠AOB= 2兹 ， 仔 4 ≤兹≤ 5仔 12 ， 则杠铃形图案面积的最小值为 m 2 . 9. 某中学开展劳动实习 ， 学习加工制作模具 ， 有一个模具的毛坯直观图如图 所示 ， 是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体 ， 其中圆柱体的底面半径为 1 ， 高为 2 ， 半球的半径为 1. 现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间 ， 该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行 ， 挖出中空的圆柱形空 间后模具制作完成 ， 则该模具体积的最小值为 . 10. 在半径为 r 的半圆内作一内接梯形 ， 使其下底为直径 ， 其他三边为圆的弦 ， 当梯形 面积最大时 ， 梯形上底长为多少 ？ H O D G F A B C E 2兹 第 8 题图 第 9 题图 拓展 · 探究 61 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性 1. B 2. A 3. B 4. B 5. B 6. C 7. B 8. AC 9. - 1 9 ， + ! " ∞ 10. （ -5 ， 0 ） 11. - 1 4 ， + " ∞ ∞ 12. -1 （ -∞ ， 0 ］ 13. （ 1 ） （ -∞ ， 3 ］ （ 2 ） a=3 14. 当 a≤0 时 ， 函数 f （ x ） 在 （ -∞ ， +∞ ） 上单调递增 ； 当 a>0 时 ， 函数 f （ x ） 在 （ -∞ ， lna ） 上单调递减 ， 在 （ lna ， +∞ ） 上单调递增 . 6.2.2 导数与函数的极值 、 最值 1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A 7. B 8. D 9. BC 10. （ -1 ， 0 ） 11. -2-sin2 12. （ 1 ） f （ x ） 单调增区间为 （ 0 ， 1 ）， 单调减区间为 （ 1 ， +∞ ） （ 2 ） （ -∞ ， 0 ］ 6.3 利用导数解决实际问题 1. A 2. B 3. B 4. B 5. A 6. AC 7. 17 姨 -1 8 8. π 2 -1+ 2 2 姨 3 9. 26π 27 10. 解 ： 如图 ， 设梯形的上底长为 2x （ 0<x<r ）， 高为 h ， 面积为 S. ∵h= r 2 -x 2 姨 ， ∴S= （ r+x）· r 2 -x 2 姨 ， 得 S′= r 2 -x 2 姨 - x （ r+x ） r 2 -x 2 姨 = （ r-2x ）（ r+x ） r 2 -x 2 姨 . 令 S′=0 ， 解得 x= r 2 . 当 x∈ 0 ， r 2 ! " 时 ， S′>0 ； 当 x∈ r 2 ， ! " r 时 ， S′<0. 因此当 x= r 2 时 ， S 取极大值也是最大值 ， 此时梯形的上底长为 r. 第六章章末测试 1. B 2. A 3. B 4. B 5. D 6. D 7. C 8. B 9. AB 10. ACD 11. ABD 12. AC 13. 146 m/s 14. 1 15. -2<a≤- 1 2 16. -∞ ， - 3 2 ! " ， （ 1 ， +∞ ） - 3 2 17. y= （ 9ln3 ） x+ （ 9-18ln3 ） 18. （ 1 ） （ -1 ， 1 ） （ 2 ） 最大值为 59 ， 最小值为 -49 19. 解 ： （ 1 ） （ e-2 ） x-y-1=0. （ 2 ） ∵g （ 0 ） =f （ 0 ） -0=0 ， ∴ 原条件等价于在 （ 0 ， +∞ ） 上 ， g （ x ） =e x -x 2 -ax-1≥0 恒成立 ， 即 a≤ e x -x 2 -1 x 在 （ 0 ， +∞ ） 上恒成立 . 令 h （ x ） = e x -x 2 -1 x ， 则 h′ （ x ） = x （ e x -2x ） - （ e x -x 2 -1 ） x 2 = （ x-1 ）（ e x -x-1 ） x 2 . 令 m （ x ） =e x -x-1 ， 则 m′ （ x ） =e x -1 在 （ 0 ， +∞ ） 上 m′ （ x ） >0 ， ∴ 在 （ 0 ， +∞ ） 上 ， e x -x-1>0 ， 故在 （ 0 ， 1 ） 上 ， h′ （ x ） <0 ； 在 （ 1 ， +∞ ） 上 ， h′ （ x ） >0 ， ∴h （ x ） 的最小值为 h （ 1 ） =e-2 ， ∴a≤e-2. 20. 解 ： （ 1 ） 选 ①. 由题意知 ， f ′ （ x ） = 2x · e x -e x （ x 2 -a ） （ e x ） 2 = 2x-x 2 +a e x ， 依题意得 f ′ （ -1 ） =-e （ 1+2-a ） =0 ， 即 a=3 ， 经检验 a=3 符合题意 . 选 ②. 由题意知 ， f ′ （ x ） = 2x · e x -e x （ x 2 -a ） （ e x ） 2 = 2x-x 2 +a e x ， ∵ 函数 f （ x ） 的图象在 x=0 处的切线方程为 3x-y-3=0 ， ∴ f ′ （ 0 ） = a=3 ， 得 a=3. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 f （ x ） =e -x （ x 2 -3 ）， f ′ （ x ） =-e -x （ x 2 -2x-3 ） =-e -x （ x-3 ）（ x+1 ）， 令 f ′ （ x ） =0 得 ， x=-1 或 x=3. 列表 ： 2x x r h 第 10 题答图 75