5.1.2 数列中的递推-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 已知数列 {a n } 满足 a n+1 -a n =2 n （ n∈N * ）， a 2 =3 ， 则 a 5 = （ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 2. 若数列 {a n } 满足 a 1 =-3 ， a n+1 = 1+a n 1-a n ， 则 a 2 022 的值为 （ ） A. 2 B. -3 C. - 1 2 D. 1 3 3. 设数列 {a n } 满足 a n+1 = 1+a n 1-a n ， 且 a 1 = 1 2 ， 则 a 2 022 = （ ） A. -2 B. - 1 3 C. 1 2 D. 3 4. 若数列 {a n } 满足 a 1 =1 ， 且 a n+1 = a n +3 ， n 为奇数 ， 2a n -1 ， n 为偶数 数 ， 则 a 7 = （ ） A. 19 B. 22 C. 43 D. 46 5. 若数列 {a n } 满足 a 1 =2 ， a n+1 =1- 1 a n （ n∈N * ）， 则 a 8 = （ ） A. 1 2 B. -1 C. 2 D. 1 3 6. 数学上有很多著名的猜想 ， 角谷猜想就是其中之一 ， 一般指冰雹猜想 ， 它是指一个正 整数 ， 如果是奇数就乘 3 再加 1 ， 如果是偶数就除以 2 ， 这样经过若干次计算 ， 最终回到 1. 对任意正整数 a 0 ， 记按照上述规则实施第 n 次运算的结果为 a n （ n∈N ）， 则使 a 7 =1 的 a 0 所有 可能取值的个数为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. （ 多选题 ） 南宋数学家杨辉所著的 《 详解九章算法 · 商功 》 中出现了如 图所示的形状 ， 后人称为 “ 三角垛 ” （ 右图所示的是一个 4 层的三角垛 ） . “ 三角垛 ” 最上层有 1 个球 ， 第二层有 3 个球 ， 第三层有 6 个球 ， …， 设第 n 层有 a n 个球 ， 从上往下 n 层球的球的总数为 S n ， 则 （ ） A. a n -a n-1 =n+1 （ n≥2 ） B. S 7 =84 C. a 98 = 98×99 2 D. 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + … + 1 a 2 024 = 4 048 2 025 5.1.2 数列中的递推 夯实 · 基础 能力 · 提升 第 7 题图 32 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 8. 已知数列 {a n } 中 ， a 1 = 1 3 ， a n = （ -1 ） n · 2a n-1 （ n 为大于 1 的正整数 ）， 则 a 5 = . 9. 13 世纪意大利数学家列昂纳多 · 斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数 ： 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， …， 即从第三项开始 ， 每一项都等于它前两项的和 . 后人为了纪念 他 ， 就把这列数称为 “ 斐波那契数列 ” . 因以兔子繁殖为例子而引入 ， 故又称该数列为 “ 兔 子数列 ” . 关于斐波那契数列 {a n } 给出以下四个结论 ： ①a 2 024 是奇数 ； ②a 2 +a 4 +a 6 + … +a 2 023 =a 2 024 ； ③a 1 +a 3 +a 5 + … +a 2 023 =a 2 024 ； ④a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 + … +a 2 2 023 =a 2 023 a 2 024 . 其中所有正确结论的序号为 . 10. 设数列 {a n } 满足 a 1 =1 ， 且 a n =3a n-1 +4 （ n≥2 ）， 则数列 {a n } 的通项公式为 a n = . 11. 已知数列 {a n } 满足 a 4n-3 =1 ， a 4n-1 =0 ， a 2n =a n ， n∈N * ， 则 a 2 021 = ； a 2 022 = . 12. 数列 {a n } 满足 a 1 =1 ， a n+1 +2a n a n+1 -a n =0. （ 1 ） 写出数列的前 5 项 ； （ 2 ） 由 （ 1 ） 写出数列 {a n } 的一个通项公式 . 13. 已知数列 {a n } 满足 a 1 +2a 2 +3a 3 + … +na n = （ n-1 ） 2 n+1 +2. （ 1 ） 求数列 {a n } 的通项公式 ； （ 2 ） 设数列 1 log 2 a n · log 2 a n+2 2 $ 的前 n 项和为 T n ， 证明 ： T n < 3 4 . 拓展 · 探究 33 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 12. （ 1 ） a n =2 n-1 （ n∈N * ） （ 2 ） a n = 6 （ n=1 ）， 4n-1 （ n≥2 ， n∈N * * ） 13. 解 ： （ 1 ） 在 2 S n+1 （ 1+T n ） =2 S n （ n∈N * ） 中令 n=1 ， 得 2 S 2 （ 1+T 1 ） =2 S 1 圯2 S 2 -S 1 （ 1+T 1 ） =1圯2 a 2 （ 1+T 1 ） =1圯b 1 =1 ， T 3 =b 1 （ 1+q+q 2 ） =7圯q=2 ， 因此 b n =2 n-1 ， T n =2 n -1. 2 S n+1 （ 1+T n ） =2 S n 圯2 a n+1 =2 -n 圯a n+1 =-n圯a n =-n+1 （ n≥2 ）， a 1 =0 也满足上式 ， ∴a n =-n+1. （ 2 ） S n =- n （ n-1 ） 2 ， T n =2 n -1 ， 代入可得 t · 2 n - n （ n-1 ） 2 - n （ n+1 ） 2 >0 ， 即 t> n 2 2 n n & max . 令 c n = n 2 2 n ， 令 c n+1 -c n = （ n+1 ） 2 2 n+1 - n 2 2 n = -n 2 +2n+1 2 n+1 >0圯n≤2 ， ∴n≤2 时 c n+1 >c n ； n≥3 时 c n+1 <c n . 因此 ， （ c n ） max =c 3 = 9 8 圯t> 9 8 . 5.1.2 数列中的递推 1. B 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D 7. BCD 8. 16 3 9. ①③④ 10. 3 n -2 11. 1 0 12. （ 1 ） a 1 =1 ， a 2 = 1 3 ， a 3 = 1 5 ， a 4 = 1 7 ， a 5 = 1 9 （ 2 ） a n = 1 2n-1 13. （ 1 ） 解 ： 由题意 a 1 +2a 2 +3a 3 + … +na n = （ n-1 ） 2 n+1 +2 ① ， 当 n≥2 时 ， a 1 +2a 2 +3a 3 + … + （ n-1 ） a n-1 = （ n-2 ） 2 n +2 ②. ①－② 得 na n = （ n-1 ） 2 n+1 - （ n-2 ） 2 n ， 即 a n =2 n . 当 n=1 时 ， a 1 =2 满足上式 ， ∴a n =2 n . （ 2 ） 证明 ： ∵log 2 a n =log 2 2 n =n ， ∴ 1 log 2 a n · log 2 a n+2 = 1 n （ n+2 ） = 1 2 1 n - 1 n+2 n & ， ∴T n = 1 2 × 1- 1 3 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 5 + … + 1 n-1 - 1 n+1 + 1 n - 1 n+2 n & = 1 2 × 1+ 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 n & = 3 4 - 2n+3 2 （ n+1 ）（ n+2 ） . 又 ∵ 2n+3 2 （ n+1 ）（ n+2 ） >0 ， ∴T n < 3 4 . 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 1. B 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C 7. C 8. AC 9. BCD 10. n · 2 n-1 11. 4 043 2 12. 0 13. （ 1 ） a n =2n-6 （ 2 ） 7 14. （ 1 ） 证明 ： ∵a 1 =-7 ， a 2 =-6 ， a n+1 =ka n +1 ， 则 a 2 =ka 1 +1 ， 即 -6=-7k+1 ， 解得 k=1 ， ∴a n+1 =a n +1 ， 即 a n+1 -a n =1 ， ∴ 数列 {a n } 是以 -7 为首项 ， 以 1 为公差的等差数列 ， 故 a n =-7+n-1=n-8. （ 2 ） 解 ： |a n |=|n-8|= 8-n ， n≤8 ， n-8 ， n≥9 * ， ∴T 20 =|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+ … +|a 20 |= 8× （ 7+0 ） 2 + 12× （ 1+12 ） 2 =28+78=106. 5.2.2 等差数列的前 n 项和 1. A 2. A 3. C 4. A 5. D 6. D 7. A 8. BC 9. AD 10. 1 11. 57 12. n-5 （ 答案不唯一 ） 13. （ 1 ） a n =2n-13 （ 2 ） S n =n 2 -12n ， n=6 时 ， S n 的最小值为 -36. 14. 解 ： （ 1 ） ∵a n =S n -S n-1 （ n≥2 ）， ∴a n = （ S n 姨 - S n-1 姨 ）（ S n 姨 + S n-1 姨 ） （ n≥2 ） . 又 ∵a n = S n 姨 + S n-1 姨 （n∈N * 且 n≥ 2 ）， a n >0 ， ∴ S n 姨 - S n-1 姨 =1 （ n≥2 ）， ∴ 数列 { S n 姨 } 是以 S 1 姨 = a 1 姨 = 1 姨 =1 为首项 ， 1 为公差的等差数列 ， ∴ S n 姨 = 1+ （ n-1 ） =n ， ∴S n =n 2 . 当 n≥2 时 ， a n =S n -S n-1 =n 2 - （ n-1 ） 2 =2n-1 ， 当 n=1 时 ， a 1 =1 满足上式 ， ∴ 数列 {a n } 的通项公式为 a n =2n-1. （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， a n =2n -1 ， T n = 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 + 1 a 3 a 4 + … + 1 a n a n+1 = 1 1×3 + 1 ３×５ + 1 ５×７ + … + 1 （ 2n-1 ）（ 2n+1 ） = 1 2 × 71