5.2.2 等差数列的前n项和-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 已知各项为正的数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 满足 a n =2 S n 姨 -1 ， 则 2S n +16 a n +3 的最小值为 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 3 姨 -2 D. 9 2 2. 已知首项为 a 1 ， 公差为 d 的等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 且满足 S 5 S 6 +15=0 ， 则 d 的取值范围是 （ ） A. d≤-2 2 姨 或 d≥2 2 姨 B. -2 2 姨 ≤d≤2 C. d<0 D. d>0 3. 已知数列 {a n } 满足 a n+1 =a n - 4 5 且 a 1 =4 ， 设 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 则使得 S n 取得最大值 的序号 n 的值为 （ ） A. 5 B. 6 C. 5 或 6 D. 6 或 7 4. 若两个等差数列 {a n } 和 {b n } 的前 n 项和分别为 S n ， T n ， 且 S n T n = 5n+2 n+3 ， 则 a 2 +a 20 b 7 +b 15 等于 （ ） A. 107 24 B. 7 24 C. 149 12 D. 149 3 5. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 若 a 7 +a 8 >0 ， a 7 +a 9 <0 ， 则 S n 取最大值时 n 的值为 （ ） A. 8 B. 5 C. 6 D. 7 6. 在中国古代诗词中 ， 有一道 “ 八子分绵 ” 的名题 ： 九百九十六斤绵 ， 赠分八子做盘 缠 ， 次第每人多十七 ， 要将第八数来言 . 题意是把 996 斤绵分给 8 个儿子做盘缠 ， 依次每人 分到的比前一人多 17 斤绵 ， 则第八个儿子分到的绵是 （ ） A. 65 斤 B. 82 斤 C. 167 斤 D. 184 斤 7. 在数列 {a n } 中 ， a n = 1 n+1 + 2 n+1 + … + n n+1 （ n∈N * ）， b n = 1 a n a n+1 ， 则数列 {b n } 的前 n 项和 S n = （ ） A. 4n n+1 B. 2n n+1 C. n 2n-1 D. n 2n+1 5.2.2 等差数列的前 n 项和 夯实 · 基础 36 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 8. （ 多选题 ） 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 若 a 1 >0 ， 公差 d≠0 ， 则下列说法正确的有 （ ） A. 若 S 5 >S 9 ， 则 S 14 >0 B. 若 S 5 =S 9 ， 则 S 7 是 {S n } 中最大的项 C. 若 S 6 >S 7 ， 则 S 7 >S 8 D. 若 S 6 >S 7 ， 则 S 5 >S 6 9. （ 多选题 ） 公差为 d 的等差数列 {a n } ， 其前 n 项和为 S n ， S 11 >0 ， S 12 <0 ， 下列说法正确 的有 （ ） A. d<0 B. a 7 >0 C. {S n } 中 S 5 最大 D. ｜a 4 ｜<｜a 9 ｜ 10. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 若 S 5 =10 ， a 2 +a 6 =6 ， 则 d= . 11. 已知 {b n } 为等差数列 ， b 2 =4 ， b 4 =8. 若数列 {a n } 满足 a 1 =1 ， 且 b n =a n+1 -a n （ n∈N * ）， 则 a 8 = . 12. 已知 {a n } 是递增的等差数列 ， 其前 n 项和为 S n ， 且 S 2 =S 7 ， 写出一个满足条件的数列 {a n } 的通项公式 a n = . 13. S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和 ， 已知 a 7 =1 ， S 4 =-32. （ 1 ） 求数列 {a n } 的通项公式 ； （ 2 ） 求 S n ， 并求 S n 的最小值 . 14. 已知正项数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 且 a 1 =1 ， a n = S n 姨 + S n-1 姨 （ n∈N * 且 n≥2 ） . （ 1 ） 求数列 {a n } 的通项公式 ； （ 2 ） 求数列 1 a n a n+1 1 ( 的前 n 项和 T n . 能力 · 提升 拓展 · 探究 37 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 12. （ 1 ） a n =2 n-1 （ n∈N * ） （ 2 ） a n = 6 （ n=1 ）， 4n-1 （ n≥2 ， n∈N * * ） 13. 解 ： （ 1 ） 在 2 S n+1 （ 1+T n ） =2 S n （ n∈N * ） 中令 n=1 ， 得 2 S 2 （ 1+T 1 ） =2 S 1 圯2 S 2 -S 1 （ 1+T 1 ） =1圯2 a 2 （ 1+T 1 ） =1圯b 1 =1 ， T 3 =b 1 （ 1+q+q 2 ） =7圯q=2 ， 因此 b n =2 n-1 ， T n =2 n -1. 2 S n+1 （ 1+T n ） =2 S n 圯2 a n+1 =2 -n 圯a n+1 =-n圯a n =-n+1 （ n≥2 ）， a 1 =0 也满足上式 ， ∴a n =-n+1. （ 2 ） S n =- n （ n-1 ） 2 ， T n =2 n -1 ， 代入可得 t · 2 n - n （ n-1 ） 2 - n （ n+1 ） 2 >0 ， 即 t> n 2 2 n n & max . 令 c n = n 2 2 n ， 令 c n+1 -c n = （ n+1 ） 2 2 n+1 - n 2 2 n = -n 2 +2n+1 2 n+1 >0圯n≤2 ， ∴n≤2 时 c n+1 >c n ； n≥3 时 c n+1 <c n . 因此 ， （ c n ） max =c 3 = 9 8 圯t> 9 8 . 5.1.2 数列中的递推 1. B 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D 7. BCD 8. 16 3 9. ①③④ 10. 3 n -2 11. 1 0 12. （ 1 ） a 1 =1 ， a 2 = 1 3 ， a 3 = 1 5 ， a 4 = 1 7 ， a 5 = 1 9 （ 2 ） a n = 1 2n-1 13. （ 1 ） 解 ： 由题意 a 1 +2a 2 +3a 3 + … +na n = （ n-1 ） 2 n+1 +2 ① ， 当 n≥2 时 ， a 1 +2a 2 +3a 3 + … + （ n-1 ） a n-1 = （ n-2 ） 2 n +2 ②. ①－② 得 na n = （ n-1 ） 2 n+1 - （ n-2 ） 2 n ， 即 a n =2 n . 当 n=1 时 ， a 1 =2 满足上式 ， ∴a n =2 n . （ 2 ） 证明 ： ∵log 2 a n =log 2 2 n =n ， ∴ 1 log 2 a n · log 2 a n+2 = 1 n （ n+2 ） = 1 2 1 n - 1 n+2 n & ， ∴T n = 1 2 × 1- 1 3 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 5 + … + 1 n-1 - 1 n+1 + 1 n - 1 n+2 n & = 1 2 × 1+ 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 n & = 3 4 - 2n+3 2 （ n+1 ）（ n+2 ） . 又 ∵ 2n+3 2 （ n+1 ）（ n+2 ） >0 ， ∴T n < 3 4 . 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 1. B 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C 7. C 8. AC 9. BCD 10. n · 2 n-1 11. 4 043 2 12. 0 13. （ 1 ） a n =2n-6 （ 2 ） 7 14. （ 1 ） 证明 ： ∵a 1 =-7 ， a 2 =-6 ， a n+1 =ka n +1 ， 则 a 2 =ka 1 +1 ， 即 -6=-7k+1 ， 解得 k=1 ， ∴a n+1 =a n +1 ， 即 a n+1 -a n =1 ， ∴ 数列 {a n } 是以 -7 为首项 ， 以 1 为公差的等差数列 ， 故 a n =-7+n-1=n-8. （ 2 ） 解 ： |a n |=|n-8|= 8-n ， n≤8 ， n-8 ， n≥9 * ， ∴T 20 =|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+ … +|a 20 |= 8× （ 7+0 ） 2 + 12× （ 1+12 ） 2 =28+78=106. 5.2.2 等差数列的前 n 项和 1. A 2. A 3. C 4. A 5. D 6. D 7. A 8. BC 9. AD 10. 1 11. 57 12. n-5 （ 答案不唯一 ） 13. （ 1 ） a n =2n-13 （ 2 ） S n =n 2 -12n ， n=6 时 ， S n 的最小值为 -36. 14. 解 ： （ 1 ） ∵a n =S n -S n-1 （ n≥2 ）， ∴a n = （ S n 姨 - S n-1 姨 ）（ S n 姨 + S n-1 姨 ） （ n≥2 ） . 又 ∵a n = S n 姨 + S n-1 姨 （n∈N * 且 n≥ 2 ）， a n >0 ， ∴ S n 姨 - S n-1 姨 =1 （ n≥2 ）， ∴ 数列 { S n 姨 } 是以 S 1 姨 = a 1 姨 = 1 姨 =1 为首项 ， 1 为公差的等差数列 ， ∴ S n 姨 = 1+ （ n-1 ） =n ， ∴S n =n 2 . 当 n≥2 时 ， a n =S n -S n-1 =n 2 - （ n-1 ） 2 =2n-1 ， 当 n=1 时 ， a 1 =1 满足上式 ， ∴ 数列 {a n } 的通项公式为 a n =2n-1. （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， a n =2n -1 ， T n = 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 + 1 a 3 a 4 + … + 1 a n a n+1 = 1 1×3 + 1 ３×５ + 1 ５×７ + … + 1 （ 2n-1 ）（ 2n+1 ） = 1 2 × 71 暑 假 作 业 新课程 1 1 - 1 3 ! " + 1 3 - 1 5 ! " + … + 1 2n-1 - 1 2n+1 ! "1 $ = 1 2 × 1- 1 2n+1 ! " = n 2n+1 ， ∴ 当 n∈N * 时 ， T n = n 2n+1 . 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 1. C 2. D 3. D 4. B 5. D 6. B 7. C 8. AD 9. ABD 10. 32 11. 是 q 2 12. 解 ： （ 1 ） a n =2n+2 （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， 4 a n a n+1 = 4 （ 2n+2 ）（ 2n+4 ） = 1 （ n+1 ）（ n+2 ） = 1 n+1 - 1 n+2 ， ∴T n = 1 2 - 1 3 ! " + 1 3 - 1 4 ! " + … + 1 n+1 - 1 n+2 ! " = 1 2 - 1 n+2 = n 2 （ n+2 ） . 13. 解 ： ∵ {a n } 为等比数列 ， a 1 a 2 023 =1 ， ∴a 2 a 2 022 =a 3 a 2 021 = … =a 1 012 a 1 012 =1. ∵f （ x ） = 2 1+x 2 ， ∴f （ a 1 ） +f （ a 2 023 ） = 2 1+a 2 1 + 2 1+a 2 2 023 = 2 1+a 2 1 + 2 1+ 1 a 2 1 = 2 （ 1+a 2 1 ） 1+a 2 1 =2 ， 同理可得 f （ a 2 ） +f （ a 2 022 ） =f （ a 3 ） +f （ a 2 021 ） = … =f （ a 1 012 ） +f （ a 1 012 ） =2 ， ∴f （ a 1 ） +f （ a 2 ） +f （ a 3 ） + … +f （ a 2 023 ） = 1 2 ［ f （ a 1 ） +f （ a 2 023 ） +f （ a 2 ） +f （ a 2 022 ） + … +f （ a 2 023 ） +f （ a 1 ）］ = 1 2 ×2×2 023=2 023. 5.3.2 等比数列的前 n 项和 1. D 2. C 3. D 4. A 5. A 6. A 7. BD 8. BC 9. １ 10. （ 1 ） a n =2 n-1 （ 2 ） 6 11. （ 1 ） 证明 ： 由已知 ， 2a n+1 +a n =3 ， ∴2 （ a n+1 -1 ） + （ a n -1 ） =0 ， 故 a n+1 -1 a n -1 =- 1 2 . 又 ∵a 1 = 3 2 ， ∴a 1 -1= 3 2 -1= 1 2 ， ∴ 数列 {a n -1} 是首项为 1 2 ， 公比为 - 1 2 的等比数列 . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 ， 令 b n =a n -1 ， b n =b 1 q n-1 = 1 2 × - 1 2 ! " n-1 = （ -1 ） n-1 1 2 n =- - 1 2 ! " n ， ∴a n =1- - 1 2 ! " n . ∴S n =a 1 +a 2 + … +a n =n- - 1 2 1- - 1 2 ! " n n $ 1- - 1 2 ! " =n- - 1 2 - - 1 2 ! " n+1 3 2 =n+ 1 3 + 2 3 - 1 2 ! " n+1 ， 故 S n =n+ 1 3 + 2 3 - 1 2 ! " n+1 . 12. （ 1 ） a n =2n+1 （ 2 ） 证明 ： 由 （ 1 ） 得 a n =2n+1 ， ∴b n = 1 a n a n+1 = 1 （ 2n+1 ）（ 2n+3 ） = 1 2 1 2n+1 - 1 2n+3 ! " ， ∴T n = 1 2 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 + … + 1 2n+1 - 1 2n+3 ! " = 1 2 1 3 - 1 2n+3 ! " < 1 6 . 5.4 数列的应用 1. C 2. C 3. A 4. B 5. A 6. a 1 =10.035 ， a 2 ≈10.070 ， a 3 ≈10.105 ， a n =10 （ 1+0.35% ） n . 7. 6 8. 9 9. 2 7 12 f 10. 解 ： （ 1 ） 设中低价房面积形成数列 {a n } ， 由题意可知 {a n } 是等差数列 ， 其中 a 1 =250 ， d=50 ， 则 S n =250n+ n （ n-1 ） 2 ×50=25n 2 +225n. 令 25n 2 +225n≥4 750 ， 即 n 2 +9n-190≥0 ， ∵n 是正整数 ， 则 n≥10 ， 即到 2034 年底 ， 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万 m 2 . 72