5.3.1 等比数列-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 已知数列 {a n } 中 ， a n+1 =3S n ， 则下列关于 {a n } 的说法正确的是 （ ） A. 一定为等差数列 B. 一定为等比数列 C. 可能为等差数列 ， 但不会为等比数列 D. 可能为等比数列 ， 但不会为等差数列 2. 在等比数列 {a n } 中 ， a 5 a 6 a 7 =3 ， a 6 a 7 a 8 =24 ， 则 a 7 a 8 a 9 的值为 （ ） A. 48 B. 72 C. 144 D. 192 3. 在等比数列 {a n } 中 ， a 2 ， a 16 是方程 x 2 -7x+4=0 的根 ， 则 a 7 a 8 a 6 = （ ） A. 2 B. 7 姨 C. - 7 姨 或 7 姨 D. -2 或 2 4. 等比数列 {a n } 的公比 q= 1 2 ， a 2 =- 1 4 ， 则 a 5 = （ ） A. 1 32 B. - 1 32 C. 1 64 D. - 1 64 5. 设 {a n } 是等比数列 ， 且 a 1 +a 2 +a 3 =1 ， a 2 +a 3 +a 4 =2 ， 则 a 6 +a 7 +a 8 = （ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 6. 已知数列 {a n } 满足 a n +1 a n+1 +1 = 1 2 ， 且 a 2 =2 ， 则 a 4 = （ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 7. 已知数列 {a n } 满足 a 1 =1 ， a n+1 =2a n +1 （ n∈N * ）， 记数列 a n +1 （ a n +2 ）（ a n+1 +2 ） ） $ 的前 n 项和为 T n ， 若对于任意 n∈N * ， 不等式 k>T n 恒成立 ， 则实数 k 的取值范围为 （ ） A. 1 2 ， + + ∞ & B. 1 2 ， + + + ∞ C. 1 3 ， + + ∞ & D. 1 3 ， + + + ∞ 8. （ 多选题 ） 已知数列 {a n } 是等比数列 ， 那么下列数列一定是等比数列的有 （ ） A. 1 a n n $ B. log 2 （ a n ） 2 C. {a n +a n+1 } D. {a n +a n+1 +a n+2 } 9. （ 多选题 ） 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 且满足 a n +3S n S n-1 =0 （ n≥2 ）， a 1 = 1 3 ， 则下 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 夯实 · 基础 能力 · 提升 38 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 列命题中正确的有 （ ） A. 1 S n ! " 是等差数列 B. S n = 1 3n C. a n =- 1 3n （ n-1 ） D. {S 3 n } 是等比数列 10. 若数列 {a n } 满足 1 a n+1 - 2 a n ＝0 ， 则称 {a n } 为 “ 梦想数列 ” . 已知正项数列 1 b n ! " 为 “ 梦想 数列 ”， 且 b 1 +b 2 +b 3 ＝1 ， 则 b 6 +b 7 +b 8 ＝ . 11. 将公比为 q 的等比数列 {a n } 依次取相邻两项的乘积组成新数列 a 1 a 2 ， a 2 a 3 ， a 3 a 4 ， …， 则此数列 （ 填 “ 是 ” 或 “ 不是 ”） 等比数列 ， 若是 ， 则公比为 . 12. 已知数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列 ， 它的前 n 项和为 S n ， 且 a 1 ， a 3 ， a 7 成等比数列 . （ 1 ） 求 {a n } 的通项公式 ； （ 2 ） 求数列 4 a n a n+1 ! " 的前 n 项和 T n . 13. 已知 {a n } 为等比数列 ， 且 a 1 a 2 023 =1 ， 若 f （ x ） = 2 1+x 2 ， 求 f （ a 1 ） +f （ a 2 ） +f （ a 3 ） + … +f （ a 2 023 ） 的值 . 拓展 · 探究 39 暑 假 作 业 新课程 1 1 - 1 3 ! " + 1 3 - 1 5 ! " + … + 1 2n-1 - 1 2n+1 ! "1 $ = 1 2 × 1- 1 2n+1 ! " = n 2n+1 ， ∴ 当 n∈N * 时 ， T n = n 2n+1 . 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 1. C 2. D 3. D 4. B 5. D 6. B 7. C 8. AD 9. ABD 10. 32 11. 是 q 2 12. 解 ： （ 1 ） a n =2n+2 （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， 4 a n a n+1 = 4 （ 2n+2 ）（ 2n+4 ） = 1 （ n+1 ）（ n+2 ） = 1 n+1 - 1 n+2 ， ∴T n = 1 2 - 1 3 ! " + 1 3 - 1 4 ! " + … + 1 n+1 - 1 n+2 ! " = 1 2 - 1 n+2 = n 2 （ n+2 ） . 13. 解 ： ∵ {a n } 为等比数列 ， a 1 a 2 023 =1 ， ∴a 2 a 2 022 =a 3 a 2 021 = … =a 1 012 a 1 012 =1. ∵f （ x ） = 2 1+x 2 ， ∴f （ a 1 ） +f （ a 2 023 ） = 2 1+a 2 1 + 2 1+a 2 2 023 = 2 1+a 2 1 + 2 1+ 1 a 2 1 = 2 （ 1+a 2 1 ） 1+a 2 1 =2 ， 同理可得 f （ a 2 ） +f （ a 2 022 ） =f （ a 3 ） +f （ a 2 021 ） = … =f （ a 1 012 ） +f （ a 1 012 ） =2 ， ∴f （ a 1 ） +f （ a 2 ） +f （ a 3 ） + … +f （ a 2 023 ） = 1 2 ［ f （ a 1 ） +f （ a 2 023 ） +f （ a 2 ） +f （ a 2 022 ） + … +f （ a 2 023 ） +f （ a 1 ）］ = 1 2 ×2×2 023=2 023. 5.3.2 等比数列的前 n 项和 1. D 2. C 3. D 4. A 5. A 6. A 7. BD 8. BC 9. １ 10. （ 1 ） a n =2 n-1 （ 2 ） 6 11. （ 1 ） 证明 ： 由已知 ， 2a n+1 +a n =3 ， ∴2 （ a n+1 -1 ） + （ a n -1 ） =0 ， 故 a n+1 -1 a n -1 =- 1 2 . 又 ∵a 1 = 3 2 ， ∴a 1 -1= 3 2 -1= 1 2 ， ∴ 数列 {a n -1} 是首项为 1 2 ， 公比为 - 1 2 的等比数列 . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 ， 令 b n =a n -1 ， b n =b 1 q n-1 = 1 2 × - 1 2 ! " n-1 = （ -1 ） n-1 1 2 n =- - 1 2 ! " n ， ∴a n =1- - 1 2 ! " n . ∴S n =a 1 +a 2 + … +a n =n- - 1 2 1- - 1 2 ! " n n $ 1- - 1 2 ! " =n- - 1 2 - - 1 2 ! " n+1 3 2 =n+ 1 3 + 2 3 - 1 2 ! " n+1 ， 故 S n =n+ 1 3 + 2 3 - 1 2 ! " n+1 . 12. （ 1 ） a n =2n+1 （ 2 ） 证明 ： 由 （ 1 ） 得 a n =2n+1 ， ∴b n = 1 a n a n+1 = 1 （ 2n+1 ）（ 2n+3 ） = 1 2 1 2n+1 - 1 2n+3 ! " ， ∴T n = 1 2 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 + … + 1 2n+1 - 1 2n+3 ! " = 1 2 1 3 - 1 2n+3 ! " < 1 6 . 5.4 数列的应用 1. C 2. C 3. A 4. B 5. A 6. a 1 =10.035 ， a 2 ≈10.070 ， a 3 ≈10.105 ， a n =10 （ 1+0.35% ） n . 7. 6 8. 9 9. 2 7 12 f 10. 解 ： （ 1 ） 设中低价房面积形成数列 {a n } ， 由题意可知 {a n } 是等差数列 ， 其中 a 1 =250 ， d=50 ， 则 S n =250n+ n （ n-1 ） 2 ×50=25n 2 +225n. 令 25n 2 +225n≥4 750 ， 即 n 2 +9n-190≥0 ， ∵n 是正整数 ， 则 n≥10 ， 即到 2034 年底 ， 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万 m 2 . 72