6.2.2 导数与函数的极值、最值-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 下列有关函数的极值与最值的命题中 ， 为真命题的是 （ ） A. 函数的最大值一定不是这个函数的极大值 B. 函数的极大值可以小于这个函数的极小值 C. 函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值 D. 函数在开区间上不存在极大值和最大值 2. 若函数 f （ x ） =lnx-x 2 +ax 在 x∈ 1 e ， ， # e 上有两个零点 ， 则实数 a 的取值范围为 （ ） A. 1 ， e- 1 e e % B. 1 ， e+ 1 e e % C. 1 ， e- 1 e #e D. 1 ， e+ 1 e #e 3. 已知函数 f （ x ） =xe x -x 2 -2x-m 在 （ 0 ， +∞ ） 上有零点 ， 则 m 的取值范围是 （ ） A. ［ 1-ln 2 2 ， +∞ ） B. ［ -ln 2 2-1 ， +∞ ） C. ［ -ln 2 2 ， +∞ ） D. - 1 2 ln 2 2 ， + % ∞ ∞ 4. 已知 x=2 是 f （ x ） =2lnx+ax 2 -3x 的极值点 ， 则 f （ x ） 在 1 3 ， ∞ # 3 上的最大值是 （ ） A. 2ln3- 9 2 B. - 5 2 C. -2ln3- 17 18 D. 2ln2-4 5. 已知函数 f （ x ） = 1 2 sin2x+sinx ， 则 f （ x ） 的最小值是 （ ） A. - 3 3 姨 2 B. 3 3 姨 2 C. - 3 3 姨 4 D. 3 3 姨 4 6. 已知实数 x ， y 满足 x 2 +y 2 =1 ， 0<x<1 ， 0<y<1 ， 当 4 x + 1 y 取最小值时 ， x y 的值为 （ ） A. 4 3 姨 B. 3 3 姨 C. 3 姨 D. 1 7. 已知函数 f （ x ） 的定义域为 （ a ， b ）， 导函数 f ′ （ x ） 在区间 （ a ， b ） 上的图象如图所示 ， 则函数 f （ x ） 在区间 （ a ， b ） 上的极大值点的 个数为 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知函数 f （ x ） = x 2 +1 ， x≥0 ， -x 3 +3x+a ， x< ) 0 的值域为 ［ 1 ， +∞ ）， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A. ［ 1 ， +∞ ） B. （ 1 ， +∞ ） C. （ 3 ， +∞ ） D. ［ 3 ， +∞ ） 6.2.2 导数与函数的极值 、 最值 夯实 · 基础 x y O a b 第 7 题图 58 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 9. （ 多选题 ） 已知函数 f （ x ） =x 3 -3lnx-1 ， 则 （ ） A. f （ x ） 的极大值为 0 B. 曲线 y=f （ x ） 在 （ 1 ， f （ 1 ）） 处的切线为 x 轴 C. f （ x ） 的最小值为 0 D. f （ x ） 在定义域内单调 10. 已知函数 f （ x ） =xlnx+ 1 2 mx 2 有两个极值点 ， 则实数 m 的取值范围为 . 11. 已知函数 f （ x ） =x 2 -4x+ （ x-2 ） cosx-sinx 在 x=a 处取得最小值 m ， 则 m+a= . 12. 已知函数 f （ x ） =ax 2 +x-xlnx. （ 1 ） 若 a=0 ， 求函数 f （ x ） 的单调区间 ； （ 2 ） 若 f （ e ） =e 2 ， 且在 （ 0 ， +∞ ） 上 ， f （ x ） -2x-mx 2 ≥0 恒成立 ， 求实数 m 的取值范围 . 拓展 · 探究 能力 · 提升 59 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性 1. B 2. A 3. B 4. B 5. B 6. C 7. B 8. AC 9. - 1 9 ， + ! " ∞ 10. （ -5 ， 0 ） 11. - 1 4 ， + " ∞ ∞ 12. -1 （ -∞ ， 0 ］ 13. （ 1 ） （ -∞ ， 3 ］ （ 2 ） a=3 14. 当 a≤0 时 ， 函数 f （ x ） 在 （ -∞ ， +∞ ） 上单调递增 ； 当 a>0 时 ， 函数 f （ x ） 在 （ -∞ ， lna ） 上单调递减 ， 在 （ lna ， +∞ ） 上单调递增 . 6.2.2 导数与函数的极值 、 最值 1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A 7. B 8. D 9. BC 10. （ -1 ， 0 ） 11. -2-sin2 12. （ 1 ） f （ x ） 单调增区间为 （ 0 ， 1 ）， 单调减区间为 （ 1 ， +∞ ） （ 2 ） （ -∞ ， 0 ］ 6.3 利用导数解决实际问题 1. A 2. B 3. B 4. B 5. A 6. AC 7. 17 姨 -1 8 8. π 2 -1+ 2 2 姨 3 9. 26π 27 10. 解 ： 如图 ， 设梯形的上底长为 2x （ 0<x<r ）， 高为 h ， 面积为 S. ∵h= r 2 -x 2 姨 ， ∴S= （ r+x）· r 2 -x 2 姨 ， 得 S′= r 2 -x 2 姨 - x （ r+x ） r 2 -x 2 姨 = （ r-2x ）（ r+x ） r 2 -x 2 姨 . 令 S′=0 ， 解得 x= r 2 . 当 x∈ 0 ， r 2 ! " 时 ， S′>0 ； 当 x∈ r 2 ， ! " r 时 ， S′<0. 因此当 x= r 2 时 ， S 取极大值也是最大值 ， 此时梯形的上底长为 r. 第六章章末测试 1. B 2. A 3. B 4. B 5. D 6. D 7. C 8. B 9. AB 10. ACD 11. ABD 12. AC 13. 146 m/s 14. 1 15. -2<a≤- 1 2 16. -∞ ， - 3 2 ! " ， （ 1 ， +∞ ） - 3 2 17. y= （ 9ln3 ） x+ （ 9-18ln3 ） 18. （ 1 ） （ -1 ， 1 ） （ 2 ） 最大值为 59 ， 最小值为 -49 19. 解 ： （ 1 ） （ e-2 ） x-y-1=0. （ 2 ） ∵g （ 0 ） =f （ 0 ） -0=0 ， ∴ 原条件等价于在 （ 0 ， +∞ ） 上 ， g （ x ） =e x -x 2 -ax-1≥0 恒成立 ， 即 a≤ e x -x 2 -1 x 在 （ 0 ， +∞ ） 上恒成立 . 令 h （ x ） = e x -x 2 -1 x ， 则 h′ （ x ） = x （ e x -2x ） - （ e x -x 2 -1 ） x 2 = （ x-1 ）（ e x -x-1 ） x 2 . 令 m （ x ） =e x -x-1 ， 则 m′ （ x ） =e x -1 在 （ 0 ， +∞ ） 上 m′ （ x ） >0 ， ∴ 在 （ 0 ， +∞ ） 上 ， e x -x-1>0 ， 故在 （ 0 ， 1 ） 上 ， h′ （ x ） <0 ； 在 （ 1 ， +∞ ） 上 ， h′ （ x ） >0 ， ∴h （ x ） 的最小值为 h （ 1 ） =e-2 ， ∴a≤e-2. 20. 解 ： （ 1 ） 选 ①. 由题意知 ， f ′ （ x ） = 2x · e x -e x （ x 2 -a ） （ e x ） 2 = 2x-x 2 +a e x ， 依题意得 f ′ （ -1 ） =-e （ 1+2-a ） =0 ， 即 a=3 ， 经检验 a=3 符合题意 . 选 ②. 由题意知 ， f ′ （ x ） = 2x · e x -e x （ x 2 -a ） （ e x ） 2 = 2x-x 2 +a e x ， ∵ 函数 f （ x ） 的图象在 x=0 处的切线方程为 3x-y-3=0 ， ∴ f ′ （ 0 ） = a=3 ， 得 a=3. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 f （ x ） =e -x （ x 2 -3 ）， f ′ （ x ） =-e -x （ x 2 -2x-3 ） =-e -x （ x-3 ）（ x+1 ）， 令 f ′ （ x ） =0 得 ， x=-1 或 x=3. 列表 ： 2x x r h 第 10 题答图 75