6.1.4 求导法则及其应用-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 已知 f （ x ） =x 3 -3x 2 +1 ， 则曲线 y=f （ x ） 在点 （ 1 ， -1 ） 处的切线方程为 （ ） A. 3x-y-4＝0 B. 3x＋y-2＝0 C. 4x＋y-3＝0 D. 4x-y-5＝0 2. 已知函数 f （ x ） = 2 2 023 x +1 +x 2023 +sinx （ x∈R ）， 则 f （ 2 023 ） +f （ -2 023 ） +f ′ （ 2 023 ） -f ′ （ -2 023 ） = （ ） A. 0 B. 2 C. 2 023 D. 2 024 3. 已知 f （ x ） =x 2 ln2x ， 若 f ′ （ x 0 ） =x 0 ， 则 x 0 = （ ） A. 1 2 B. 1 2 e C. ln2 D. 1 4. 设函数 f （ x ） =x （ e x +ae -x ） 的导函数为 f ′ （ x ）， 若 f ′ （ x ） 是奇函数 ， 则曲线 y=f （ x ） 在点 （ 1 ， f （ 1 ）） 处切线的斜率为 （ ） A. -2e B. - 1 e C. 2 D. 2e 5. 下列求导运算错误的是 （ ） A. 若 f （ x ） =sin （ 2x+3 ）， 则 f ′ （ x ） =2cos （ 2x+3 ） B. 若 f （ x ） =e -2x+1 ， 则 f ′ （ x ） =e -2x+1 C. 若 f （ x ） = x e x ， 则 f ′ （ x ） = 1-x e x D. 若 f （ x ） =xlnx ， 则 f ′ （ x ） =lnx+1 6. 已知二次函数 f （ x ） =ax 2 +bx+c ， 设 g （ x ） =e -x · f （ x ）， 若函数 g （ x ） 的导函数 g′ （ x ） 的图象如 图所示 ， 则 （ ） A. a<b ， b<c B. a>b ， b>c C. b a >1 ， b=c D. b a <1 ， b=c 7. 若函数 f （ x ）， g （ x ） 满足 f （ x ） +xg （ x ） =x 2 -1 ， 且 f （ 1 ） =1 ， 则 f ′ （ 1 ） +g′ （ 1 ） = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数 f （ x ） 的导函数为 f ′ （ x ）， 且满足关系式 f （ x ） =x 2 +3xf ′ （ 2 ） +e x ， 则 f ′ （ 2 ） 的值等于 （ ） A. -2 B. e 2 2 -2 C. - e 2 2 D. - e 2 2 -2 6.1.4 求导法则及其应用 夯实 · 基础 x y O 1 第 6 题图 54 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 9. （ 多选题 ） 已知直线 y=kx-2 与抛物线 x 2 =4y 相切 ， 则 k= （ ） A. 2 姨 B. - 2 姨 C. 3 姨 D. - 3 姨 10. 已知 a ， b 为正实数 ， 直线 y=x-2a 与曲线 y=ln （ x+b ） 相切 ， 则 1 a + 2 b 的最小值是 . 11. 若 f （ x ） =log 3 （ 2x-1 ）， 则 f ′ （ 2 ） = . 12. 求下列函数的导数 ： （ 1 ） y=x 2 sinx ； （ 2 ） y=lnx+ 1 x ； （ 3 ） y=x · tanx ； （ 4 ） y= （ x+1 ）（ x+2 ）（ x+3 ）； （ 5 ） y= （ 2x 2 +3 ）（ 3x-2 ）； （ 6 ） y= cosx e x . 13. 三次函数 f （ x ） =ax 3 +bx 2 +cx+d （ a≠0 ）， 定义 ： 设 f ″ （ x ） 是函数 f （ x ） 的导数 f ′ （ x ） 的导数 ， 若方程 f ″ （ x ） =0 有实数解 x 0 ， 则称点 （ x 0 ， f （ x 0 ）） 为函数 y=f （ x ） 的 “ 拐点 ” . 有同学发现 ， 任意 一个三次函数都有 “ 拐点 ”， 任意一个三次函数的图象都有对称中心 ， 且 “ 拐点 ” 就是对称中 心 . 将这一发现作为条件 ， 则对于函数 f （ x ） =x 3 - 3 2 x 2 +3x- 1 4 ， 它的图象的对称中心为 ， f 1 2 023 3 $ +f 2 2 023 3 & +f 3 2 023 3 & + … +f 2 022 2 023 3 & = . 14. 在 ①f （ x ） 是三次函数 ， 且 f （ 0 ） =3 ， f ′ （ 0 ） =0 ， f ′ （ 1 ） =-3 ， f ′ （ 2 ） =0 ， ②f （ x ） 是二次函数 ， 且 x 2 f ′ （ x ） - （ 2x-1 ） f （ x ） =1 这两个条件中任选一个作为已知条件 ， 回答下列问题 . （ 1 ） 求函数 f （ x ） 的解析式 ； （ 2 ） 求 f （ x ） 的图象在 x=1 处的切线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 . 能力 · 提升 拓展 · 探究 55 暑 假 作 业 新课程 变形可得 a n -2 a n-1 -2 = 1 2 . 又 ∵a 1 +S 1 =2 ， 得 a 1 =1 ， 故数列 {a n -2} 是以 -1 为首项 ， 1 2 为公比的等比数列 . 由等比数列的通项公式可得 a n -2=- 1 2 n-1 ， ∴a n =2- 1 2 n-1 （ n∈N * ） . （ 2 ） 令 f （ n ） = （ 2n-3 ）（ 2-a n ）， 则 f （ n ） = 2n-3 2 n-1 ， ∴f （ n+1 ） -f （ n ） = 2n-1 2 n - 2n-3 2 n-1 = 5-2n 2 n . 当 n=1 或 n=2 时 ， f （ n+1 ） -f （ n ） >0 ， 当 n≥3 ， n∈N * 时 ， f （ n+1 ） -f （ n ） <0. 又 ∵f （ 3 ） = 3 4 ， ∴f （ n ） max = 3 4 . ∵ 不等式 2姿-姿 2 > （ 2n-3 ）（ 2-a n ） 对任意的正整数 n 恒成立 ， ∴2姿-姿 2 > 3 4 ， 解得 1 2 <姿< 3 2 . 第六章 导数及其应用 6.1 导 数 6.1.1 函数的平均变化率 1. D 2. A 3. A 4. B 5. A 6. D 7. ABD 8. －1 9. 12 10. （ 1 ） 总利润为 5 000 600 元 ， 平均利润为 5 000.6 元 / 台 （ 2 ） 2 000 元 / 台 （ 3 ） c′ （ 1 000 ） =3 000 ， c′ （ 1 500 ） =1 000. 6.1.2 导数及其几何意义 1. B 2. C 3. B 4. C 5. D 6. D 7. D 8. BD 9. -1 10. 5x-y+2=0 11. 3 e 2 e 12. （ 1 ） a= 1 4 （ 2 ） （ -∞ ， 5 2 姨 -1 ） 6.1.3 基本初等函数的导数 1. B 2. B 3. A 4. B 5. B 6. B 7. BCD 8. -3 9. 1 10. 1 11. f （ x ） =-cosx （ 答案不唯一 ） f （ x ） =-cosx+1 （ 答案不唯一 ） 12. 3x+y-20=0 13. （ 1 ） 3a＋1 （ 2 ） （ -∞ ， 0 ） 6.1.4 求导法则及其应用 1. B 2. B 3. A 4. D 5. B 6. D 7. C 8. D 9. AB 10. 8 11. 2 3ln3 12. （ 1 ） y′=2xsinx+x 2 cosx （ 2 ） y′= 1 x - 1 x 2 （ 3 ） y′=tanx+ x cos 2 x （ 4 ） y′=3x 2 +12x+11 （ 5 ） y′=18x 2 -8x+9 （ 6 ） y′=- sinx+cosx e x 13. 1 2 ， ， % 1 2 022 14. 解 ： 选 ①. （ 1 ） f （ x ） =x 3 -3x 2 +3. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， f ′ （ 1 ） =-3 ， f （ 1 ） =1 ， 则有切线 l 的方程为 y-1=-3 （ x-1 ）， 当 x=0 时 ， y=4 ， 当 y=0 时 ， x= 4 3 ， ∴ 切线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S= 1 2 ×4× 4 3 = 8 3 . 选 ②. （ 1 ） f （ x ） =2x 2 +2x+1. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， f ′ （ x ） =4x+2 ， 则 f ′ （ 1 ） =6 ， 又 f （ 1 ） =5 ， 则有切线 l 的方程为 y-5=6 （ x-1 ）， 当 x=0 时 ， y=-1 ， 当 y=0 时 ， x= 1 6 ， ∴ 切线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S= 1 2 × 1 6 ×1= 1 12 . 74