5.2.1 等差数列-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 已知一个有限项的等差数列 {a n } ， 前 4 项的和是 40 ， 最后 4 项的和是 80 ， 所有项的 和是 210 ， 则此数列的项数为 （ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 2. 数列 {a n } 中 ， a 1 =5 ， a n+1 =a n +3 ， 那么这个数列的通项公式是 （ ） A. 3n-1 B. 3n+2 C. 3n-2 D. 3n+1 3. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 且 S 4 S 8 ＝ 1 3 ， 则 S 8 S 16 ＝ （ ） A. 3 10 B. 3 7 C. 1 3 D. 1 2 4. 已知数列 {a n } ， {b n } 为等差数列 ， 且公差分别为 d 1 =2 ， d 2 =1 ， 则数列 {2a n -3b n } 的公差 为 （ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 5. 已知数列 {a n } 满足 a 1 =1 ， a n -a n+1 = a n a n+1 （ n+1 ）（ n+2 ） ， 则 a n = （ ） A. n+3 2n+2 B. 2n+2 n+3 C. 2n+2 3n+1 D. 3n+1 2n+2 6. 已知 {a n } 是公差为 d 的等差数列 ， S n 为其前 n 项和 . 若 S 3 =3a 1 +3 ， 则 d= （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 7. 我国古代数学名著 《 孙子算经 》 载有一道数学问题 ： “ 今有物不知其数 ， 三三数之剩 二 ， 五五数之剩三 ， 七七数之剩二 ， 问物几何 . ” 根据这一数学思想 ， 所有被 3 除余 2 的正整 数从小到大排列组成数列 {a n } ， 所有被 5 除余 3 的正整数从小到大排列组成数列 {b n } ， 把 {a n } 与 {b n } 的公共项从小到大排列得到数列 {c n } ， 则下列说法正确的是 （ ） A. a 1 +b 2 =c 2 B. b 8 -a 2 =c 4 C. b 23 =c 8 D. a 6 b 2 =c 9 8. （ 多选题 ） 已知数列 {a n } 是首项为 3 ， 公差为 d （ d∈N * ） 的等差数列 ， 若 2 023 是该 数列的一项 ， 则公差 d 可能是 （ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 夯实 · 基础 能力 · 提升 34 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 9. （ 多选题 ） 在数列 {a n } 中 ， 若 a 2 n -a 2 n-1 =p （ n≥2 ， n∈N * ， p 为常数 ）， 则称 {a n } 为等方 差数列 ， 下列对等方差数列的判断正确的有 （ ） A. 若 {a n } 是等差数列 ， 则 {a 2 n } 是等方差数列 B. 数列 { （ -1 ） n } 是等方差数列 C. 若数列 {a n } 既是等方差数列 ， 又是等差数列 ， 则数列 {a n } 一定是常数列 D. 若数列 {a n } 是等方差数列 ， 则数列 {a kn } （ k∈N * ， k 为常数 ） 也是等方差数列 10. 已知数列 {a n } 满足 a 1 ＝1 ， a n =2a n-1 +2 n-1 （ n≥2 ， n∈N * ）， 则 a n ＝ . 11. 已知函数 f （ x ） = 2 x 2 x +1 （ x∈R ）， 等差数列 {a n } 满足 a 2 022 =0 ， 则 f （ a 1 ） +f （ a 2 ） +f （ a 3 ） + … +f （ a 4 043 ） = . 12. 在等差数列 {a n } 中 ， a m =n ， a n =m （ m ， n∈N * ）， 则 a m+n 的值为 . 13. 记 S n 是公差不为 0 的等差数列 {a n } 的前 n 项和 ， 若 a 3 =S 5 ， a 2 a 4 =S 4 . （ 1 ） 求数列 {a n } 的通项公式 a n ； （ 2 ） 求使 S n >a n 成立的 n 的最小值 . 14. 记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 =-7 ， a 2 =-6 ， a n+1 =ka n +1 （ n∈N * ， k∈R ） . （ 1 ） 证明 ： 数列 {a n } 为等差数列 ， 并求通项公式 a n ； （ 2 ） 记 T n =｜a 1 ｜+｜a 2 ｜+｜a 3 ｜+ … +｜a n ｜ ， 求 T 20 . 拓展 · 探究 35 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 12. （ 1 ） a n =2 n-1 （ n∈N * ） （ 2 ） a n = 6 （ n=1 ）， 4n-1 （ n≥2 ， n∈N * * ） 13. 解 ： （ 1 ） 在 2 S n+1 （ 1+T n ） =2 S n （ n∈N * ） 中令 n=1 ， 得 2 S 2 （ 1+T 1 ） =2 S 1 圯2 S 2 -S 1 （ 1+T 1 ） =1圯2 a 2 （ 1+T 1 ） =1圯b 1 =1 ， T 3 =b 1 （ 1+q+q 2 ） =7圯q=2 ， 因此 b n =2 n-1 ， T n =2 n -1. 2 S n+1 （ 1+T n ） =2 S n 圯2 a n+1 =2 -n 圯a n+1 =-n圯a n =-n+1 （ n≥2 ）， a 1 =0 也满足上式 ， ∴a n =-n+1. （ 2 ） S n =- n （ n-1 ） 2 ， T n =2 n -1 ， 代入可得 t · 2 n - n （ n-1 ） 2 - n （ n+1 ） 2 >0 ， 即 t> n 2 2 n n & max . 令 c n = n 2 2 n ， 令 c n+1 -c n = （ n+1 ） 2 2 n+1 - n 2 2 n = -n 2 +2n+1 2 n+1 >0圯n≤2 ， ∴n≤2 时 c n+1 >c n ； n≥3 时 c n+1 <c n . 因此 ， （ c n ） max =c 3 = 9 8 圯t> 9 8 . 5.1.2 数列中的递推 1. B 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D 7. BCD 8. 16 3 9. ①③④ 10. 3 n -2 11. 1 0 12. （ 1 ） a 1 =1 ， a 2 = 1 3 ， a 3 = 1 5 ， a 4 = 1 7 ， a 5 = 1 9 （ 2 ） a n = 1 2n-1 13. （ 1 ） 解 ： 由题意 a 1 +2a 2 +3a 3 + … +na n = （ n-1 ） 2 n+1 +2 ① ， 当 n≥2 时 ， a 1 +2a 2 +3a 3 + … + （ n-1 ） a n-1 = （ n-2 ） 2 n +2 ②. ①－② 得 na n = （ n-1 ） 2 n+1 - （ n-2 ） 2 n ， 即 a n =2 n . 当 n=1 时 ， a 1 =2 满足上式 ， ∴a n =2 n . （ 2 ） 证明 ： ∵log 2 a n =log 2 2 n =n ， ∴ 1 log 2 a n · log 2 a n+2 = 1 n （ n+2 ） = 1 2 1 n - 1 n+2 n & ， ∴T n = 1 2 × 1- 1 3 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 5 + … + 1 n-1 - 1 n+1 + 1 n - 1 n+2 n & = 1 2 × 1+ 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 n & = 3 4 - 2n+3 2 （ n+1 ）（ n+2 ） . 又 ∵ 2n+3 2 （ n+1 ）（ n+2 ） >0 ， ∴T n < 3 4 . 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 1. B 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C 7. C 8. AC 9. BCD 10. n · 2 n-1 11. 4 043 2 12. 0 13. （ 1 ） a n =2n-6 （ 2 ） 7 14. （ 1 ） 证明 ： ∵a 1 =-7 ， a 2 =-6 ， a n+1 =ka n +1 ， 则 a 2 =ka 1 +1 ， 即 -6=-7k+1 ， 解得 k=1 ， ∴a n+1 =a n +1 ， 即 a n+1 -a n =1 ， ∴ 数列 {a n } 是以 -7 为首项 ， 以 1 为公差的等差数列 ， 故 a n =-7+n-1=n-8. （ 2 ） 解 ： |a n |=|n-8|= 8-n ， n≤8 ， n-8 ， n≥9 * ， ∴T 20 =|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+ … +|a 20 |= 8× （ 7+0 ） 2 + 12× （ 1+12 ） 2 =28+78=106. 5.2.2 等差数列的前 n 项和 1. A 2. A 3. C 4. A 5. D 6. D 7. A 8. BC 9. AD 10. 1 11. 57 12. n-5 （ 答案不唯一 ） 13. （ 1 ） a n =2n-13 （ 2 ） S n =n 2 -12n ， n=6 时 ， S n 的最小值为 -36. 14. 解 ： （ 1 ） ∵a n =S n -S n-1 （ n≥2 ）， ∴a n = （ S n 姨 - S n-1 姨 ）（ S n 姨 + S n-1 姨 ） （ n≥2 ） . 又 ∵a n = S n 姨 + S n-1 姨 （n∈N * 且 n≥ 2 ）， a n >0 ， ∴ S n 姨 - S n-1 姨 =1 （ n≥2 ）， ∴ 数列 { S n 姨 } 是以 S 1 姨 = a 1 姨 = 1 姨 =1 为首项 ， 1 为公差的等差数列 ， ∴ S n 姨 = 1+ （ n-1 ） =n ， ∴S n =n 2 . 当 n≥2 时 ， a n =S n -S n-1 =n 2 - （ n-1 ） 2 =2n-1 ， 当 n=1 时 ， a 1 =1 满足上式 ， ∴ 数列 {a n } 的通项公式为 a n =2n-1. （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， a n =2n -1 ， T n = 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 + 1 a 3 a 4 + … + 1 a n a n+1 = 1 1×3 + 1 ３×５ + 1 ５×７ + … + 1 （ 2n-1 ）（ 2n+1 ） = 1 2 × 71