精品解析：四川省成都石室中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

成都石室中学2024-2025学年度下期高2027届期末考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 2. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 A. 328 B. 253 C. 007 D. 860 3. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 7. 已知角，且，则（ ） A. 2 B. C. D. -2 8. 在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为复数，下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 若，则 D. 若是实数，则为纯虚数 10. 在气象学上，进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲，乙，丙，丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数），根据以下数字特征，一定符合进入冬季标准的是（ ） A. 甲：中位数为7，众数为8 B. 乙：平均数为6，极差为4 C. 丙：中位数为7，极差为3 D. 丁：平均数为7，方差为2 11. 如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（ ） A. 存在点P，M，使得平面与平面PBD平行 B. 当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 C. 正方体可在棱长为9的正四面体内部自由转动 D. 当M为中点时，四棱锥M-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形用斜二测画法画出的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是_______． 13. 如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为_______． 14. 锐角的面积为，且，若恒成立，则实数的最大值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； （2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； （3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 16. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求点到平面的距离． 17. 已知．函数， （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数在上的最值； （3）若，求的值． 18. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设． （1）用表示， （2）如果海里，且，求岛屿到补给站的距离； （3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 19. 如图，已知四边形满足，现将沿着翻折得到形成四棱锥，记二面角的平面角大小为． （1）若，证明：． （2）在线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． （3）三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，求（记，结果用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室中学2024-2025学年度下期高2027届期末考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥体积可得圆锥的高，进而可得圆锥母线长，根据扇形面积公式计算即可求解. 【详解】设圆锥的高为，母线长为， 因为圆锥的底面半径为，其体积为， 所以，解得， 所以，故圆锥的侧面积为. 故选：D 2. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 A. 328 B. 253 C. 007 D. 860 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，判断结果. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第四个数为328. 故选：A. 3. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的平行关系判断AB两个选项，根据直线与平面的垂直和平行关系判断CD两个选项. 【详解】对于A：若，则可能有，A错误； 对于B：若，则也可能异面或相交，B错误； 对于C：若，则与不一定垂直，且，则与不一定垂直，C错误； 对于D：若，则，又，则，D正确. 故选：D. 4. 正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点为正方形的中心，由线面角的定义得直线与平面所成角即为，解直角三角形即可得解. 【详解】如图所示，设点为正方形的中心，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 不妨设正方体棱长为1，则， 所以. 故选：D. 5. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 则向量在上的投影向量为. 故选：D. 6. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】首先求得，再结合函数平移变换法则即可求解. 【详解】由题意可得，解得，所以， 由图可知，所以， 解得，所以， ， 注意到， 所以为了得到的图象，可以将的图象向右平移个单位长度. 故选：B. 7. 已知角，且，则（ ） A. 2 B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】由，求得，再由，求得，结合两角差的正切公式，即可求解. 【详解】因为，可得，则， 可得，即， 又由，即， 可得， 等式两边同时除以，可得， 则 ． 故选：B. 8. 在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出，易得，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量线性运算的坐标表示结合三角函数即可得解. 【详解】由题意， 在中，由余弦定理得， 所以， 则，故， 如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，，，设， 故，，， 又， 即， 所以，所以， 所以，其中， 当且仅当时，取最大值，且它的最大值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为复数，下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 若，则 D. 若是实数，则为纯虚数 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于C：根据共轭复数的定义结合模长公式分析判断. 【详解】设，， 对于选项A：例如，则，两者不相等，故A错误； 对于选项B：因为，且， 则， 即，故B正确； 对于选项C：若，则， 所以，故C正确； 对于选项D：例如是实数，则也为实数，故D错误； 故选：BC. 10. 在气象学上，进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲，乙，丙，丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数），根据以下数字特征，一定符合进入冬季标准的是（ ） A. 甲：中位数为7，众数为8 B. 乙：平均数为6，极差为4 C. 丙：中位数为7，极差为3 D. 丁：平均数为7，方差为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题目所给符合进入冬季标准，结合每个选项分析判断即可. 【详解】对于A，甲：中位数为7，众数为8，则8出现次数最多，又只有5个数据，7为中位数， 所以8出现次数为2次，另外两个数据只能是小于7的两个不同的数， 故甲地符合进入冬季标准，故A正确； 对于B，乙：平均数为6，极差为4，因为极差是最大值与最小值的差， 假设存在某日的气温大于等于，又平均数为6，故定存在某日的气温低于，此时极差不 为4，故假设不成立，即每日气温都低于，所以乙一定符合进入冬季标准，故B正确； 对于C，丙：中位数为7，极差为3，气温为7，7，7，8，10符合题意，故丙不符合进入冬季标准，故C错误； 对于D，丁：平均数为7，方差为2，故不可能每天都为，日平均气温都是整数， 所以最多三天，若存在某日的气温高于，方差大于不符合题意， 若存在某日的气温等于，若三天，则五天的气温，计算方差，可知不符合方差为2的条件， 若二天，则五天的气温的方差一定大于2， 若一天，则五天的气温的方差一定大于2， 综上可知，所以丁一定符合进入冬季标准，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（ ） A. 存在点P，M，使得平面与平面PBD平行 B. 当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 C. 正方体可在棱长为9的正四面体内部自由转动 D. 当M为中点时，四棱锥M-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取中点为M，中点为可得相应平行平面；对于B，由题可得，后由平面几何知识可得轨迹长；对于C，求出棱长为9的正四面体的内切球的内接正方体的棱长，对比正方体的棱长即可作出结论；对于D，由题可确定外接球半径，进而可得外接球内接正方体边长，最后结合外接球的内接正四面体可由其内接正方体切割得到，可确定正四面体棱长. 【详解】对于A，如图取中点为M，中点为P，下证平面与平面平行. 因中点为M，中点为P，可得，又平面，平面， 则平面；又注意到，又平面，平面， 则平面，又平面， 则平面与平面平行，故A正确. 对于B，如图取中点为E，连接PE，由题可得，平面， 又平面，则. 因，则， 则点的轨迹为以E为圆心，半径为2的圆在平面内的部分，如图所示， 因，则，同理可得， 则，则点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，棱长为9的正四面体的高为，底面外接圆半径为，内切球半径为， 则，解得，所以， 所以由等体积法有，，解得， 设棱长为的正方体内接于半径为的球内部，则，解得， 又因为正方体的棱长为2，满足， 所以正方体可在棱长为9的正四面体内部自由转动，故C正确； 对于D，如图取AC，BD交点为O，AD中点为G，连接MG，GO，MO， 由题可得，，又由题可得， 则，则O到四棱锥所有顶点距离均相等，则O为外接球球心，外接球半径为， 又正方体外接球半径为其体对角线长度一半，设外接球内接正方体边长为a，则. 又由图可得外接球的内接正四面体可由其内接正方体切割得到， 且内接正四面体棱长为内接正方体面对角线长度，即. 则内接正四面体表面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形用斜二测画法画出的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】由题意， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案为：. 13. 如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，再根据题意求出的长度，由二面角的定义可得二面角的平面角为，代入计算，即可得到结果. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，， 由题意得平面，则为直线与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 则， 因为，所以，即二面角的大小为. 故答案为：. 14. 锐角的面积为，且，若恒成立，则实数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式得到，由面积公式得到，即可得到，根据三角形为锐角三角形求出的取值范围，即可得解. 【详解】解：因为，由正弦定理得， ∴， ∴或（舍去）， 所以． ∵的面积为， ∴， ∴． 所以 ． ∵为锐角三角形， ∴，解得， ∴，即，则， ∴，即． 其中，解得或（舍去）， ∴． ∴， ∴实数的最大值为． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； （2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； （3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 【答案】（1）0.01，88.33； （2）10人； （3）“美食”工作需要进一步整改，理由：由图可知，认可程度平均分为： ， 显然认可系数低于，所以 “美食”工作需要进一步整改. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布图，求得，然后推得第70百分位数位于区间内，即可根据第百分位数的求法，得出答案. （2）根据分层抽样，即可求得评分在的学生人数. （3）根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案. 【小问1详解】 由图可知：，所以； 评分在内的频率为，内的频率为， 则第70百分位数位，， 所以第70百分位数为88.33. 【小问2详解】 低于80分的学生中三组学生的人数比例为， 则应选取评分在的学生人数为：（人）. 【小问3详解】 略 16. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：方法一：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以，且， 又因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. 方法二：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以，可得平面， 因为分别是的中点，所以，可得平面， 因为，所以平面平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：取的中点，连接，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 方法二：取的中点，连接，分别证得平面和平面，证得平面平面，即可证得平面． （2）连接，求得，以及，及，设点到平面的距离为，结合体积列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，因为，且， 连接，则， 且， ， 所以． 设点到平面的距离为，则，即， 解得，即点到平面的距离为． 【点睛】 17. 已知．函数， （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数在上的最值； （3）若，求的值． 【答案】（1）， （2）最小值为，最大值为2 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，由周期公式、整体代入法即可求解； （2）由题意得，结合三角函数性质即可得解； （3）由题意得，结合诱导公式即可得解. 【小问1详解】 由题意， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以在上的最小值为，最大值为2； 【小问3详解】 因为，所以， 所以. 18. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设． （1）用表示， （2）如果海里，且，求岛屿到补给站的距离； （3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 【答案】（1）； （2）岛屿到补给站的距离 （3）岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解； （2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解. （3）由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案. 【小问1详解】 依题意，得，因为点为中点，所以， 又在靠近岛屿的的三等分点上所以， 又，所以， ； 【小问2详解】 依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以 ， 所以岛屿到补给站的距离； 【小问3详解】 由，可得， 即， 可得，即， 设，由正弦定理知， 而 ， 所以， 因为，所以，得， 所以当，即时，取得最小值， 即的最小值为，所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 19. 如图，已知四边形满足，现将沿着翻折得到形成四棱锥，记二面角的平面角大小为． （1）若，证明：． （2）在线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． （3）三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，求（记，结果用表示）． 【答案】（1）证明如下： 若，则平面平面， 在平面内过作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面，故. 在直角中，，，故， 而，故在直角中，， 所以， 而，故. （2）存在且满足，证明如下： 取（1）中，由（1）可得， 连接， 由旋转不变性可得， ∵且平面， ∴， ∵平面，平面， ∴平面， ∵且， ∴， 同理可得平面， ∵平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. （3） 【解析】 【分析】（1）在平面内过作，垂足为，连接，则利用空间中垂直关系的转化可得，结合勾股定理可得. （2）利用面面平行的判定定理可证平面平面，故可得时平面； （3）利用球心的性质结合二面角的构造方法构造出各二面角，根据关联直角三角形的边角关系可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由旋转过程中形成四棱锥，故， 若，取的中点分别为，连接， 因为为三棱锥的外接球球心，故平面，平面， 因为平面，故，而为中位线，故， 故，因，平面， 故平面，而平面，故， 故为二面角的平面角，故， 同理可证：，， 在直角三角形中，，同理， 故在直角三角形中有， 故即， 且， 故. 当时，此时重合，且， 满足， 当，此时且在平面的下方， 同理可得， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $