5.4 数列的应用-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 1 1 - 1 3 ! " + 1 3 - 1 5 ! " + … + 1 2n-1 - 1 2n+1 ! "1 $ = 1 2 × 1- 1 2n+1 ! " = n 2n+1 ， ∴ 当 n∈N * 时 ， T n = n 2n+1 . 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 1. C 2. D 3. D 4. B 5. D 6. B 7. C 8. AD 9. ABD 10. 32 11. 是 q 2 12. 解 ： （ 1 ） a n =2n+2 （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， 4 a n a n+1 = 4 （ 2n+2 ）（ 2n+4 ） = 1 （ n+1 ）（ n+2 ） = 1 n+1 - 1 n+2 ， ∴T n = 1 2 - 1 3 ! " + 1 3 - 1 4 ! " + … + 1 n+1 - 1 n+2 ! " = 1 2 - 1 n+2 = n 2 （ n+2 ） . 13. 解 ： ∵ {a n } 为等比数列 ， a 1 a 2 023 =1 ， ∴a 2 a 2 022 =a 3 a 2 021 = … =a 1 012 a 1 012 =1. ∵f （ x ） = 2 1+x 2 ， ∴f （ a 1 ） +f （ a 2 023 ） = 2 1+a 2 1 + 2 1+a 2 2 023 = 2 1+a 2 1 + 2 1+ 1 a 2 1 = 2 （ 1+a 2 1 ） 1+a 2 1 =2 ， 同理可得 f （ a 2 ） +f （ a 2 022 ） =f （ a 3 ） +f （ a 2 021 ） = … =f （ a 1 012 ） +f （ a 1 012 ） =2 ， ∴f （ a 1 ） +f （ a 2 ） +f （ a 3 ） + … +f （ a 2 023 ） = 1 2 ［ f （ a 1 ） +f （ a 2 023 ） +f （ a 2 ） +f （ a 2 022 ） + … +f （ a 2 023 ） +f （ a 1 ）］ = 1 2 ×2×2 023=2 023. 5.3.2 等比数列的前 n 项和 1. D 2. C 3. D 4. A 5. A 6. A 7. BD 8. BC 9. １ 10. （ 1 ） a n =2 n-1 （ 2 ） 6 11. （ 1 ） 证明 ： 由已知 ， 2a n+1 +a n =3 ， ∴2 （ a n+1 -1 ） + （ a n -1 ） =0 ， 故 a n+1 -1 a n -1 =- 1 2 . 又 ∵a 1 = 3 2 ， ∴a 1 -1= 3 2 -1= 1 2 ， ∴ 数列 {a n -1} 是首项为 1 2 ， 公比为 - 1 2 的等比数列 . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 ， 令 b n =a n -1 ， b n =b 1 q n-1 = 1 2 × - 1 2 ! " n-1 = （ -1 ） n-1 1 2 n =- - 1 2 ! " n ， ∴a n =1- - 1 2 ! " n . ∴S n =a 1 +a 2 + … +a n =n- - 1 2 1- - 1 2 ! " n n $ 1- - 1 2 ! " =n- - 1 2 - - 1 2 ! " n+1 3 2 =n+ 1 3 + 2 3 - 1 2 ! " n+1 ， 故 S n =n+ 1 3 + 2 3 - 1 2 ! " n+1 . 12. （ 1 ） a n =2n+1 （ 2 ） 证明 ： 由 （ 1 ） 得 a n =2n+1 ， ∴b n = 1 a n a n+1 = 1 （ 2n+1 ）（ 2n+3 ） = 1 2 1 2n+1 - 1 2n+3 ! " ， ∴T n = 1 2 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 + … + 1 2n+1 - 1 2n+3 ! " = 1 2 1 3 - 1 2n+3 ! " < 1 6 . 5.4 数列的应用 1. C 2. C 3. A 4. B 5. A 6. a 1 =10.035 ， a 2 ≈10.070 ， a 3 ≈10.105 ， a n =10 （ 1+0.35% ） n . 7. 6 8. 9 9. 2 7 12 f 10. 解 ： （ 1 ） 设中低价房面积形成数列 {a n } ， 由题意可知 {a n } 是等差数列 ， 其中 a 1 =250 ， d=50 ， 则 S n =250n+ n （ n-1 ） 2 ×50=25n 2 +225n. 令 25n 2 +225n≥4 750 ， 即 n 2 +9n-190≥0 ， ∵n 是正整数 ， 则 n≥10 ， 即到 2034 年底 ， 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万 m 2 . 72 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 （ 2 ） 设新建住房面积形成数列 {b n } ， 由题意可知 {b n } 是等比数列 ， 其中 b 1 =400 ， q=1.08 ， 则 b n =400× （ 1.08 ） n-1 . 由题意可知 a n >0.85b n ， 有 250+ （ n-1 ） ×50>400× （ 1.08 ） n-1 ×0.85. ∵n 是正整数 ， 则 n 的最小值为 6. ∴ 到 2030 年底 ， 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 11. 解 ： （ 1 ） 设此人在 A ， B 公司第 n 年的月工资分别为 a n 元 、 b n 元 ， 则 a n =3 000+ （ n-1 ） ×300=300n+2 700 （ n∈N * ）， b n =3 500× （ 1+5% ） n-1 =3 500×1.05 n-1 （ n∈N * ） . （ 2 ） 若此人在 A 公司连续工作 10 年 ， 则他的工资总收入为 12 （ a 1 +a 2 + … +a 10 ） =12× 3 000×10+ 10× （ 10-1 ） 2 ×30 0 # 0 = 522 000 （ 元 ） . 若此人在 B 公司连续工作 10 年 ， 则他的工资总收入为 12 （ b 1 +b 2 + … +b 10 ） =12× 3 500× （ 1-1.05 10 ） 1-1.05 ≈528 360 （ 元 ） . ∵522 000<528 360 ， ∴ 此人应该选择 B 公司 . 第五章章末测试 1. B 2. A 3. C 4. D 5. D 6. D 7. A 8. B 9. AD 10. BD 11. AC 12. AB 13. 22 19 14. 4 043 2 15. a n =2 n -1 16. a n =2 n-1 6 17. （ 1 ） a 1 =-2 ， d=3 （ 2 ） 24 18. （ 1 ） a n =n （ 2 ） T n =2 n+1 -2 19. （ 1 ） 证明 ： ∵ 2S n n +n=2a n +1 ， 即 2S n +n 2 =2na n +n ① ， 当 n≥2 时 ， 2S n-1 + （ n-1 ） 2 =2 （ n-1 ） a n-1 + （ n-1 ） ② ， ①-② 得 ， 2S n +n 2 -2S n-1 - （ n-1 ） 2 =2na n +n-2 （ n-1 ） a n-1 - （ n-1 ）， 即 2a n +2n-1=2na n -2 （ n-1 ） a n-1 +1 ， 即 2 （ n-1 ） a n -2 （ n-1 ） a n-1 =2 （ n-1 ）， ∴a n -a n-1 =1 ， n≥2 且 n∈N * ， ∴ {a n } 是以 1 为公差的等差数列 . （ 2 ） 解 ： 方法一 ： 二次函数的性质 由 （ 1 ） 可得 a 4 =a 1 +3 ， a 7 =a 1 +6 ， a 9 =a 1 +8 ， 又 ∵a 4 ， a 7 ， a 9 成等比数列 ， ∴a 7 2 =a 4 a 9 ， 即 （ a 1 +6 ） 2 = （ a 1 +3 ）（ a 1 +8 ）， 解得 a 1 =-12 ， ∴a n =n-13 ， ∴S n =-12n+ n （ n-1 ） 2 = 1 2 n 2 - 25 2 n= 1 2 n- 25 2 2 ' 2 - 625 8 ， ∴ 当 n=12 或 n=13 时 ， （ S n ） min =-78. 方法二 ： 【 最优解 】 邻项变号法 由 （ 1 ） 可得 a 4 =a 1 +3 ， a 7 =a 1 +6 ， a 9 =a 1 +8 ， 又 ∵a 4 ， a 7 ， a 9 成等比数列 ， ∴a 7 2 =a 4 a 9 ， 即 （ a 1 +6 ） 2 = （ a 1 +3 ）（ a 1 +8 ）， 解得 a 1 =-12 ， ∴a n =n-13 ， 即有 a 1 <a 2 < … <a 12 <0 ， a 13 =0. 则当 n=12 或 n=13 时 ， （ S n ） min =-78. 20. （ 1 ） a n =2 n （ 2 ） T n = （ n-1 ）· 2 n+1 +2 21. （ 1 ） 证明 ： ∵a n+1 =3a n +1 ， ∴a n+1 + 1 2 =3 a n + 1 2 2 ' ， 即 a n+1 + 1 2 a n + 1 2 =3 ， ∴ a n + 1 2 2 ) 是首项为 1 、 公比为 3 的等比数列 . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可知 a n + 1 2 =3 n-1 ， ∴a n =3 n-1 - 1 2 . ∵b n+1 -b n =a n + 1 2 ， ∴b n+1 -b n =3 n-1 ， ∴b 2 -b 1 =3 0 ， b 3 -b 2 =3 1 ， …， b n -b n-1 =3 n-2 ， n≥2 ， 各式相加得 b n -b 1 =1+3 1 +3 2 + … +3 n-2 = 1 （ 1-3 n-1 ） 1-3 = 3 n-1 -1 2 . 又 ∵b 1 =1 ， ∴b n = 3 n-1 -1 2 +1= 3 n-1 +1 2 . 又 ∵ 当 n=1 时 ， b 1 =1 满足上式 ， ∴b n = 3 n-1 +1 2 （ n∈N * ） . 22. 解 ： （ 1 ） ∵a n +S n =2n ① ， ∴a n-1 +S n-1 =2n-2 ， n≥2 ② ， ①-② 得 a n -a n-1 +a n =2 ， 即 2a n =a n-1 +2 ， 73 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 某林厂现在的森林木材存量是 1 800 万 m 3 ， 木材以每年 25% 的增长率生长 ， 而每年要 砍伐固定的木材量为 x 万 m 3 . 为达到经两次砍伐后木材存量增加 50% 的目标 ， 则 x 的值是 （ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 2. 有这样一道题目 ： 戴氏善屠 ， 日益功倍 . 初日屠五两 ， 今三十日屠讫 ， 问共屠几何 . 其 意思是 ： 有一个姓戴的人善于屠肉 ， 每一天屠完的肉是前一天的 2 倍 ， 第一天屠了 5 两肉 ， 共屠了 30 天 ， 问一共屠了多少两肉 . 在这个问题中 ， 该屠夫前 5 天所屠肉的总两数为 （ ） A. 35 B. 75 C. 155 D. 315 3. 已知函数 f （ x ） =x+3sin x- 1 2 2 " + 1 2 ， 数列 {a n } 满足 a n = n 2 025 ， 则 f （ a 1 ） +f （ a 2 ） + … +f （ a 2 024 ） = （ ） A. 2 024 B. 2 025 C. 4 048 D. 4 050 4. 2014 年 10 月 28 日到银行存入 a 元 ， 若年利率为 x ， 且按复利计算 ， 到 2023 年 10 月 28 日可取回款 （ ） （ 复利是一种计算利息的方法 ， 即把前一期的利息和本金加在一起算 作本金 ， 再计算下一期的利息 . ） A. a （ 1+x ） 8 元 B. a （ 1+x ） 9 元 C. a+ （ 1+x ） 9 元 D. a+ （ 1+x ） 8 元 5. 某公司今年获利 5 000 万元 ， 如果以后每年的利润都比上一年增加 10% ， 那么总利润 达 3 亿元时大约还需要 （ ） （ 参考数据 ： lg1.01≈0.004 ， lg1.06≈0.025 ， lg1.1≈0.04 ， lg1.6≈0.20 ） A. 4 年 B. 7 年 C. 12 年 D. 50 年 6. 假设某银行的活期存款年利率为 0.35%. 某人存 10 万元后 ， 既不加进存款也不取款 ， 每年到期利息连同本金自动转存 ， 如果不考虑利息税及利率的变化 ， 用 a n 表示第 n 年到期时 的存款余额 ， 求 a 1 ， a 2 ， a 3 及 a n . 5.4 数列的应用 夯实 · 基础 42 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 7. 已知数列 {a n } 的通项 a n = n-1 3n-19 ， 当前 n 项和 S n 取得最小值时 ， n 的值为 . 8. 在数列 {a n } 中 ， 若 a 4 ＝1 ， a 12 ＝5 ， 且任意连续三项的和都是 15 ， 则 a 2 024 ＝ . 9. “ 十二平均律 ” 是通用的音律体系 ， 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例 ， 为 这个理论的发展做出了重要贡献 . 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份 ， 依次得到十三 个单音 ， 从第二个单音起 ， 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 2 12 姨 ， 若 第一个单音的频率为 f ， 则第八个单音的频率为 . 10. 假设某市 2025 年新建住房面积为 400 万 m 2 ， 其中有 250 万 m 2 是中低价房 . 预计在 今后的若干年内 ， 该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8% ， 另外 ， 每年新建住房中 ， 中低价房的面积均比上一年增加 50 万 m 2 . （ 1 ） 该市历年所建中低价房的累计面积 （ 以 2025 年为累计的第一年 ） 在哪一年将首次 不少于 4 750 万平方米 ？ （ 2 ） 哪一年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85% ？ 11. 某高校 2024 届毕业生春季大型招聘会上 ， A ， B 两家公司的工资标准分别是 ： A 公 司许诺第一年的月工资为 3 000 元 ， 以后每年月工资比上一年月工资增加 300 元 ； B 公司许 诺第一年月工资为 3 500 元 ， 以后每年月工资在上一年的月工资基础上增加 5%. 若某人被 A ， B 两家公司同时录取 ， 试问 ： （ 1 ） 若此人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n （ n∈N * ） 年 ， 则他在第 n 年的月工资收 入分别是多少 ？ （ 2 ） 此人打算连续在一家公司工作 10 年 ， 仅以工资总收入作为应聘的标准 ， 此人应该 选择哪家公司 ？ 参考数据 ： 1.05 10 ≈1.629. 能力 · 提升 拓展 · 探究 43