5.3.2 等比数列的前n项和-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 1 1 - 1 3 ! " + 1 3 - 1 5 ! " + … + 1 2n-1 - 1 2n+1 ! "1 $ = 1 2 × 1- 1 2n+1 ! " = n 2n+1 ， ∴ 当 n∈N * 时 ， T n = n 2n+1 . 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 1. C 2. D 3. D 4. B 5. D 6. B 7. C 8. AD 9. ABD 10. 32 11. 是 q 2 12. 解 ： （ 1 ） a n =2n+2 （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， 4 a n a n+1 = 4 （ 2n+2 ）（ 2n+4 ） = 1 （ n+1 ）（ n+2 ） = 1 n+1 - 1 n+2 ， ∴T n = 1 2 - 1 3 ! " + 1 3 - 1 4 ! " + … + 1 n+1 - 1 n+2 ! " = 1 2 - 1 n+2 = n 2 （ n+2 ） . 13. 解 ： ∵ {a n } 为等比数列 ， a 1 a 2 023 =1 ， ∴a 2 a 2 022 =a 3 a 2 021 = … =a 1 012 a 1 012 =1. ∵f （ x ） = 2 1+x 2 ， ∴f （ a 1 ） +f （ a 2 023 ） = 2 1+a 2 1 + 2 1+a 2 2 023 = 2 1+a 2 1 + 2 1+ 1 a 2 1 = 2 （ 1+a 2 1 ） 1+a 2 1 =2 ， 同理可得 f （ a 2 ） +f （ a 2 022 ） =f （ a 3 ） +f （ a 2 021 ） = … =f （ a 1 012 ） +f （ a 1 012 ） =2 ， ∴f （ a 1 ） +f （ a 2 ） +f （ a 3 ） + … +f （ a 2 023 ） = 1 2 ［ f （ a 1 ） +f （ a 2 023 ） +f （ a 2 ） +f （ a 2 022 ） + … +f （ a 2 023 ） +f （ a 1 ）］ = 1 2 ×2×2 023=2 023. 5.3.2 等比数列的前 n 项和 1. D 2. C 3. D 4. A 5. A 6. A 7. BD 8. BC 9. １ 10. （ 1 ） a n =2 n-1 （ 2 ） 6 11. （ 1 ） 证明 ： 由已知 ， 2a n+1 +a n =3 ， ∴2 （ a n+1 -1 ） + （ a n -1 ） =0 ， 故 a n+1 -1 a n -1 =- 1 2 . 又 ∵a 1 = 3 2 ， ∴a 1 -1= 3 2 -1= 1 2 ， ∴ 数列 {a n -1} 是首项为 1 2 ， 公比为 - 1 2 的等比数列 . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 ， 令 b n =a n -1 ， b n =b 1 q n-1 = 1 2 × - 1 2 ! " n-1 = （ -1 ） n-1 1 2 n =- - 1 2 ! " n ， ∴a n =1- - 1 2 ! " n . ∴S n =a 1 +a 2 + … +a n =n- - 1 2 1- - 1 2 ! " n n $ 1- - 1 2 ! " =n- - 1 2 - - 1 2 ! " n+1 3 2 =n+ 1 3 + 2 3 - 1 2 ! " n+1 ， 故 S n =n+ 1 3 + 2 3 - 1 2 ! " n+1 . 12. （ 1 ） a n =2n+1 （ 2 ） 证明 ： 由 （ 1 ） 得 a n =2n+1 ， ∴b n = 1 a n a n+1 = 1 （ 2n+1 ）（ 2n+3 ） = 1 2 1 2n+1 - 1 2n+3 ! " ， ∴T n = 1 2 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 + … + 1 2n+1 - 1 2n+3 ! " = 1 2 1 3 - 1 2n+3 ! " < 1 6 . 5.4 数列的应用 1. C 2. C 3. A 4. B 5. A 6. a 1 =10.035 ， a 2 ≈10.070 ， a 3 ≈10.105 ， a n =10 （ 1+0.35% ） n . 7. 6 8. 9 9. 2 7 12 f 10. 解 ： （ 1 ） 设中低价房面积形成数列 {a n } ， 由题意可知 {a n } 是等差数列 ， 其中 a 1 =250 ， d=50 ， 则 S n =250n+ n （ n-1 ） 2 ×50=25n 2 +225n. 令 25n 2 +225n≥4 750 ， 即 n 2 +9n-190≥0 ， ∵n 是正整数 ， 则 n≥10 ， 即到 2034 年底 ， 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万 m 2 . 72 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 设 {a n } 是等差数列 ， 且 a 1 =ln2 ， a 2 +a 3 =5ln2 ， 则 e a 1 +e a 2 + … +e a n = （ ） A. 2n B. n 2 +2n C. 2 n D. 2 n+1 -2 2. 已知数列 {a n } 是公比为正数的等比数列 ， S n 是其前 n 项和 ， a 2 =2 ， a 4 =8 ， 则 S 7 = （ ） A. 31 B. 63 C. 127 D. 255 3. 已知 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和 ， 且 a 1 =1 ， a n+1 +a n =3×2 n ， 则 S 100 = （ ） A. 2 100 -3 B. 2 100 -2 C. 2 101 -3 D. 2 101 -2 4. 已知数列 {a n } 满足 a n+1 =3a n （ n∈N * ）， 且 a 1 =2 ， 则 a 1 +a 2 +a 3 + … +a n = （ ） A. 3 n -1 B. 3 n C. 3 n-1 -1 D. 3 n-1 5. 一弹球从 100 m 高处自由落下 ， 每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下 ， 则第 10 次着地时所经过的路程和是 （ 结果保留到个位 ） （ ） A. 300 m B. 299 m C. 199 m D. 166 m 6. 记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， S n =2a n -1 ， 则 S 2 024 = （ ） A. 2 2 024 -1 B. 2 2 023 -1 C. 2- 1 2 2 # 2 024 D. 2- 1 2 2 2 2 023 7. （ 多选题 ） 我国古代数学专著 《 九章算术 》 中有这样一个问题 ： 今有牛 、 马 、 羊食人 苗 ， 苗主责之粟五斗 . 羊主曰 ： “ 我羊食半马 . ” 马主曰 ： “ 我马食半牛 . ” 今欲衰偿之 ， 问 各出几何 . 此问题的译文是 ： 今有牛 、 马 、 羊吃了别人的禾苗 ， 禾苗主人要求赔偿 5 斗粟 . 羊 主人说 ： “ 我的羊所吃的禾苗只有马的一半 . ” 马主人说 ： “ 我的马所吃的禾苗只有牛的一 半 . ” 打算按此比率偿还 ， 他们各应偿还多少 ？ 已知牛 、 马 、 羊的主人应分别偿还 a L ， b L ， c L 粟 ， 1 斗为 10 L ， 则下列判断正确的有 （ ） A. a ， b ， c 依次成公比为 2 的等比数列 B. a ， b ， c 依次成公比为 1 2 的等比数列 C. a= 100 7 D. c= 50 7 8. （ 多选题 ） 记单调递增的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 若 a 2 +a 4 =10 ， a 2 a 3 a 4 =64 ， 则 （ ） A. S n+1 -S n =2 n+1 B. a n =2 n-1 C. S n =2 n -1 D. S n =2 n-1 -1 5.3.2 等比数列的前 n 项和 夯实 · 基础 能力 · 提升 40 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 9. 在等比数列 {a n } 中 ， 若 S 6 = 63 32 ， q= 1 2 ， 则 a 1 = . 10. 设 {a n } 是等比数列 ， 其前 n 项和为 S n ， 且 a 2 =2 ， S 2 -3a 1 =0. （ 1 ） 求 {a n } 的通项公式 ； （ 2 ） 若 S n +a n >48 ， 求 n 的最小值 . 11. 数列 {a n } 满足 2a n+1 +a n =3 ， 且 a 1 = 3 2 . （ 1 ） 证明 ： 数列 {a n -1} 为等比数列 ； （ 2 ） 求数列 {a n } 的前 n 项和 S n . 12. 已知公差不为 0 的等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， S 2 ， S 4 ， S 5 +5 成等差数列 ， 且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列 . （ 1 ） 求 {a n } 的通项公式 ； （ 2 ） 若 b n = 1 a n a n+1 ， 数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ， 证明 ： T n < 1 6 . 拓展 · 探究 41