6.2.1 导数与函数的单调性-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 已知 f （ x ） =x-sinx ， 则不等式 f （ 2m+1 ） +f （ 1-m ） >0 的解集为 （ ） A. （ -∞ ， -2 ） B. （ -2 ， +∞ ） C. （ 0 ， +∞ ） D. （ -∞ ， 0 ） 2. 已知函数 f ′ （ x ） 为函数 f （ x ） 的导函数 ， 满足 tanx · f ′ （ x ） >f （ x ）， a= 6 姨 f 仔 ６ " # ， b= 3 姨 f 仔 ４ " $ ， c= 2 姨 f 仔 ３ % $ ， 则下面大小关系正确的是 （ ） A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. c<b<a 3. 函数 f （ x ） = 1 3 x 3 -x 2 +ax-5 在区间 ［ -1 ， 2 ］ 上不单调 ， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A. （ -∞ ， -3 ］ B. （ -3 ， 1 ） C. ［ 1 ， +∞ ） D. （ -∞ ， -3 ］ ∪ ［ 1 ， +∞ ） 4. 函数 f （ x ） = （ x-3 ） e x 的单调递增区间是 （ ） A. （ -∞ ， -2 ） B. （ 2 ， +∞ ） C. （ 1 ， 4 ） D. （ 0 ， 3 ） 5. 已知函数 f （ x ） =alnx+x 2 ， 若对任意两个不等的正实数 x 1 ， x 2 ， 都有 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 >2 ， 则实 数 a 的最小值为 （ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 3 2 D. 2 6. 若 a>b>0 ， alna=blnb ， clnc>0 ， 则 a ， b ， c 与 1 的大小关系是 （ ） A. b<1<a<c B. 1<c<b<a C. b<a<1<c D. 1<b<c<a 7. 函数 f （ x ） =2x 2 -lnx 的单调减区间是 （ ） A. -∞ ， 1 2 % $ B. 0 ， 1 2 % $ C. -∞ ， - 1 2 % $ 和 0 ， 1 2 % $ D. 1 2 ， + % $ ∞ 8. （ 多选题 ） 已知函数 f （ x ） =xln （ 1+x ）， 则 （ ） A. f （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 单调递增 B. f （ x ） 有两个零点 C. 曲线 y=f （ x ） 在点 - 1 2 ， f - 1 2 % $ % $ 处切线的斜率为 -1-ln2 夯实 · 基础 6.2.1 导数与函数的单调性 6.2 利用导数研究函数的性质 能力 · 提升 56 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 D. f （ x ） 是偶函数 9. f （ x ） =- 1 3 x 3 + 1 2 x 2 +2ax ， 若 f （ x ） 在 2 3 ， + + " ∞ 上存在单调递增区间 ， 则 a 的取值范围是 . 10. 已知函数 f （ x ） ＝ 2x 3 +3x 2 +m ， 0≤x≤1 ， mx+5 ， x>1 1 ， 若函数 f （ x ） 的图象与 x 轴有且只有两个不同的 交点 ， 则实数 m 的取值范围是 . 11. 已知函数 f （ x ） =ax- 1 x 2 在 （ 0 ， 2 ］ 上是增函数 ， 则 a 的取值范围为 . 12. 设函数 f （ x ） =e x +ae -x （ a 为常数 ） . 若 f （ x ） 为奇函数 ， 则 a= ； 若 f （ x ） 是 R 上的 增函数 ， 则 a 的取值范围是 . 13. 已知函数 f （ x ） =x 3 -ax-1. （ 1 ） 若 f （ x ） 在区间 （ 1 ， +∞ ） 上为增函数 ， 求 a 的取值范围 ； （ 2 ） 若 f （ x ） 的单调递减区间为 （ -1 ， 1 ）， 求 a 的值 . 14. 设函数 f （ x ） =e x -ax-2 ， 求 f （ x ） 的单调区间 . 拓展 · 探究 57 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性 1. B 2. A 3. B 4. B 5. B 6. C 7. B 8. AC 9. - 1 9 ， + ! " ∞ 10. （ -5 ， 0 ） 11. - 1 4 ， + " ∞ ∞ 12. -1 （ -∞ ， 0 ］ 13. （ 1 ） （ -∞ ， 3 ］ （ 2 ） a=3 14. 当 a≤0 时 ， 函数 f （ x ） 在 （ -∞ ， +∞ ） 上单调递增 ； 当 a>0 时 ， 函数 f （ x ） 在 （ -∞ ， lna ） 上单调递减 ， 在 （ lna ， +∞ ） 上单调递增 . 6.2.2 导数与函数的极值 、 最值 1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A 7. B 8. D 9. BC 10. （ -1 ， 0 ） 11. -2-sin2 12. （ 1 ） f （ x ） 单调增区间为 （ 0 ， 1 ）， 单调减区间为 （ 1 ， +∞ ） （ 2 ） （ -∞ ， 0 ］ 6.3 利用导数解决实际问题 1. A 2. B 3. B 4. B 5. A 6. AC 7. 17 姨 -1 8 8. π 2 -1+ 2 2 姨 3 9. 26π 27 10. 解 ： 如图 ， 设梯形的上底长为 2x （ 0<x<r ）， 高为 h ， 面积为 S. ∵h= r 2 -x 2 姨 ， ∴S= （ r+x）· r 2 -x 2 姨 ， 得 S′= r 2 -x 2 姨 - x （ r+x ） r 2 -x 2 姨 = （ r-2x ）（ r+x ） r 2 -x 2 姨 . 令 S′=0 ， 解得 x= r 2 . 当 x∈ 0 ， r 2 ! " 时 ， S′>0 ； 当 x∈ r 2 ， ! " r 时 ， S′<0. 因此当 x= r 2 时 ， S 取极大值也是最大值 ， 此时梯形的上底长为 r. 第六章章末测试 1. B 2. A 3. B 4. B 5. D 6. D 7. C 8. B 9. AB 10. ACD 11. ABD 12. AC 13. 146 m/s 14. 1 15. -2<a≤- 1 2 16. -∞ ， - 3 2 ! " ， （ 1 ， +∞ ） - 3 2 17. y= （ 9ln3 ） x+ （ 9-18ln3 ） 18. （ 1 ） （ -1 ， 1 ） （ 2 ） 最大值为 59 ， 最小值为 -49 19. 解 ： （ 1 ） （ e-2 ） x-y-1=0. （ 2 ） ∵g （ 0 ） =f （ 0 ） -0=0 ， ∴ 原条件等价于在 （ 0 ， +∞ ） 上 ， g （ x ） =e x -x 2 -ax-1≥0 恒成立 ， 即 a≤ e x -x 2 -1 x 在 （ 0 ， +∞ ） 上恒成立 . 令 h （ x ） = e x -x 2 -1 x ， 则 h′ （ x ） = x （ e x -2x ） - （ e x -x 2 -1 ） x 2 = （ x-1 ）（ e x -x-1 ） x 2 . 令 m （ x ） =e x -x-1 ， 则 m′ （ x ） =e x -1 在 （ 0 ， +∞ ） 上 m′ （ x ） >0 ， ∴ 在 （ 0 ， +∞ ） 上 ， e x -x-1>0 ， 故在 （ 0 ， 1 ） 上 ， h′ （ x ） <0 ； 在 （ 1 ， +∞ ） 上 ， h′ （ x ） >0 ， ∴h （ x ） 的最小值为 h （ 1 ） =e-2 ， ∴a≤e-2. 20. 解 ： （ 1 ） 选 ①. 由题意知 ， f ′ （ x ） = 2x · e x -e x （ x 2 -a ） （ e x ） 2 = 2x-x 2 +a e x ， 依题意得 f ′ （ -1 ） =-e （ 1+2-a ） =0 ， 即 a=3 ， 经检验 a=3 符合题意 . 选 ②. 由题意知 ， f ′ （ x ） = 2x · e x -e x （ x 2 -a ） （ e x ） 2 = 2x-x 2 +a e x ， ∵ 函数 f （ x ） 的图象在 x=0 处的切线方程为 3x-y-3=0 ， ∴ f ′ （ 0 ） = a=3 ， 得 a=3. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 f （ x ） =e -x （ x 2 -3 ）， f ′ （ x ） =-e -x （ x 2 -2x-3 ） =-e -x （ x-3 ）（ x+1 ）， 令 f ′ （ x ） =0 得 ， x=-1 或 x=3. 列表 ： 2x x r h 第 10 题答图 75