精品解析：北京市中央音乐学院附属中等音乐学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

中央音乐学院附中2024-2025学年第二学期期末试卷 高一数学A卷 一、单项选择题： 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 10 D. 4. 已知的三个顶点及平面内一点，满足，则点与的关系为（ ） A. 点在内部 B. 是边的一个五等分点 C. 是边的一个三等分点 D. 是边的中点 5. 在中，分别是的中点，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知平面向量，则与垂直的单位向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 化简以下各式，结果为的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中错误的有（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 11. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若与是共线向量，与 ⃗是共线向量，则与是共线向量 C. 对于非零向量，若，则⊥ D. 若与单位向量，则 12. 若是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对 C. 均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，使，则 三、填空题： 13. 已知向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），若（）∥，则m＝______ 14. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则________． 15. 设、为两个不共线的向量，若与共线，则实数等于________，此时、方向________（填“相同”或“相反”）． 四、解答题： 16. 已知，，． （1）若，求，； （2）若，求点的坐标． 17. （1）设向量，求； （2）已知向量不共线，且．若，则的值． 18. 在中，是上的点，且为的中点，与交于点. （1）用向量和表示向量； （2）求证：. 19. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 20. 三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． （1）根据题意绘制示意图； （2）选取为向量基底，表示向量； （3）若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 21. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中央音乐学院附中2024-2025学年第二学期期末试卷 高一数学A卷 一、单项选择题： 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】 ． 故选：C． 2. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助平行四边形的性质及向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则， 即，则， 故. 故选：B. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量共线的结论可解. 【详解】向量，由，得，所以. 故选：C 4. 已知的三个顶点及平面内一点，满足，则点与的关系为（ ） A. 点在内部 B. 是边的一个五等分点 C. 是边的一个三等分点 D. 是边的中点 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的运算法因为则将等式变形，得到，即得出结论． 【详解】因为，所以， 即，即，所以是边的中点. 故选：D. 5. 在中，分别是的中点，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，将用基底和表示，即可得解． 【详解】因为是的中点， 所以， 所以，所以． 故选：D． 6. 已知平面向量，则与垂直的单位向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出单位向量，建立等式求解即可. 【详解】设该单位向量为，由题可知 解得 或，即或 故选：C 7. 在中，，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得即可判断. 【详解】， ，所以是等边三角形. 故选：A. 8. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题中有90°，因此建立平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算即可． 【详解】建立如图所示的直角坐标系， ， ， 设， ， ，解得， 所以. 故选：A. 二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 化简以下各式，结果为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据向量的加减运算法则求解即可. 【详解】对于A，，符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，符合题意； 对于D，，符合题意． 故选：ABCD． 10. 下列命题中错误的有（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D. 【详解】对于A，的充要条件是且方向相同，故A错误； 对于B，当时，则不一定平行，故B错误； 对于C，当时，不存在实数，使得，故C错误； 对于D，根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确. 故选：ABC. 11. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若与是共线向量，与 ⃗是共线向量，则与是共线向量 C. 对于非零向量，若，则⊥ D. 若与单位向量，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据单位向量的意义可以判定AD的正误；零向量与任何向量都共线，取时可以判定B的正误；两边同时平方结合数量积的运算律可判断C. 【详解】长度为1的所有向量都称之为单位向量，方向可能不同，故A错误; 因为零向量与任何向量都共线，当，与可以为任意向量，故B错误; 因为，则，即， 所以，所以⊥，故C正确; 若与单位向量，则，故D正确. ∴错误的是AB. 故选：AB. 12. 若是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对 C. 均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，使，则 【答案】BC 【解析】 【分析】运用平面向量基本定理可判断A项、B项、D项，通过举反例可判断C项. 【详解】由题意可知：可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A项、D项正确，B项不正确； 对于C项，当时，则， 此时任意实数均有，故C项不正确. 故选：BC. 三、填空题： 13. 已知向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），若（）∥，则m＝______ 【答案】-1 【解析】 【分析】先求出（1，m﹣1），再由（）∥，能求出m． 【详解】解：∵向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2）， ∴（1，m﹣1）， ∵（）∥， ∴， 解得m＝﹣1． 【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用． 14. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则________． 【答案】4 【解析】 【分析】结合图象建立直角坐标系，得出向量，，坐标，利用向量关系列方程组求出，进而求解． 【详解】设图中方格单位为1，建立下图所示直角坐标系， 则，， ， ， ，解得， ． 故答案为：4． 15. 设、为两个不共线的向量，若与共线，则实数等于________，此时、方向________（填“相同”或“相反”）． 【答案】 ①. ②. 相反 【解析】 【分析】由题意可知存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结论. 【详解】因为与共线，则存在，使得， 即， 因为、为两个不共线的向量，所以，解得，即， 所以，、方向相反. 故答案为：；相反. 四、解答题： 16. 已知，，． （1）若，求，； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解. 【小问1详解】 依题意得，， 则，所以， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，所以． 设点的坐标为，则， 因为，所以，， 所以，，故点的坐标为． 17. （1）设向量，求； （2）已知向量不共线，且．若，则的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）运用向量的线性坐标运算即可； （2）根据向量共线定理可解. 【详解】（1）； （2）由于，所以存在，使得， 即， 所以，解得． 18. 在中，是上的点，且为的中点，与交于点. （1）用向量和表示向量； （2）求证：. 【答案】（1） （2） 设，所以. 由三点共线，可设，所以. 另一方面，设， 所以. 因为不共线，所以且，解得. 所以，即. 【解析】 【分析】（1）选取向量和作为基底，分解向量即可得解； （2）设，分解向量得，，由此可得方程组解出，进一步即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，即. 【小问2详解】 略 19. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据A，E，C三点共线，得，即可列等量关系求解， （2）根据坐标运算即可求解， （3）根据向量相等即可列方程求解. 【小问1详解】 ． 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 即，得． 因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得； 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以． 设，则． 因为，所以，解得， 即点A的坐标为． 20. 三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． （1）根据题意绘制示意图； （2）选取为向量基底，表示向量； （3）若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【答案】（1） （2），； （3） 因为， 所以， 所以，即， 所以， 又因为有公共点， 所以三点共线. 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接画图即可； （2）根据几何图形进行线性运算即可； （3）利用向量共线定理即可证明. 【小问1详解】 如图， 【小问2详解】 因为E为的中点，D为边上靠近点B的三等分点， 所以， 则， 所以； . 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2） ， 又，故， 故三点共线. 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $